🔢 mathematics

Carl Størmer and his Numbers

Dit artikel stelt de nodige en toereikende voorwaarden vast opdat een natuurlijk getal een Størmertal is—gedefinieerd als de kleinste restoplossing van $x^2 \equiv -1 \bmod p$ voor priemgetallen $p \equiv 1 \bmod 4$ —en verkent tevens het historische werk van Carl Størmer dat deze getallen verbindt met Gregory-getallen en nauwkeurige benaderingen van $\pi$ .

Oorspronkelijke auteurs: Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn, Graeme Reinhart

Gepubliceerd 2026-04-30

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn, Graeme Reinhart

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een detective bent die probeert een mysterie op te lossen over een speciale club van getallen. Dit artikel gaat over die club, de regels om lid te worden, en hoe deze getallen ons helpen een zeer oud raadsel over het getal $\pi$ (pi) op te lossen.

Hier is het verhaal van Carl Størmer's Getallen, opgesplitst in eenvoudige onderdelen.

1. De Club: "Størmer-getallen"

Laten we eerst praten over een beroemde wiskunderegel die Fermat's Twee Kwadraten Stelling heet. Deze stelt dat als je een priemgetal hebt (een getal dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf) dat één meer is dan een veelvoud van 4 (zoals 5, 13, 17, 29), je het altijd kunt splitsen in twee perfecte kwadraten die bij elkaar worden opgeteld.

Voorbeeld: $13 = 2^2 + 3^2$ ( $4 + 9$ ).

Om die twee kwadraten ($2$ en $3$) te vinden, moeten wiskundigen eerst een lastig raadsel oplossen: vind een getal $x$ zodat wanneer je het kwadrateert en deelt door het priemgetal, de rest $-1$ is.

Voorbeeld: Voor het priemgetal 13, als je 5 kwadrateert, krijg je 25. $25$ gedeeld door $13$ laat een rest van $-1$ (of $12$) over. Dus is 5 de sleutel.

De auteurs noemen dit sleutelgetal een Størmer-getal. Het is als het "wachtwoord" dat de deur opent om het priemgetal te splitsen in twee kwadraten.

2. De Grote Ontdekking: Wie krijgt het wachtwoord?

Lange tijd wisten mensen hoe ze het wachtwoord konden vinden als ze al het priemgetal hadden. Maar wat als je gewoon een willekeurig getal hebt, zoals 15? Is 15 een wachtwoord voor een of ander priemgetal? Of is het nep?

De auteurs van dit artikel hebben de exacte regel bedacht om te vertellen of een getal een echt Størmer-getal is of niet.

De Regel (De "Portier" bij de Deur):
Neem je getal (laten we het $x$ noemen). Kwadrateer het en tel 1 erbij op ( $x^2 + 1$ ). Kijk nu naar alle priemgetallen die met elkaar vermenigvuldigd dat resultaat opleveren.

Vind het grootste priemgetal in die groep.
De Regel: Je getal $x$ is een Størmer-getal dan en slechts dan als dat grootste priemgetal groter is dan $2x + 1$ .

Als het grootste priemgetal te klein is, is $x$ gewoon een normaal getal, geen Størmer-getal. Als het groot genoeg is, is $x$ het unieke wachtwoord voor dat specifieke grote priemgetal.

Analogie: Stel je voor dat je een sleutel hebt ( $x$ ). Je controleert het slot waar hij in past ( $x^2+1$ ). Als de grootste bout in het slot enorm is (groter dan twee keer de grootte van je sleutel), dan heb je een echte Størmer-sleutel. Als de bout klein is, houd je een neppe sleutel vast.

3. Hoe vaak komen ze voor?

De auteurs keken naar de eerste miljoen getallen en ontdekten dat ongeveer 70% daarvan Størmer-getallen zijn.
Ze vermoeden dat naarmate je naar oneindig gaat, dit percentage precies uitkomt op $\ln(2)$ (wat ongeveer 0,693 is, of 69,3%). Ze hebben dit niet met 100% zekerheid bewezen (het is nog steeds een "heuristisch" of onderbouwd vermoeden), maar de getallen suggereren sterk dat het waar is.

4. De Held uit de Werkelijkheid: Carl Størmer

Het artikel introduceert ook de man achter de getallen: Carl Størmer (1874–1957).

Wie was hij? Een briljante Noorse wiskundige en astronoom.
Wat deed hij nog meer? Hij was beroemd om zijn studie van het Noorderlicht (Aurora Borealis). Hij bedacht hoe geladen deeltjes van de zon dansen in het magnetisch veld van de Aarde. Hij was zo gerespecteerd dat een krater op de Maan naar hem is vernoemd!
De Leuke Feit: Hij was ook een geheime fotograaf. Hij droeg een minuscule spioncamera in zijn jasje en maakte candid-foto's van mensen op de straten van Oslo. Later werden deze foto's een beroemde kunsttentoonstelling.

5. De Grootse Finale: Pi ( $\pi$ ) Berekenen

Waarom geven we om deze getallen? Omdat ze ons helpen $\pi$ te berekenen (de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel).

In de oude dagen, voordat er computers waren, was het berekenen van $\pi$ als proberen een zwembad te vullen met een theelepel. Je had een zeer efficiënte manier nodig om dit te doen. Wiskundigen gebruiken formules met arctangens (een soort hoekberekening) om de cijfers van $\pi$ te krijgen.

Størmer ontdekte een speciale verbinding:

Als je een getal hebt dat GEEN Størmer-getal is, kun je de arctangens-formule ervan ontleden tot een som van arctangens van Størmer-getallen.
Als een getal WEL een Størmer-getal is, is het "onherleidbaar" – je kunt het niet verder ontleden. Het is een fundamenteel bouwsteen.

De "Superformule":
In 1896 vond Størmer een complexe formule om $\pi$ te berekenen.

In 2002 gebruikte een team onder leiding van Yasumasa Kanada Størmer's formule om 1,24 biljoen cijfers van $\pi$ te berekenen.
Dit was op dat moment een wereldrecord.

Dus, een concept uit de getaltheorie uit de 19e eeuw, gedefinieerd door een "portier"-regel over priemfactoren, was het geheime wapen dat werd gebruikt om het wereldrecord te breken voor het berekenen van de cijfers van $\pi$ in de 21e eeuw.

Samenvatting

Størmer-getallen zijn speciale "wachtwoorden" die helpen bepaalde priemgetallen te splitsen in twee kwadraten.
Het artikel geeft een eenvoudige test om te zien of een willekeurig getal een Størmer-getal is: Controleer of de grootste priemfactor van ( $x^2+1$ ) groter is dan $2x+1$ .
Ongeveer 69% van alle getallen zijn Størmer-getallen.
Deze getallen waren cruciaal voor Carl Størmer om formules te creëren die het mogelijk maakten dat computers biljoenen cijfers van $\pi$ berekenden.
Carl Størmer was ook een astronoom naar wie een maankrater is vernoemd en een spion op straatfotografie.

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt de karakterisering van Størmer-getallen, een specifieke klasse van gehele getallen die voortvloeit uit het onderzoek naar Fermat's Twee Kwadraten-stelling en de benadering van $\pi$ .

Context: Voor een priemgetal $p \equiv 1 \pmod 4$ garandeert Fermat's Twee Kwadraten-stelling een unieke representatie $p = a^2 + b^2$ . De meeste constructieve bewijzen van deze stelling vertrouwen op het vinden van het kleinste positieve gehele getal $x_0$ zodanig dat $x_0^2 \equiv -1 \pmod p$ en $1 < x_0 \le (p-1)/2$ .
Het Gat: Hoewel het bestaan van zo'n $x_0$ bekend is, ontbrak er een eenvoudige, noodzakelijke en voldoende voorwaarde om te bepalen of een willekeurig geheel getal $x_0 \in \mathbb{N}$ het Størmer-getal is voor een priemgetal $p$ . Bovendien was de statistische verdeling (natuurlijke dichtheid) van deze getallen onderwerp van conjectuur, maar ontbrak er een rigoureus bewijs.
Historische Motivatie: Het onderzoek sluit aan bij Carl Størmer's werk over identiteiten die $\pi$ uitdrukken als lineaire combinaties van arctangens-waarden (Gregory-getallen), die cruciaal waren voor berekeningen van $\pi$ met hoge precisie voordat het computertijdperk aanbrak.

2. Methodologie

De auteurs maken gebruik van een combinatie van getaltheorie, algebraïsche getaltheorie (specifiek Gaussische gehele getallen) en probabilistische heuristiek.

Continuanten en het Algoritme van Euclides: Het artikel bespreekt Smith's methode, die het algoritme van Euclides en continuanten (determinanten van tridiagonale matrices) gebruikt om de oplossing van $x^2 \equiv -1 \pmod p$ te koppelen aan de decompositie $p = a^2 + b^2$ .
Analyse van Priemfactorisatie: De kernmethodologie bestaat uit het analyseren van de priemfactorisatie van $x_0^2 + 1$ . De auteurs onderzoeken de relatie tussen $x_0$ en de grootste priemfactor van $x_0^2 + 1$ .
Gaussische Gehele Getallen: Om de connectie met Gregory-getallen aan te pakken, maken de auteurs gebruik van de ring van Gaussische gehele getallen $\mathbb{Z}[i]$ . Zij mappingen het probleem van het decomponeren van $\arctan(1/n)$ naar de factorisatie van Gaussische gehele getallen $n+i$ en de eigenschappen van hun normen.
Probabilistische Heuristiek: Voor de dichtheidsconjectuur construeren de auteurs een heuristisch argument gebaseerd op de verdeling van priemgetallen in rekenkundige rijen en Mertens' stellingen.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Karakterisering van Størmer-Getallen (Stelling 2.3)

Het artikel vestigt een definitieve noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor een geheel getal $x_0$ om een Størmer-getal te zijn.

Definitie: Laat $x_0^2 + 1 = 2^r \cdot p_1^{e_1} \cdots p_m^{e_m}$ de priemfactorisatie zijn, waarbij $p_1 < p_2 < \dots < p_m$ .
Stelling: $x_0$ is het Størmer-getal voor een priemgetal $p$ dan en slechts dan als $2x_0 + 1 \le p_m$ (waarbij $p_m$ de grootste priemfactor is van $x_0^2 + 1$ ).
Implicatie: Als de voorwaarde geldt, is het bijbehorende priemgetal uniek en gelijk aan $p = p_m$ . Als $2x_0 + 1 > p_m$ , dan is $x_0$ geen Størmer-getal voor enig priemgetal.
Injectiviteit: De auteurs bewijzen dat de Størmer-functie $S(p)$ injectief is; een specifiek $x_0$ komt overeen met ten hoogste één priemgetal $p$ .

B. Conjectuur voor Natuurlijke Dichtheid (Sectie 3)

Conjectuur: Het artikel bespreekt de conjectuur van Everest en Harman (2008) dat de natuurlijke dichtheid van Størmer-getallen $\ln(2) \approx 0,693$ is.
Heuristisch Bewijs: De auteurs geven een probabilistisch argument dat deze dichtheid suggereert. Zij schatten de kans in dat een willekeurig $x_0$ voldoet aan de voorwaarde $2x_0 + 1 \le p \le x_0^2 + 1$ voor een priemgetal $p$ . Met behulp van de priemgetalstelling voor rekenkundige rijen en Mertens' schattingen leiden zij de limiet af:
$\lim_{x_0 \to \infty} \sum_{2x_0 \le p \le x_0^2} \frac{1}{p} \sim \ln(\ln(x_0^2)) - \ln(\ln(2x_0)) \sim \ln(2)$
Opmerking: De auteurs stellen expliciet dat een rigoureus bewijs van deze dichtheid nog steeds ontwijkt.

C. Connectie met Gregory-Getallen en $\pi$ (Sectie 5)

Størmer's Stelling: Het artikel formaliseert Størmer's resultaat dat als $\gcd(a, b) = 1$ , dan $\arctan(b/a)$ uniek kan worden uitgedrukt als een eindige lineaire combinatie van $\arctan(1/n)$ waarbij elke $n$ een Størmer-getal is.
Mechanisme: Dit wordt bewezen via unieke factorisatie in $\mathbb{Z}[i]$ . De decompositie van $a+bi$ in Gaussische priemgetallen komt overeen met het decomponeren van de hoek $\arctan(b/a)$ in hoeken die geassocieerd zijn met Størmer-getallen.
Irreducibiliteit: Het artikel verbindt Størmer-getallen met "irreducibele" Gregory-getallen (in de zin van Todd), en bewijst dat $n$ een Størmer-getal is dan en slechts dan als $\arctan(1/n)$ niet kan worden geschreven als een som van andere $\arctan(1/k)$ -termen.
Historische Toepassing: Het artikel benadrukt hoe Størmer's identiteit uit 1896 ( $t_1 = 44t_{57} + 7t_{239} - 12t_{682} + 24t_{12943}$ ) door Yasumasa Kanada in 2002 werd gebruikt om 1,24 biljoen cijfers van $\pi$ te berekenen.

4. Betekenis

Theoretische Duidelijkheid: Het artikel lost de ambiguïteit op rond de identificatie van Størmer-getallen, en biedt een computationeel efficiënte test (Stelling 2.3) die de noodzaak om te zoeken naar het specifieke priemgetal $p$ dat bij een $x_0$ hoort, overbodig maakt.
Brug tussen Velden: Het overbrugt effectief klassieke getaltheorie (Fermat's stelling, kwadratische congruenties) met de geschiedenis van de computationele wiskunde (benaderingen van $\pi$ ).
Historische Context: Het artikel dient als een uitgebreide hulde aan Carl Størmer, en schetst zijn dubbele nalatenschap in de getaltheorie en de astrofysica (specifiek het onderzoek naar aurora's en geladen deeltjes in magnetische velden).
Algoritmische Nut: De karakterisering maakt het mogelijk om Størmer-getallen te genereren en nieuwe arctangens-identiteiten voor $\pi$ te construeren, wat, hoewel minder kritiek voor moderne supercomputers, wiskundig elegant blijft en historisch significant is.

Kortom, het artikel biedt een rigoureuze karakterisering van Størmer-getallen, biedt een overtuigende heuristiek voor hun dichtheid, en verduidelijkt hun fundamentele rol in de algebraïsche structuur van arctangens-identiteiten die worden gebruikt om $\pi$ te benaderen.