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Carl Størmer and his Numbers

Dieser Artikel leitet notwendige und hinreichende Bedingungen dafür her, dass eine natürliche Zahl eine Størmersche Zahl ist – definiert als die kleinste Lösung der Restklassengleichung $x^2 \equiv -1 \bmod p$ für Primzahlen $p \equiv 1 \bmod 4$ – und untersucht zugleich Carl Størmers historische Arbeit, die diese Zahlen mit Gregory-Zahlen und hochpräzisen Annäherungen an $\pi$ verknüpft.

Ursprüngliche Autoren: Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn, Graeme Reinhart

Veröffentlicht 2026-04-30

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn, Graeme Reinhart

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Detektiv, der versucht, ein Rätsel über einen besonderen Club von Zahlen zu lösen. Dieser Artikel handelt von genau diesem Club, den Regeln für den Beitritt und davon, wie diese Zahlen uns helfen, ein sehr altes Rätsel über die Zahl $\pi$ (Pi) zu lösen.

Hier ist die Geschichte der Størmer-Zahlen, aufgeteilt in einfache Teile.

1. Der Club: „Størmer-Zahlen"

Lassen Sie uns zunächst über eine berühmte mathematische Regel sprechen, den Satz von Fermat über die Summe zweier Quadrate. Er besagt, dass Sie eine Primzahl (eine Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist), die um 1 größer ist als ein Vielfaches von 4 (wie 5, 13, 17, 29), immer in zwei perfekte Quadrate zerlegen können, die addiert werden.

Beispiel: $13 = 2^2 + 3^2$ ( $4 + 9$ ).

Um diese beiden Quadrate ($2$ und $3$) zu finden, müssen Mathematiker normalerweise zuerst ein kniffliges Rätsel lösen: Finden Sie eine Zahl $x$ , sodass, wenn Sie sie quadrieren und durch die Primzahl teilen, der Rest $-1$ beträgt.

Beispiel: Für die Primzahl 13 erhalten Sie, wenn Sie 5 quadrieren, 25. $25$ geteilt durch $13$ lässt einen Rest von $-1$ (oder $12$). Also ist 5 der Schlüssel.

Die Autoren nennen diese Schlüsselzahl eine Størmer-Zahl. Sie ist wie das „Passwort", das die Tür zur Zerlegung der Primzahl in zwei Quadrate öffnet.

2. Die große Entdeckung: Wer bekommt das Passwort?

Lange Zeit wussten die Menschen, wie man das Passwort findet, wenn sie bereits die Primzahl hatten. Aber was, wenn man nur eine zufällige Zahl hat, wie zum Beispiel 15? Ist 15 ein Passwort für eine bestimmte Primzahl? Oder ist es eine Fälschung?

Die Autoren dieses Artikels haben die exakte Regel herausgefunden, um festzustellen, ob eine Zahl eine echte Størmer-Zahl ist oder nicht.

Die Regel (der „Türsteher" an der Tür):
Nehmen Sie Ihre Zahl (nennen wir sie $x$ ). Quadrieren Sie sie und addieren Sie 1 ( $x^2 + 1$ ). Betrachten Sie nun alle Primzahlen, die multipliziert dieses Ergebnis ergeben.

Finden Sie die größte Primzahl in dieser Gruppe.
Die Regel: Ihre Zahl $x$ ist genau dann eine Størmer-Zahl, wenn und nur wenn diese größte Primzahl größer als $2x + 1$ ist.

Wenn die größte Primzahl zu klein ist, ist $x$ nur eine gewöhnliche Zahl, keine Størmer-Zahl. Wenn sie groß genug ist, ist $x$ das eindeutige Passwort für diese spezifische große Primzahl.

Analogie: Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Schlüssel ( $x$ ). Sie prüfen das Schloss, zu dem er passt ( $x^2+1$ ). Wenn der größte Bolzen im Schloss riesig ist (größer als das Doppelte Ihrer Schlüsselgröße), dann haben Sie einen echten Størmer-Schlüssel. Wenn der Bolzen klein ist, halten Sie einen gefälschten Schlüssel in der Hand.

3. Wie häufig sind sie?

Die Autoren untersuchten die ersten Millionen Zahlen und stellten fest, dass etwa 70 % davon Størmer-Zahlen sind.
Sie vermuten, dass sich dieser Prozentsatz, wenn man ins Unendliche geht, genau auf $\ln(2)$ einpendelt (was etwa 0,693 oder 69,3 % entspricht). Sie haben dies nicht mit 100-prozentiger Sicherheit bewiesen (es ist immer noch eine „heuristische" oder fundierte Vermutung), aber die Zahlen deuten stark darauf hin, dass es wahr ist.

4. Der Held aus der realen Welt: Carl Størmer

Der Artikel stellt auch den Mann hinter den Zahlen vor: Carl Størmer (1874–1957).

Wer war er? Ein brillanter norwegischer Mathematiker und Astronom.
Was hat er sonst noch getan? Er war berühmt für seine Studien der Polarlichter (Aurora Borealis). Er fand heraus, wie geladene Teilchen von der Sonne im Magnetfeld der Erde tanzen. Er war so respektiert, dass ein Krater auf dem Mond nach ihm benannt ist!
Die lustige Tatsache: Er war auch ein heimlicher Fotograf. Er trug eine winzige Spionagekamera in seiner Jacke und machte Schnappschüsse von Menschen auf den Straßen von Oslo. Später wurden diese Fotos zu einer berühmten Kunstausstellung.

5. Das große Finale: Berechnung von Pi ( $\pi$ )

Warum interessieren wir uns für diese Zahlen? Weil sie uns helfen, $\pi$ zu berechnen (das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser).

In alten Zeiten, bevor es Computer gab, war die Berechnung von $\pi$ wie der Versuch, einen Swimmingpool mit einem Teelöffel zu füllen. Man brauchte eine sehr effiziente Methode, um dies zu tun. Mathematiker verwenden Formeln, die Arcustangente (eine Art von Winkelberechnung) beinhalten, um die Ziffern von $\pi$ zu erhalten.

Størmer entdeckte eine besondere Verbindung:

Wenn Sie eine Zahl haben, die KEINE Størmer-Zahl ist, können Sie ihre Arcustangente-Formel in eine Summe von Arcustangente von Størmer-Zahlen zerlegen.
Wenn eine Zahl EINE Størmer-Zahl ist, ist sie „irreduzibel" – man kann sie nicht weiter zerlegen. Sie ist ein fundamentaler Baustein.

Die „Super-Formel":
Im Jahr 1896 fand Størmer eine komplexe Formel zur Berechnung von $\pi$ .

Im Jahr 2002 nutzte ein Team unter der Leitung von Yasumasa Kanada Størmers Formel, um 1,24 Billionen Ziffern von $\pi$ zu berechnen.
Dies war zu dieser Zeit ein Weltrekord.

Ein Konzept der Zahlentheorie aus dem 19. Jahrhundert, definiert durch eine „Türsteher"-Regel über Primfaktoren, war also die geheime Waffe, die genutzt wurde, um den Weltrekord für die Berechnung der Ziffern von $\pi$ im 21. Jahrhundert zu brechen.

Zusammenfassung

Størmer-Zahlen sind spezielle „Passwörter", die helfen, bestimmte Primzahlen in zwei Quadrate zu zerlegen.
Der Artikel liefert einen einfachen Test, um zu sehen, ob eine beliebige Zahl eine Størmer-Zahl ist: Prüfen Sie, ob der größte Primfaktor von ( $x^2+1$ ) größer als $2x+1$ ist.
Etwa 69 % aller Zahlen sind Størmer-Zahlen.
Diese Zahlen waren entscheidend dafür, dass Carl Størmer Formeln entwickeln konnte, die es Computern ermöglichten, Billionen von Ziffern von $\pi$ zu berechnen.
Carl Størmer war zudem ein Astronom, nach dem ein Mondkrater benannt ist, und ein Spion der Straßenfotografie.

1. Problemstellung

Der Artikel befasst sich mit der Charakterisierung von Størmer-Zahlen, einer spezifischen Klasse von ganzen Zahlen, die aus der Untersuchung des Zweiquadratensatzes von Fermat und der Approximation von $\pi$ hervorgehen.

Kontext: Für eine Primzahl $p \equiv 1 \pmod 4$ garantiert der Zweiquadratensatz von Fermat eine eindeutige Darstellung $p = a^2 + b^2$ . Die meisten konstruktiven Beweise dieses Satzes beruhen auf der Suche nach der kleinsten positiven ganzen Zahl $x_0$ , sodass $x_0^2 \equiv -1 \pmod p$ und $1 < x_0 \le (p-1)/2$ gilt.
Die Lücke: Obwohl die Existenz eines solchen $x_0$ bekannt ist, gab es keine einfache, notwendige und hinreichende Bedingung, um festzustellen, ob eine beliebige ganze Zahl $x_0 \in \mathbb{N}$ die Størmer-Zahl für eine Primzahl $p$ ist. Darüber hinaus war die statistische Verteilung (natürliche Dichte) dieser Zahlen Gegenstand von Vermutungen, fehlte jedoch ein strenger Beweis.
Historische Motivation: Die Untersuchung steht in Verbindung mit der Arbeit von Carl Størmer über Identitäten, die $\pi$ als lineare Kombinationen von Arkustangens-Werten (Gregory-Zahlen) ausdrücken, die vor dem Computerzeitalter für Berechnungen von $\pi$ mit hoher Präzision entscheidend waren.

2. Methodik

Die Autoren verwenden eine Kombination aus Zahlentheorie, algebraischer Zahlentheorie (insbesondere Gaußsche ganze Zahlen) und probabilistischen Heuristiken.

Kettenbrüche und Euklidischer Algorithmus: Der Artikel rezensiert die Methode von Smith, die den Euklidischen Algorithmus und Konvergenten (Determinanten von tridiagonalen Matrizen) nutzt, um die Lösung von $x^2 \equiv -1 \pmod p$ mit der Zerlegung $p = a^2 + b^2$ zu verknüpfen.
Analyse der Primfaktorzerlegung: Die Kernmethodik besteht in der Analyse der Primfaktorzerlegung von $x_0^2 + 1$ . Die Autoren untersuchen die Beziehung zwischen $x_0$ und dem größten Primfaktor von $x_0^2 + 1$ .
Gaußsche ganze Zahlen: Um die Verbindung zu Gregory-Zahlen zu adressieren, nutzen die Autoren den Ring der Gaußschen ganzen Zahlen $\mathbb{Z}[i]$ . Sie übertragen das Problem der Zerlegung von $\arctan(1/n)$ auf die Faktorisierung von Gaußschen ganzen Zahlen $n+i$ und die Eigenschaften ihrer Normen.
Probabilistische Heuristiken: Für die Dichtevermutung konstruieren die Autoren ein heuristisches Argument basierend auf der Verteilung von Primzahlen in arithmetischen Progressionen und den Mertens-Theoremen.

3. Hauptbeiträge und Ergebnisse

A. Charakterisierung von Størmer-Zahlen (Satz 2.3)

Der Artikel etabliert eine definitive notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine ganze Zahl $x_0$ eine Størmer-Zahl ist.

Definition: Sei $x_0^2 + 1 = 2^r \cdot p_1^{e_1} \cdots p_m^{e_m}$ die Primfaktorzerlegung, wobei $p_1 < p_2 < \dots < p_m$ .
Satz: $x_0$ ist genau dann die Størmer-Zahl für eine Primzahl $p$ , wenn $2x_0 + 1 \le p_m$ gilt (wobei $p_m$ der größte Primfaktor von $x_0^2 + 1$ ist).
Implikation: Wenn die Bedingung erfüllt ist, ist die zugehörige Primzahl eindeutig und gleich $p = p_m$ . Wenn $2x_0 + 1 > p_m$ , dann ist $x_0$ keine Størmer-Zahl für irgendeine Primzahl.
Injektivität: Die Autoren beweisen, dass die Størmer-Funktion $S(p)$ injektiv ist; eine spezifische $x_0$ entspricht höchstens einer Primzahl $p$ .

B. Vermutung zur natürlichen Dichte (Abschnitt 3)

Vermutung: Der Artikel diskutiert die Vermutung von Everest und Harman (2008), dass die natürliche Dichte der Størmer-Zahlen $\ln(2) \approx 0,693$ beträgt.
Heuristischer Beweis: Die Autoren liefern ein probabilistisches Argument, das diese Dichte nahelegt. Sie schätzen die Wahrscheinlichkeit ab, dass eine zufällige $x_0$ die Bedingung $2x_0 + 1 \le p \le x_0^2 + 1$ für eine Primzahl $p$ erfüllt. Unter Verwendung des Primzahlsatzes für arithmetische Progressionen und der Mertens-Abschätzungen leiten sie den Grenzwert her:
$\lim_{x_0 \to \infty} \sum_{2x_0 \le p \le x_0^2} \frac{1}{p} \sim \ln(\ln(x_0^2)) - \ln(\ln(2x_0)) \sim \ln(2)$
Hinweis: Die Autoren stellen ausdrücklich fest, dass ein strenger Beweis dieser Dichte weiterhin aussteht.

C. Verbindung zu Gregory-Zahlen und $\pi$ (Abschnitt 5)

Størmers Satz: Der Artikel formalisiert das Ergebnis von Størmer, dass, wenn $\gcd(a, b) = 1$ gilt, $\arctan(b/a)$ eindeutig als endliche lineare Kombination von $\arctan(1/n)$ ausgedrückt werden kann, wobei jedes $n$ eine Størmer-Zahl ist.
Mechanismus: Dies wird durch die eindeutige Faktorisierung in $\mathbb{Z}[i]$ bewiesen. Die Zerlegung von $a+bi$ in Gaußsche Primzahlen entspricht der Zerlegung des Winkels $\arctan(b/a)$ in Winkel, die mit Størmer-Zahlen assoziiert sind.
Irreduzibilität: Der Artikel verbindet Størmer-Zahlen mit „irreduziblen" Gregory-Zahlen (im Sinne von Todd) und beweist, dass $n$ genau dann eine Størmer-Zahl ist, wenn $\arctan(1/n)$ nicht als Summe anderer $\arctan(1/k)$ -Terme geschrieben werden kann.
Historische Anwendung: Der Artikel hebt hervor, wie Størmers Identität von 1896 ( $t_1 = 44t_{57} + 7t_{239} - 12t_{682} + 24t_{12943}$ ) von Yasumasa Kanada im Jahr 2002 verwendet wurde, um 1,24 Billionen Stellen von $\pi$ zu berechnen.

4. Bedeutung

Theoretische Klarheit: Der Artikel beseitigt die Unklarheit bezüglich der Identifizierung von Størmer-Zahlen und liefert einen rechnerisch effizienten Test (Satz 2.3), der die Suche nach der spezifischen Primzahl $p$ vermeidet, die zu einer $x_0$ gehört.
Überbrückung von Feldern: Er verbindet effektiv klassische Zahlentheorie (Fermats Theorem, quadratische Kongruenzen) mit der Geschichte der computergestützten Mathematik (Approximationen von $\pi$ ).
Historischer Kontext: Der Artikel dient als umfassende Hommage an Carl Størmer und erläutert sein zweifaches Vermächtnis in der Zahlentheorie und Astrophysik (insbesondere die Untersuchung von Polarlichtern und geladenen Teilchen in Magnetfeldern).
Algorithmische Nützlichkeit: Die Charakterisierung ermöglicht die Generierung von Størmer-Zahlen und die Konstruktion neuer Arkustangens-Identitäten für $\pi$ , die, obwohl für moderne Supercomputer weniger kritisch, mathematisch elegant und historisch bedeutsam bleiben.

Zusammenfassend bietet der Artikel eine strenge Charakterisierung von Størmer-Zahlen, liefert eine überzeugende Heuristik für deren Dichte und erläutert ihre fundamentale Rolle in der algebraischen Struktur der Arkustangens-Identitäten, die zur Approximation von $\pi$ verwendet werden.