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Carl Størmer and his Numbers

Este artículo establece condiciones necesarias y suficientes para que un número natural sea un número de Størmer—definido como la solución de residuo mínimo más pequeña a $x^2 \equiv -1 \bmod p$ para primos $p \equiv 1 \bmod 4$ —mientras explora también el trabajo histórico de Carl Størmer que conecta estos números con los números de Gregory y las aproximaciones de alta precisión de $\pi$ .

Autores originales: Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn, Graeme Reinhart

Publicado 2026-04-30

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CC BY 4.0

Autores originales: Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn, Graeme Reinhart

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que eres un detective tratando de resolver un misterio sobre un club especial de números. Este artículo trata sobre ese club, las reglas para ingresar y cómo estos números nos ayudan a resolver un acertijo muy antiguo sobre el número $\pi$ (pi).

Aquí está la historia de los Números de Carl Størmer, desglosada en partes simples.

1. El Club: "Números de Størmer"

Primero, hablemos de una famosa regla matemática llamada Teorema de los Dos Cuadrados de Fermat. Dice que si tienes un número primo (un número divisible solo por 1 y por sí mismo) que es uno más que un múltiplo de 4 (como 5, 13, 17, 29), siempre puedes descomponerlo en la suma de dos cuadrados perfectos.

Ejemplo: $13 = 2^2 + 3^2$ ( $4 + 9$ ).

Para encontrar esos dos cuadrados ($2 $y$ 3$), los matemáticos usualmente tienen que resolver primero un acertijo complicado: Encontrar un número $x$ tal que, cuando lo elevas al cuadrado y lo divides por el primo, el residuo sea $-1$.

Ejemplo: Para el primo 13, si elevas 5 al cuadrado, obtienes 25. $25$ dividido por $13$ deja un residuo de $-1 $(o$ 12$). Por lo tanto, 5 es la clave.

Los autores llaman a este número clave un Número de Størmer. Es como la "contraseña" que desbloquea la puerta para dividir el número primo en dos cuadrados.

2. El Gran Descubrimiento: ¿Quién obtiene la contraseña?

Durante mucho tiempo, la gente sabía cómo encontrar la contraseña si ya tenían el número primo. Pero, ¿qué pasa si solo tienes un número al azar, como 15? ¿Es 15 una contraseña para algún primo? ¿O es una falsificación?

Los autores de este artículo descubrieron la regla exacta para decir si un número es un verdadero Número de Størmer o no.

La Regla (El "Portero" en la puerta):
Toma tu número (llamémoslo $x$ ). Eleva al cuadrado y suma 1 ( $x^2 + 1$ ). Ahora, mira todos los números primos que se multiplican entre sí para dar ese resultado.

Encuentra el mayor primo en ese grupo.
La Regla: Tu número $x$ es un Número de Størmer si y solo si ese primo mayor es más grande que $2x + 1$ .

Si el primo mayor es demasiado pequeño, $x$ es solo un número normal, no un Número de Størmer. Si es lo suficientemente grande, $x$ es la contraseña única para ese primo grande específico.

Analogía: Imagina que tienes una llave ( $x$ ). Revisas la cerradura que encaja ( $x^2+1$ ). Si el perno más grande en la cerradura es enorme (más grande que el doble del tamaño de tu llave), entonces tienes una llave real de Størmer. Si el perno es pequeño, estás sosteniendo una llave falsa.

3. ¿Qué tan comunes son?

Los autores examinaron los primeros millón de números y descubrieron que aproximadamente el 70% de ellos son Números de Størmer.
Sospechan que a medida que avanzas hacia el infinito, este porcentaje se estabiliza exactamente en $\ln(2)$ (que es aproximadamente 0.693, o 69.3%). No lo probaron con un 100% de certeza (sigue siendo una "heurística" o conjetura educada), pero los números sugieren fuertemente que es cierto.

4. El Héroe del Mundo Real: Carl Størmer

El artículo también presenta al hombre detrás de los números: Carl Størmer (1874–1957).

¿Quién era? Un brillante matemático y astrónomo noruego.
¿Qué más hizo? Fue famoso por estudiar la Aurora Boreal (Luces del Norte). Descubrió cómo las partículas cargadas del sol bailan en el campo magnético de la Tierra. Fue tan respetado que un cráter en la Luna lleva su nombre.
El dato curioso: También era un fotógrafo secreto. Llevaba una pequeña cámara espía en su chaqueta y tomaba fotos espontáneas de personas en las calles de Oslo. Más tarde, estas fotos se convirtieron en una famosa exposición de arte.

5. El Gran Final: Calculando Pi ( $\pi$ )

¿Por qué nos importan estos números? Porque nos ayudan a calcular $\pi$ (la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro).

En los viejos tiempos, antes de las computadoras, calcular $\pi$ era como intentar llenar una piscina con una cucharadita. Necesitabas una forma muy eficiente de hacerlo. Los matemáticos usan fórmulas que involucran arcotangentes (un tipo de cálculo de ángulos) para obtener los dígitos de $\pi$ .

Størmer descubrió una conexión especial:

Si tienes un número que NO es un Número de Størmer, puedes descomponer su fórmula de arcotangente en una suma de arcotangentes de Números de Størmer.
Si un número ES un Número de Størmer, es "irreducible": no puedes descomponerlo más. Es un bloque de construcción fundamental.

La "Super Fórmula":
En 1896, Størmer encontró una fórmula compleja para calcular $\pi$ .

En 2002, un equipo liderado por Yasumasa Kanada utilizó la fórmula de Størmer para calcular 1.24 billones de dígitos de $\pi$ .
Este fue un récord mundial en ese momento.

Así, un concepto de teoría de números del siglo XIX, definido por una regla de "portero" sobre factores primos, fue el arma secreta utilizada para romper el récord mundial de cálculo de dígitos de $\pi$ en el siglo XXI.

Resumen

Los Números de Størmer son "contraseñas" especiales que ayudan a dividir ciertos números primos en dos cuadrados.
El artículo ofrece una prueba simple para ver si cualquier número es un Número de Størmer: Verifica si el mayor factor primo de ( $x^2+1$ ) es mayor que $2x+1$ .
Aproximadamente el 69% de todos los números son Números de Størmer.
Estos números fueron cruciales para que Carl Størmer creara fórmulas que permitieron a las computadoras calcular billones de dígitos de $\pi$ .
Carl Størmer también fue un astrónomo que nombró cráteres lunares y un espía de fotografía callejera.

Aquí se presenta un resumen técnico detallado del artículo "Carl Størmer y sus Números" de Matthew Kroesche, Lance L. Littlejohn y Graeme Reinhart.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda la caracterización de los números de Størmer, una clase específica de enteros que surge del estudio del Teorema de los Dos Cuadrados de Fermat y la aproximación de $\pi$ .

Contexto: Para un primo $p \equiv 1 \pmod 4$ , el Teorema de los Dos Cuadrados de Fermat garantiza una representación única $p = a^2 + b^2$ . La mayoría de las demostraciones constructivas de este teorema dependen de encontrar el entero positivo más pequeño $x_0$ tal que $x_0^2 \equiv -1 \pmod p$ y $1 < x_0 \le (p-1)/2$ .
La Brecha: Si bien se conoce la existencia de tal $x_0$ , no existía una condición simple, necesaria y suficiente para determinar si un entero arbitrario $x_0 \in \mathbb{N}$ es el número de Størmer para algún primo $p$ . Además, la distribución estadística (densidad natural) de estos números era objeto de conjetura pero carecía de una demostración rigurosa.
Motivación Histórica: El estudio se conecta con el trabajo de Carl Størmer sobre identidades que expresan $\pi$ como combinaciones lineales de valores de arcotangente (números de Gregory), las cuales fueron cruciales para los cálculos de $\pi$ de alta precisión antes de la era informática.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de teoría de números, teoría algebraica de números (específicamente enteros gaussianos) y heurísticas probabilísticas.

Continuantes y Algoritmo de Euclides: El artículo revisa el método de Smith, que utiliza el algoritmo de Euclides y los continuantes (determinantes de matrices tridiagonales) para vincular la solución de $x^2 \equiv -1 \pmod p$ con la descomposición $p = a^2 + b^2$ .
Análisis de Factorización Prima: La metodología central implica analizar la factorización prima de $x_0^2 + 1$ . Los autores investigan la relación entre $x_0$ y el mayor factor primo de $x_0^2 + 1$ .
Enteros Gaussianos: Para abordar la conexión con los números de Gregory, los autores utilizan el anillo de enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]$ . Mapean el problema de descomponer $\arctan(1/n)$ a la factorización de enteros gaussianos $n+i$ y las propiedades de sus normas.
Heurísticas Probabilísticas: Para la conjetura de densidad, los autores construyen un argumento heurístico basado en la distribución de primos en progresiones aritméticas y los teoremas de Mertens.

3. Contribuciones y Resultados Clave

A. Caracterización de los Números de Størmer (Teorema 2.3)

El artículo establece una condición necesaria y suficiente definitiva para que un entero $x_0$ sea un número de Størmer.

Definición: Sea $x_0^2 + 1 = 2^r \cdot p_1^{e_1} \cdots p_m^{e_m}$ la factorización prima, donde $p_1 < p_2 < \dots < p_m$ .
Teorema: $x_0$ es el número de Størmer para un primo $p$ si y solo si $2x_0 + 1 \le p_m$ (donde $p_m$ es el mayor factor primo de $x_0^2 + 1$ ).
Implicación: Si se cumple la condición, el primo asociado es único e igual a $p = p_m$ . Si $2x_0 + 1 > p_m$ , entonces $x_0$ no es un número de Størmer para ningún primo.
Inyectividad: Los autores demuestran que la función de Størmer $S(p)$ es inyectiva; un $x_0$ específico corresponde a como máximo un primo $p$ .

B. Conjetura de Densidad Natural (Sección 3)

Conjetura: El artículo discute la conjetura de Everest y Harman (2008) de que la densidad natural de los números de Størmer es $\ln(2) \approx 0.693$ .
Demostración Heurística: Los autores proporcionan un argumento probabilístico que sugiere esta densidad. Estiman la probabilidad de que un $x_0$ aleatorio satisfaga la condición $2x_0 + 1 \le p \le x_0^2 + 1$ para algún primo $p$ . Utilizando el Teorema de los Números Primos para progresiones aritméticas y las estimaciones de Mertens, derivan el límite:
$\lim_{x_0 \to \infty} \sum_{2x_0 \le p \le x_0^2} \frac{1}{p} \sim \ln(\ln(x_0^2)) - \ln(\ln(2x_0)) \sim \ln(2)$
Nota: Los autores declaran explícitamente que una demostración rigurosa de esta densidad sigue siendo esquiva.

C. Conexión con Números de Gregory y $\pi$ (Sección 5)

Teorema de Størmer: El artículo formaliza el resultado de Størmer de que si $\gcd(a, b) = 1$ , entonces $\arctan(b/a)$ puede expresarse de manera única como una combinación lineal finita de $\arctan(1/n)$ donde cada $n$ es un número de Størmer.
Mecanismo: Esto se demuestra mediante la factorización única en $\mathbb{Z}[i]$ . La descomposición de $a+bi$ en primos gaussianos corresponde a descomponer el ángulo $\arctan(b/a)$ en ángulos asociados con números de Størmer.
Irreducibilidad: El artículo conecta los números de Størmer con los números de Gregory "irreducibles" (en el sentido de Todd), demostrando que $n$ es un número de Størmer si y solo si $\arctan(1/n)$ no puede escribirse como una suma de otros términos $\arctan(1/k)$ .
Aplicación Histórica: El artículo destaca cómo la identidad de Størmer de 1896 ( $t_1 = 44t_{57} + 7t_{239} - 12t_{682} + 24t_{12943}$ ) fue utilizada por Yasumasa Kanada en 2002 para calcular 1,24 billones de dígitos de $\pi$ .

4. Significado

Claridad Teórica: El artículo resuelve la ambigüedad respecto a la identificación de los números de Størmer, proporcionando una prueba computacionalmente eficiente (Teorema 2.3) que evita la necesidad de buscar el primo específico $p$ asociado con un $x_0$ .
Puente entre Campos: Conecta eficazmente la teoría de números clásica (teorema de Fermat, congruencias cuadráticas) con la historia de las matemáticas computacionales (aproximaciones de $\pi$ ).
Contexto Histórico: El artículo sirve como un tributo integral a Carl Størmer, detallando su doble legado en teoría de números y astrofísica (específicamente el estudio de auroras y partículas cargadas en campos magnéticos).
Utilidad Algorítmica: La caracterización permite la generación de números de Størmer y la construcción de nuevas identidades de arcotangente para $\pi$ , las cuales, aunque menos críticas para las supercomputadoras modernas, siguen siendo matemáticamente elegantes y históricamente significativas.

En resumen, el artículo proporciona una caracterización rigurosa de los números de Størmer, ofrece una heurística convincente para su densidad y aclara su papel fundamental en la estructura algebraica de las identidades de arcotangente utilizadas para aproximar $\pi$ .