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Carl Størmer and his Numbers

Cet article établit des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre naturel soit un nombre de Størmer — défini comme la plus petite solution résiduelle de $x^2 \equiv -1 \bmod p$ pour les nombres premiers $p \equiv 1 \bmod 4$ — tout en explorant le travail historique de Carl Størmer reliant ces nombres aux nombres de Gregory et aux approximations de haute précision de $\pi$ .

Auteurs originaux : Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn, Graeme Reinhart

Publié 2026-04-30

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn, Graeme Reinhart

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous êtes un détective essayant de résoudre une énigme concernant un club spécial de nombres. Ce document traite de ce club, des règles pour y adhérer, et de la manière dont ces nombres nous aident à résoudre une très vieille énigme concernant le nombre $\pi$ (pi).

Voici l'histoire des Nombres de Størmer, décomposée en parties simples.

1. Le Club : « Nombres de Størmer »

Commençons par parler d'une célèbre règle mathématique appelée Théorème des deux carrés de Fermat. Il stipule que si vous avez un nombre premier (un nombre divisible uniquement par 1 et par lui-même) qui est égal à un multiple de 4 plus un (comme 5, 13, 17, 29), vous pouvez toujours le décomposer en la somme de deux carrés parfaits.

Exemple : $13 = 2^2 + 3^2$ ( $4 + 9$ ).

Pour trouver ces deux carrés ($2$ et $3$), les mathématiciens doivent généralement résoudre une énigme délicate au préalable : trouver un nombre $x$ tel que, lorsqu'on le met au carré et qu'on le divise par le nombre premier, le reste soit $-1$.

Exemple : Pour le nombre premier 13, si vous mettez 5 au carré, vous obtenez 25. $25$ divisé par $13$ laisse un reste de $-1$ (ou $12$). Ainsi, 5 est la clé.

Les auteurs appellent ce nombre clé un Nombre de Størmer. C'est comme le « mot de passe » qui déverrouille la porte permettant de décomposer le nombre premier en deux carrés.

2. La Grande Découverte : Qui obtient le mot de passe ?

Pendant longtemps, les gens savaient comment trouver le mot de passe si ils possédaient déjà le nombre premier. Mais que se passe-t-il si vous avez simplement un nombre au hasard, comme 15 ? 15 est-il un mot de passe pour un certain nombre premier ? Ou est-ce un faux ?

Les auteurs de ce document ont déterminé la règle exacte pour dire si un nombre est un véritable Nombre de Størmer ou non.

La Règle (Le « videur » à la porte) :
Prenez votre nombre (appelons-le $x$ ). Mettez-le au carré et ajoutez 1 ( $x^2 + 1$ ). Maintenant, examinez tous les nombres premiers qui se multiplient pour donner ce résultat.

Trouvez le plus grand nombre premier dans ce groupe.
La Règle : Votre nombre $x$ est un Nombre de Størmer si et seulement si ce plus grand nombre premier est plus grand que $2x + 1$ .

Si le plus grand nombre premier est trop petit, $x$ est simplement un nombre ordinaire, pas un Nombre de Størmer. S'il est assez grand, $x$ est le mot de passe unique pour ce nombre premier spécifique.

Analogie : Imaginez que vous avez une clé ( $x$ ). Vous vérifiez la serrure qu'elle ouvre ( $x^2+1$ ). Si le plus gros boulon de la serrure est énorme (plus grand que deux fois la taille de votre clé), alors vous avez une vraie clé de Størmer. Si le boulon est petit, vous tenez une fausse clé.

3. À quel point sont-ils communs ?

Les auteurs ont examiné les premiers millions de nombres et ont constaté qu'environ 70 % d'entre eux sont des Nombres de Størmer.
Ils soupçonnent que, lorsque l'on va vers l'infini, ce pourcentage se stabilise exactement à $\ln(2)$ (qui est environ 0,693, soit 69,3 %). Ils ne l'ont pas prouvé avec une certitude absolue (c'est toujours une « heuristique » ou une hypothèse éclairée), mais les nombres suggèrent fortement que c'est vrai.

4. Le Héros du Monde Réel : Carl Størmer

Le document présente également l'homme derrière ces nombres : Carl Størmer (1874–1957).

Qui était-il ? Un mathématicien et astronome norvégien brillant.
Que faisait-il d'autre ? Il était célèbre pour ses études sur l'Aurore Boréale (Aurores polaires). Il a déterminé comment les particules chargées du soleil dansent dans le champ magnétique de la Terre. Il était si respecté qu'un cratère sur la Lune porte son nom !
Le Fait Divertissant : Il était aussi un photographe secret. Il portait un tout petit appareil photo espion dans sa veste et prenait des photos à l'insu des gens dans les rues d'Oslo. Plus tard, ces photos sont devenues une exposition d'art célèbre.

5. Le Grand Final : Calculer Pi ( $\pi$ )

Pourquoi nous soucier de ces nombres ? Parce qu'ils nous aident à calculer $\pi$ (le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre).

Autrefois, avant les ordinateurs, calculer $\pi$ était comme essayer de remplir une piscine avec une cuillère à café. Il fallait une méthode très efficace. Les mathématiciens utilisent des formules impliquant des arctangentes (un type de calcul d'angle) pour obtenir les chiffres de $\pi$ .

Størmer a découvert un lien spécial :

Si vous avez un nombre qui N'EST PAS un Nombre de Størmer, vous pouvez décomposer sa formule d'arctangente en une somme d'arctangentes de Nombres de Størmer.
Si un nombre EST un Nombre de Størmer, il est « irréductible » — vous ne pouvez pas le décomposer davantage. C'est un bloc de construction fondamental.

La « Super Formule » :
En 1896, Størmer a trouvé une formule complexe pour calculer $\pi$ .

En 2002, une équipe dirigée par Yasumasa Kanada a utilisé la formule de Størmer pour calculer 1,24 billion de chiffres de $\pi$ .
C'était un record du monde à l'époque.

Ainsi, un concept de la théorie des nombres du XIXe siècle, défini par une règle de « videur » concernant les facteurs premiers, a été l'arme secrète utilisée pour battre le record du monde de calcul des chiffres de $\pi$ au XXIe siècle.

Résumé

Les Nombres de Størmer sont des « mots de passe » spéciaux qui aident à décomposer certains nombres premiers en deux carrés.
Le document fournit un test simple pour voir si n'importe quel nombre est un Nombre de Størmer : Vérifiez si le plus grand facteur premier de ( $x^2+1$ ) est plus grand que $2x+1$ .
Environ 69 % de tous les nombres sont des Nombres de Størmer.
Ces nombres ont été cruciaux pour que Carl Størmer crée des formules permettant aux ordinateurs de calculer des billions de chiffres de $\pi$ .
Carl Størmer était aussi un astronome à qui un cratère lunaire a été nommé et un espion de la photographie de rue.

1. Énoncé du problème

L'article traite de la caractérisation des nombres de Størmer, une classe spécifique d'entiers découlant de l'étude du théorème des deux carrés de Fermat et de l'approximation de $\pi$ .

Contexte : Pour un nombre premier $p \equiv 1 \pmod 4$ , le théorème des deux carrés de Fermat garantit une représentation unique $p = a^2 + b^2$ . La plupart des preuves constructives de ce théorème reposent sur la recherche du plus petit entier positif $x_0$ tel que $x_0^2 \equiv -1 \pmod p$ et $1 < x_0 \le (p-1)/2$ .
Le vide : Bien que l'existence d'un tel $x_0$ soit connue, il n'existait aucune condition simple, nécessaire et suffisante pour déterminer si un entier arbitraire $x_0 \in \mathbb{N}$ est le nombre de Størmer pour un certain nombre premier $p$ . De plus, la distribution statistique (densité naturelle) de ces nombres était un sujet de conjecture mais manquait d'une preuve rigoureuse.
Motivation historique : L'étude se connecte aux travaux de Carl Størmer sur les identités exprimant $\pi$ comme des combinaisons linéaires de valeurs d'arctangentes (nombres de Gregory), qui étaient cruciales pour les calculs de haute précision de $\pi$ avant l'ère informatique.

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une combinaison de théorie des nombres, de théorie algébrique des nombres (spécifiquement les entiers de Gauss) et d'heuristiques probabilistes.

Continuants et algorithme d'Euclide : L'article examine la méthode de Smith, qui utilise l'algorithme d'Euclide et les continuants (déterminants de matrices tridiagonales) pour relier la solution de $x^2 \equiv -1 \pmod p$ à la décomposition $p = a^2 + b^2$ .
Analyse de la factorisation première : La méthodologie centrale consiste à analyser la factorisation première de $x_0^2 + 1$ . Les auteurs étudient la relation entre $x_0$ et le plus grand facteur premier de $x_0^2 + 1$ .
Entiers de Gauss : Pour aborder la connexion avec les nombres de Gregory, les auteurs utilisent l'anneau des entiers de Gauss $\mathbb{Z}[i]$ . Ils transposent le problème de la décomposition de $\arctan(1/n)$ vers la factorisation des entiers de Gauss $n+i$ et les propriétés de leurs normes.
Heuristiques probabilistes : Pour la conjecture de densité, les auteurs construisent un argument heuristique basé sur la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques et les théorèmes de Mertens.

3. Contributions et résultats clés

A. Caractérisation des nombres de Størmer (Théorème 2.3)

L'article établit une condition nécessaire et suffisante définitive pour qu'un entier $x_0$ soit un nombre de Størmer.

Définition : Soit $x_0^2 + 1 = 2^r \cdot p_1^{e_1} \cdots p_m^{e_m}$ la factorisation première, où $p_1 < p_2 < \dots < p_m$ .
Théorème : $x_0$ est le nombre de Størmer pour un nombre premier $p$ si et seulement si $2x_0 + 1 \le p_m$ (où $p_m$ est le plus grand facteur premier de $x_0^2 + 1$ ).
Implication : Si la condition est remplie, le nombre premier associé est unique et égal à $p = p_m$ . Si $2x_0 + 1 > p_m$ , alors $x_0$ n'est un nombre de Størmer pour aucun nombre premier.
Injectivité : Les auteurs prouvent que la fonction de Størmer $S(p)$ est injective ; un $x_0$ spécifique correspond à au plus un nombre premier $p$ .

B. Conjecture sur la densité naturelle (Section 3)

Conjecture : L'article discute de la conjecture d'Everest et Harman (2008) selon laquelle la densité naturelle des nombres de Størmer est $\ln(2) \approx 0,693$ .
Preuve heuristique : Les auteurs fournissent un argument probabiliste suggérant cette densité. Ils estiment la probabilité qu'un $x_0$ aléatoire satisfasse la condition $2x_0 + 1 \le p \le x_0^2 + 1$ pour un certain nombre premier $p$ . En utilisant le théorème des nombres premiers pour les progressions arithmétiques et les estimations de Mertens, ils dérivent la limite :
$\lim_{x_0 \to \infty} \sum_{2x_0 \le p \le x_0^2} \frac{1}{p} \sim \ln(\ln(x_0^2)) - \ln(\ln(2x_0)) \sim \ln(2)$
Note : Les auteurs déclarent explicitement qu'une preuve rigoureuse de cette densité reste insaisissable.

C. Lien avec les nombres de Gregory et $\pi$ (Section 5)

Théorème de Størmer : L'article formalise le résultat de Størmer selon lequel, si $\gcd(a, b) = 1$ , alors $\arctan(b/a)$ peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire finie de $\arctan(1/n)$ où chaque $n$ est un nombre de Størmer.
Mécanisme : Cela est prouvé via la factorisation unique dans $\mathbb{Z}[i]$ . La décomposition de $a+bi$ en nombres premiers de Gauss correspond à la décomposition de l'angle $\arctan(b/a)$ en angles associés aux nombres de Størmer.
Irréductibilité : L'article relie les nombres de Størmer aux nombres de Gregory « irréductibles » (au sens de Todd), prouvant que $n$ est un nombre de Størmer si et seulement si $\arctan(1/n)$ ne peut pas être écrit comme une somme d'autres termes $\arctan(1/k)$ .
Application historique : L'article met en lumière comment l'identité de Størmer de 1896 ( $t_1 = 44t_{57} + 7t_{239} - 12t_{682} + 24t_{12943}$ ) a été utilisée par Yasumasa Kanada en 2002 pour calculer 1,24 billion de chiffres de $\pi$ .

4. Importance

Clarté théorique : L'article résout l'ambiguïté concernant l'identification des nombres de Størmer, fournissant un test computationnellement efficace (Théorème 2.3) qui évite la nécessité de rechercher le nombre premier $p$ spécifique associé à un $x_0$ .
Pont entre les domaines : Il fait efficacement le pont entre la théorie des nombres classique (théorème de Fermat, congruences quadratiques) et l'histoire des mathématiques computationnelles (approximations de $\pi$ ).
Contexte historique : L'article sert d'hommage complet à Carl Størmer, détaillant son double héritage en théorie des nombres et en astrophysique (spécifiquement l'étude des aurores et des particules chargées dans les champs magnétiques).
Utilité algorithmique : La caractérisation permet la génération de nombres de Størmer et la construction de nouvelles identités d'arctangentes pour $\pi$ , qui, bien que moins critiques pour les supercalculateurs modernes, restent mathématiquement élégantes et historiquement significatives.

En résumé, l'article fournit une caractérisation rigoureuse des nombres de Størmer, offre une heuristique convaincante pour leur densité et élucide leur rôle fondamental dans la structure algébrique des identités d'arctangentes utilisées pour approximer $\pi$ .