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E-values as statistical evidence: A comparison to Bayes factors, likelihoods, and p-values

Diese Arbeit stellt E-Werte und E-Prozesse als vielversprechende, intuitive Maße für statistische Evidenz vor, die die vorteilhaften Eigenschaften von p-Werten, Likelihood-Verhältnissen und Bayes-Faktoren vereinen und sich für die Bewertung von Hypothesen eignen.

Ursprüngliche Autoren: Ben Chugg, Aaditya Ramdas, Peter Grünwald

Veröffentlicht 2026-03-26

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Ben Chugg, Aaditya Ramdas, Peter Grünwald

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Detektiv, der versucht herauszufinden, ob ein Verdächtiger unschuldig ist (die sogenannte „Nullhypothese"). In der Welt der Statistik gibt es seit Jahrzehnten einen großen Streit darüber, welches Werkzeug das Beste ist, um Beweise zu sammeln und zu bewerten.

Die drei großen Konkurrenten waren bisher:

Der P-Wert: Der Klassiker. Er sagt: „Wie unwahrscheinlich wäre es, diese Daten zu sehen, wenn der Verdächtige unschuldig wäre?"
Der Likelihood-Ratio (Wahrscheinlichkeitsverhältnis): Ein Vergleich. Er sagt: „Wie viel wahrscheinlicher sind diese Daten unter der Annahme, dass der Verdächtige schuldig ist, im Vergleich zu unschuldig?"
Der Bayes-Faktor: Der Bayesianer. Er sagt: „Wie sehr sollten wir unsere Überzeugung ändern, nachdem wir die neuen Beweise gesehen haben?"

Jeder dieser Methoden hat ihre Fans und ihre Kritiker. Aber in diesem neuen Papier stellen die Autoren zwei neue Kandidaten vor: den E-Wert (e-value) und den E-Prozess (e-process).

Hier ist die Erklärung dieser neuen Werkzeuge in einfachen Worten, mit ein paar bildhaften Vergleichen.

1. Das große Wetten-Spiel (Die Grundidee)

Stellen Sie sich vor, Sie spielen ein Wettspiel gegen die Natur (oder gegen die Annahme, dass der Verdächtige unschuldig ist).

Der E-Wert ist wie Ihr Gewinn:
Sie starten mit 1 Euro. Sie wetten auf eine bestimmte Strategie. Wenn die Annahme „Der Verdächtige ist unschuldig" wahr ist, dann ist das Spiel fair. Das bedeutet: Im Durchschnitt werden Sie kein Geld gewinnen. Ihr Gewinn wird bei 1 Euro bleiben oder sinken.
Aber! Wenn der Verdächtige tatsächlich schuldig ist und die Daten eine klare Spur hinterlassen, dann kann Ihr Gewinn explodieren. Wenn Sie nach dem Spiel 100 Euro haben, ist das ein sehr starkes Zeichen dafür, dass die Annahme der Unschuld falsch war.
- Einfach gesagt: Ein hoher E-Wert bedeutet: „Ich habe viel Geld gemacht, weil meine Wette gegen die Unschuld gewonnen hat."
Der E-Prozess ist wie ein laufendes Konto:
Was passiert, wenn Sie nicht nur einmal wetten, sondern immer wieder neue Daten bekommen? Vielleicht sammeln Sie Daten über Monate hinweg. Ein E-Prozess ist wie Ihr Kontostand, der sich mit jedem neuen Datum aktualisiert.
Das Geniale daran: Sie können das Spiel jederzeit stoppen, wenn Sie wollen. Egal, ob Sie nach 5 Tagen oder nach 5 Jahren aufhören, die Mathematik garantiert Ihnen, dass Sie nicht „betrügen" können. Wenn die Unschuld wahr wäre, wäre Ihr Kontostand immer noch im Durchschnitt bei 1 Euro geblieben.

2. Warum sind diese neuen Werkzeuge so cool?

Die Autoren vergleichen die alten und neuen Werkzeuge und finden heraus, dass die E-Werte die besten Eigenschaften aller anderen vereinen.

Das Problem mit dem P-Wert (Der „Starrkopf"):
Der P-Wert ist sehr stur. Wenn Sie planen, 100 Personen zu testen, aber nach 50 Personen schon ein „gutes" Ergebnis sehen und dann 50 weitere hinzufügen, um sicherzugehen, ist der P-Wert kaputt. Er verliert seine Gültigkeit, weil er nicht weiß, dass Sie die Regeln mitten im Spiel geändert haben. Das nennt man „Optional Stopping" (willkürliches Stoppen).
- Analogie: Es ist wie ein Schiedsrichter, der den Spielstand annulliert, nur weil das Team die Spielzeit verlängert hat, obwohl das Ergebnis auf dem Feld gleich geblieben ist.
Das Problem mit dem Bayes-Faktor (Der „Subjektive"):
Der Bayes-Faktor ist stark, aber er hängt davon ab, welche Vorurteile (Priors) Sie am Anfang haben. Zwei Detektive mit unterschiedlichen Vorurteilen kommen zu unterschiedlichen Ergebnissen.
- Analogie: Zwei Richter, die unterschiedliche Gesetze im Kopf haben, urteilen über denselben Fall unterschiedlich.
Die Stärke des E-Werts (Der „Flexible"):
Der E-Wert ist wie ein unerschütterlicher Bankier.
1. Er liebt Flexibilität: Sie können Daten sammeln, solange Sie wollen. Sie können stoppen, wenn Sie wollen, oder weitermachen, wenn neue Daten reinkommen. Der E-Wert bleibt immer gültig.
2. Er mag Teamwork: Wenn Sie Daten aus verschiedenen Studien haben (z. B. Studie A und Studie B), können Sie die E-Werte einfach multiplizieren. 2 mal 3 ergibt 6. Das ist wie das Zusammenfügen von Puzzleteilen. Andere Methoden (wie P-Werte) brauchen komplizierte Tricks, um das zu tun.
3. Er ist objektiv: Er hängt nicht davon ab, wer die Studie macht oder welche Vorurteile man hat.

3. Ein konkretes Beispiel aus dem Papier

Stellen Sie sich vor, Sie testen ein neues Medikament.

Mit dem P-Wert: Sie testen 50 Leute. Das Ergebnis ist „vielleicht gut" (p=0,1). Sie denken: „Oh, ich teste noch 30 weitere Leute." Wenn Sie dann den P-Wert neu berechnen, ist er ungültig, weil Sie die Regel gebrochen haben.
Mit dem E-Wert: Sie testen 50 Leute und erhalten einen E-Wert von 2. Das ist okay. Dann testen Sie 30 weitere. Sie multiplizieren den neuen E-Wert mit dem alten. Das Ergebnis ist gültig! Es ist, als ob Sie Ihr Geld auf dem Konto einfach weiterverzinsen lassen, egal wann Sie es abheben.

4. Was ist das Fazit?

Die Autoren sagen: Wir müssen nicht mehr streiten, ob P-Werte, Likelihoods oder Bayes-Faktoren die „einzige" Wahrheit sind. Stattdessen sollten wir die E-Werte ernsthaft in Betracht ziehen.

Warum?

Sie sind intuitiv: Man kann sie sich als Geldgewinn vorstellen.
Sie sind robust: Sie funktionieren auch, wenn man die Studienplanung ändert (was in der echten Welt oft passiert).
Sie sind kombinierbar: Man kann sie leicht aus verschiedenen Quellen zusammenfügen.

Zusammenfassend:
Die E-Werte sind wie ein Schweizer Taschenmesser unter den statistischen Werkzeugen. Sie haben die Schärfe der Likelihood-Ratios, die Objektivität der Fehlerkontrolle (wie beim P-Wert) und die Flexibilität, die Bayesianer sich wünschen, ohne deren subjektive Vorurteile. Sie sind ein mächtiges neues Werkzeug, um in einer komplexen Welt Beweise zu sammeln, ohne dabei die Regeln des Spiels zu brechen.

1. Problemstellung

Die Statistikphilosophie ist seit langem durch eine fundamentale Debatte darüber geprägt, was genau als Maß für die Evidenz für oder gegen eine Hypothese gelten sollte. Die etablierten Maße – p-Werte, Likelihood-Quotienten und Bayes-Faktoren – haben jeweils ihre Verteidiger, weisen aber signifikante Mängel auf:

p-Werte werden oft kritisiert, weil sie keine konsistente Evidenz liefern, nicht invariant gegenüber der Stichprobengröße sind und bei „optionaler Stoppung" (optional stopping) ihre Gültigkeit verlieren.
Likelihood-Quotienten sind für einfache Hypothesen gut definiert, aber ihre Verallgemeinerung auf zusammengesetzte (composite) Hypothesen (z. B. durch den generalisierten Likelihood-Quotienten, GLR) ist problematisch und liefert oft keine klaren Fehlerkontrollen.
Bayes-Faktoren erfordern Prior-Verteilungen, was zu Subjektivität führen kann, und liefern nicht immer garantierte frequentistische Fehlerkontrollen.

Das Paper stellt die Frage, ob es ein Maß gibt, das die Vorteile dieser Traditionen vereint und deren Nachteile vermeidet. Als Kandidaten werden E-Werte (e-values) und ihre sequenziellen Analoga, E-Prozesse (e-processes), eingeführt und bewertet.

2. Methodik und theoretischer Rahmen

Die Autoren untersuchen E-Statistiken im Kontext von 21 verschiedenen „evidentiellen Desiderata" (Wunschmerkmalen), die aus drei Haupttraditionen der Statistik abgeleitet wurden:

Frequentistische Fehlerwahrscheinlichkeiten (Neyman-Pearson, Fisher): Fokus auf Fehlerkontrollen (Typ-I/II) und langfristige Häufigkeiten.
Bayessche Bestätigungstheorie: Fokus auf die Änderung der Posterior-Odds durch Daten.
Likelihood-Tradition: Fokus auf relative Unterstützung zwischen Hypothesen und das Likelihood-Prinzip.

Die Analyse unterscheidet zwischen statischen Kriterien (Bewertung eines festen Datensatzes) und dynamischen Kriterien (sequenzielle Daten, optionales Stoppen, Gegenfaktische Szenarien).

Definitionen:

E-Variable ( $E$ ): Eine nicht-negative Zufallsvariable, deren Erwartungswert unter der Nullhypothesen-Verteilung $H$ höchstens 1 ist ( $E_P[E] \le 1$ für alle $P \in H$ ).
E-Prozess ( $E_t$ ): Eine sequenzielle Folge von Zufallsvariablen, die ein nicht-negatives Supermartingal bezüglich $H$ bildet. Für jede Stoppzeit $\tau$ gilt $E_P[E_\tau] \le 1$ .
Betting-Game-Interpretation: E-Werte werden als „Gewinn" (Kapital) eines Spielers interpretiert, der gegen die Nullhypothese wettet. Wenn $H$ wahr ist, kann der Spieler im Erwartungswert nicht gewinnen. Ein großer E-Wert bedeutet daher starke Evidenz gegen $H$ .

3. Schlüsselbeiträge

Das Paper leistet drei wesentliche Beiträge:

Einführung und Systematisierung: Es führt E-Werte und E-Prozesse als neue, robuste Kandidaten für Evidenzmaße ein und positioniert sie im bestehenden Diskurs.
Taxonomie der Kriterien: Es unterscheidet klar zwischen statischen und dynamischen Kriterien sowie zwischen inter- und intra-experimentellen Gegenfaktischen Szenarien (Counterfactuals). Dies klärt oft vermisste Konzepte in der Literatur.
Vergleichende Analyse: Die Autoren evaluieren systematisch, wie p-Werte, Likelihood-Quotienten, Bayes-Faktoren und E-Statistiken die 21 Kriterien erfüllen, und erstellen eine detaillierte Vergleichstabelle (Tabelle 1 im Paper).

4. Ergebnisse und Vergleich

Die Analyse zeigt, dass E-Statistiken eine einzigartige Kombination von Eigenschaften bieten, die andere Maße nicht gleichzeitig bieten:

Fehlerkontrolle (Long-run error rates): E-Werte und E-Prozesse bieten strikte, nicht-asymptotische Kontrolle des Typ-I-Fehlers (via Markov- und Ville-Ungleichung). Dies ist ein Vorteil gegenüber Likelihood-Quotienten und Bayes-Faktoren, die keine solchen Garantien bieten.
Optionales Stoppen (Optional Stopping): E-Prozesse bleiben gültig, unabhängig davon, wann die Datenerhebung gestoppt wird (z. B. basierend auf den bisherigen Daten). p-Werte und GLRs versagen hier (sie erfordern einen festen Versuchsplan).
Zusammengesetzte Hypothesen: E-Statistiken können direkt für zusammengesetzte und nichtparametrische Hypothesen konstruiert werden (z. B. durch „Universal Inference" oder Mischungen), ohne dass ein expliziter Prior für den Parameterraum benötigt wird.
Kombinierbarkeit (Composability): E-Werte können unabhängig von der Abhängigkeitsstruktur multipliziert werden, um Evidenz aus mehreren Studien zu aggregieren. Dies funktioniert auch bei optionaler Fortsetzung (Accumulation II). Likelihood-Quotienten und Bayes-Faktoren benötigen hier oft bedingte Unabhängigkeit.
Interpretation: E-Werte bieten eine intuitive Interpretation als „Kapitalgewinn" im Wettspiel gegen die Nullhypothese. Sie sind skalierbar und können als Verallgemeinerung von Likelihood-Quotienten auf zusammengesetzte Räume gesehen werden.

Schwächen und Einschränkungen:

Nicht-Eindeutigkeit: Es gibt für ein gegebenes Problem oft viele verschiedene E-Statistiken (wie auch bei p-Werten oder Priors). Die Wahl der „besten" E-Statistik (z. B. log-optimal) ist nicht immer eindeutig, besonders bei zusammengesetzten Alternativen.
Gegenfaktische Szenarien (Intra-experiment): Während E-Prozesse robust gegenüber optionalem Stoppen sind, ist ihre Definition auf Filtrationen (Sequenzen von Zufallsvariablen) beschränkt. Die vollständige Erfüllung des Kriteriums, dass Evidenz nur vom realisierten Ereignis und nicht von der Definition des Experiments abhängen darf (wie beim Likelihood-Prinzip), ist bei E-Prozessen noch nicht in derselben Allgemeinheit geklärt wie bei Likelihood-Quotienten.

5. Bedeutung und Fazit

Das Paper argumentiert, dass E-Statistiken die Lücke zwischen den verschiedenen statistischen Traditionen schließen:

Sie bieten die Fehlerkontrollen des frequentistischen Ansatzes (wie p-Werte).
Sie teilen die Kombinierbarkeit und relative Natur der Likelihood-Tradition.
Sie können Priors integrieren (via Mischmethoden) und Bayes-Faktoren in bestimmten Fällen reproduzieren, bleiben aber fundamental frequentistisch in ihrer Gültigkeit.

Signifikanz:
E-Werte und E-Prozesse werden als vielversprechende, interpretierbare und intuitive Maße für statistische Evidenz vorgeschlagen. Sie lösen das Problem der „p-hacking" (durch optionales Stoppen) und bieten eine robuste Grundlage für sequenzielle Analysen, Meta-Analysen und die Kombination von Studien unter flexiblen Designs. Obwohl sie nicht alle philosophischen Kriterien perfekt erfüllen (insbesondere im Hinblick auf die strikte Eindeutigkeit und das Likelihood-Prinzip in seiner strengsten Form), stellen sie einen signifikanten Fortschritt dar, der eine ernsthafte Erwägung als Standardmaß für Evidenz verdient.

Zukünftige Arbeiten sollten sich auf die Klärung der Gegenfaktischen Kriterien für E-Prozesse und die Entwicklung von Konsens-Kriterien für die Auswahl optimaler E-Statistiken konzentrieren.