📊 statistics

E-values as statistical evidence: A comparison to Bayes factors, likelihoods, and p-values

Dit artikel introduceert e-waarden en e-processen als nieuwe, veelzijdige maatstaven voor statistisch bewijs die de sterke punten van p-waarden, likelihoodverhoudingen en Bayesfactoren combineren en zich lenen voor interpretatie als vermogen in een weddenschap tegen de nulhypothese.

Oorspronkelijke auteurs: Ben Chugg, Aaditya Ramdas, Peter Grünwald

Gepubliceerd 2026-03-26

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Ben Chugg, Aaditya Ramdas, Peter Grünwald

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Statistiek zonder ingewikkelde wiskunde: De "E-waarde" als nieuwe held

Stel je voor dat statistiek een groot, chaotisch debat is in een café. Aan de ene kant zitten de P-waarde-fanaten (de "Frequentisten"), die zeggen: "Als je dit resultaat ziet, is de kans dat het toeval is heel klein, dus we hebben bewijs!" Aan de andere kant zitten de Bayes-factoren-liefhebbers (de "Bayesianen"), die zeggen: "Nee, we moeten kijken hoe onze overtuiging verandert na het zien van de data." En dan zijn er nog de Likelihood-ratio-experts die zeggen: "Het gaat puur om welke theorie de data het beste verklaart."

Elke groep heeft zijn eigen meetlat, maar er is altijd ruzie over welke meetlat de juiste is. Soms werken ze niet goed als je stopt met meten op het moment dat het je uitkomt (dat noemen ze "optionele stopping"), en soms weten ze niet hoe ze met complexe hypotheses om moeten gaan.

In dit artikel introduceren de auteurs Ben Chugg, Aaditya Ramdas en Peter Grünwald twee nieuwe kandidaten voor de rol van "beste bewijsmaatstaf": de E-waarde en de E-proces.

Hier is wat ze doen, vertaald naar alledaags taal:

1. Het Gokspel: De E-waarde als winst

Stel je voor dat je een gokker bent die een spelletje speelt tegen de "Natuur" (of de "Nul-hypothese"). De Nul-hypothese is de bewering dat er niets bijzonders aan de hand is (bijvoorbeeld: een munt is eerlijk, of een medicijn werkt niet).

De Regels: Je begint met €1. Je mag elke ronde een gok doen. Als de Nul-hypothese waar is, mag je op de lange termijn niet meer geld verdienen dan je hebt ingezet. Je mag gemiddeld niet winnen.
De E-waarde: Dit is je winst op dat moment.
- Als je €1 hebt, is er geen bewijs tegen de Nul-hypothese.
- Als je €100 hebt, betekent dit dat je een ongelooflijk slimme gok hebt gedaan die de Nul-hypothese heeft "ontmaskerd". De kans dat je zomaar €100 wint als de munt eerlijk is, is extreem klein.
- Conclusie: Hoe hoger je winst (de E-waarde), hoe sterker het bewijs dat de Nul-hypothese onwaar is.

2. Waarom is dit zo cool? (De superkrachten)

De auteurs laten zien dat de E-waarde de beste eigenschappen van de oude meetlatten combineert, zonder hun grootste nadelen:

Stoppen wanneer je wilt (Optionele Stopping):
- Het oude probleem: Bij P-waarden mag je niet stoppen zodra je een "leuk" resultaat ziet. Als je blijft meten tot je een significant resultaat vindt, bedrieg je de statistiek (dit heet "p-hacking").
- De E-waarde oplossing: Omdat je winst in het gokspel nooit meer dan 1 kan worden als de Nul-hypothese waar is, maakt het niet uit wanneer je stopt. Je kunt stoppen na 5 metingen of na 5000. Als je winst hoog is, is het bewijs geldig, ongeacht hoe je hebt gestopt. Het is alsof je een speler bent die altijd eerlijk speelt, ongeacht hoe lang het spel duurt.
Samenvoegen van onderzoeken (Composability):
- Het oude probleem: Als twee onderzoeksgroepen apart werken, is het lastig om hun P-waarden of Bayes-factoren simpelweg bij elkaar op te tellen of te vermenigvuldigen, zeker als ze niet onafhankelijk zijn.
- De E-waarde oplossing: Je kunt je winst simpelweg vermenigvuldigen. Groep A wint €2, Groep B wint €3. Samen hebben ze €6. Dit werkt zelfs als de groepen niet onafhankelijk zijn. Het is alsof je je geld in een potje doet en het samen laat groeien.
Werken met complexe hypotheses:
- Veel oude methoden hebben moeite als je niet één specifieke alternatieve theorie hebt, maar een heleboel mogelijke. De E-waarde kan hier prima mee omgaan door te gokken tegen de "slechtst mogelijke" versie van de Nul-hypothese.

3. De analogie van de "Verzekering"

Stel je voor dat je een verzekering wilt afsluiten tegen een ramp.

Een P-waarde zegt: "De kans dat deze ramp gebeurt is 1 op 100." Maar als je blijft kijken tot je de ramp ziet, is die kans niet meer 1 op 100.
Een E-waarde zegt: "Ik heb een polis die je €100 uitkeert als de ramp gebeurt. Als de ramp niet gebeurt, kost het me niets." Als je nu €100 ziet uitbetaald worden, weet je zeker dat de ramp (of de onwaarschijnlijkheid van de Nul-hypothese) heeft plaatsgevonden. Het maakt niet uit of je de polis nu of over een uur inwisselt.

4. Wat zijn de nadelen?

Natuurlijk is niets perfect. De auteurs zijn eerlijk over de beperkingen:

Keuzevrijheid: Er is niet één perfecte E-waarde voor elk probleem. Je moet zelf kiezen hoe je gokt (hoe je de "winst" berekent). Dit lijkt op het kiezen van een prior in de Bayesiaanse statistiek. Je moet dus wel een beetje verstand hebben van het probleem om de juiste "gokstrategie" te kiezen.
Interpretatie: Het is makkelijker om te zeggen "de kans is klein" (P-waarde) dan "ik heb €100 gewonnen" (E-waarde), hoewel de auteurs beweren dat de winst-interpretatie eigenlijk intuïtiever is voor de lange termijn.

Samenvatting in één zin

De E-waarde is een nieuwe manier om statistisch bewijs te meten die zich laat vertalen naar geldwinst in een eerlijk gokspel. Het is zo ontworpen dat je niet kunt bedriegen door te stoppen wanneer het je uitkomt, en dat je resultaten van verschillende onderzoeken makkelijk kunt samenvoegen. Het combineert de kracht van de P-waarde, de logica van de Likelihood-ratio en de flexibiliteit van de Bayes-factor, maar zonder de meeste van hun struikelblokken.

Kortom: Het is een meetlat die niet alleen werkt in de theorie, maar ook in de echte, chaotische wereld van wetenschappelijk onderzoek waar plannen vaak veranderen en data soms onafhankelijk van elkaar binnenkomt.

Probleemstelling

De statistische filosofie kampt met een aanhoudend debat over wat precies moet gelden als een maatstaf voor bewijs voor of tegen een hypothese. De drie dominante spelers zijn:

P-waarden: Geïntroduceerd door Pearson en Fisher, maar bekritiseerd omdat ze inconsistent zijn, niet invariant zijn voor steekproefgrootte, en gevoelig zijn voor "optional stopping" (het stoppen van een experiment op basis van de data). Ze worden vaak gezien als een slechte maatstaf voor bewijs op zichzelf.
Likelihood-ratio's: Gebaseerd op het likelihood-principe, maar moeilijk te definiëren voor samengestelde hypothesen (waar parameters een bereik hebben in plaats van één waarde).
Bayes-factoren: Vereisen een a priori verdeling (prior), wat subjectiviteit introduceert, en zijn vaak niet geldig onder optioneel stoppen zonder specifieke aannames.

Er is behoefte aan een maatstaf die de sterke punten van deze traditionele methoden combineert, maar hun zwaktes (zoals de afhankelijkheid van het stopplan en de moeilijkheid met samengestelde hypothesen) overwint.

Methodologie

De auteurs introduceren en analyseren twee nieuwe concepten: e-variabelen (e-values) en e-processen (e-processes).

Definitie: Een e-variabele $E$ voor een hypothese $H$ (een verzameling van verdelingen) is een niet-negatieve stochastische variabele waarvoor geldt dat de verwachtingswaarde onder elke verdeling $P \in H$ hoogstens 1 is: $\sup_{P \in H} E_P[E] \leq 1$ .
E-processen: Dit zijn de sequentiële analogen van e-variabelen. Een proces $(E_t)_{t \geq 1}$ is een e-proces als voor elke stopstoptijd $\tau$ (een tijdstip dat afhankelijk is van de data), geldt dat $E_P[E_\tau] \leq 1$ .
Interpretatie (Het Wapen): De auteurs interpreteren e-statistieken via een "weddenschapspel" tussen een statisticus en de natuur. Als de null-hypothese waar is, kan de statisticus niet verwachten geld te winnen, ongeacht hoe slim de strategie is. Een grote e-waarde vertegenwoordigt een grote winst (vermogen) die de statisticus heeft opgebouwd, wat sterk bewijs is tegen de null-hypothese.
Vergelijkingskader: De auteurs evalueren e-statistieken aan de hand van 21 desiderata (wenselijke eigenschappen) die zijn afgeleid uit drie statistische tradities:
1. Likelihood-traditie (relatief bewijs, likelihood-principe).
2. Bayesiaanse traditie (confirmatie, verandering in odds).
3. Frequentistische fout-kans-traditie (controle van Type-I/II fouten, lange-termijn foutpercentages).

De criteria worden onderverdeeld in statische (gebaseerd op een vaste dataset) en dynamische criteria (betreffende sequentiële data, optioneel stoppen en contrafactuele scenario's).

Belangrijkste Bijdragen

Integratie van E-statistieken in het bewijs-debat: Het artikel positioneert e-statistieken als een serieuze kandidaat naast p-waarden, likelihood-ratio's en Bayes-factoren.
Taxonomie van Criteria: De auteurs verfijnen de bestaande literatuur door een onderscheid te maken tussen statische en dynamische criteria, en binnen dynamische criteria tussen inter-experiment (meerdere studies) en intra-experiment (optioneel stoppen binnen één studie) scenario's.
Universele Eigenschappen: Ze tonen aan dat e-statistieken kunnen worden gezien als gegeneraliseerde likelihood-ratio's, maar met de cruciale eigenschap dat ze de "eerlijkheid" van het weddenschapsspel behouden ( $E \leq 1$ onder de null), zelfs bij samengestelde hypothesen.
Methoden voor Constructie: Het artikel bespreekt constructiemethoden zoals "Universal Inference" en "Method of Mixtures", die e-statistieken verbinden met zowel frequentistische als Bayesiaanse benaderingen (bijvoorbeeld door priors te gebruiken binnen een frequentistisch kader).

Resultaten en Vergelijking

De auteurs vergelijken e-statistieken met de traditionele maatstaven aan de hand van de 21 criteria (samengevat in Tabel 1 van het artikel):

Statische Criteria:
- Continuïteit en Schaal: E-statistieken voldoen aan de meeste criteria voor continuïteit en schaal-invariantie.
- Enkele Hypothese: In tegenstelling tot likelihood-ratio's en Bayes-factoren (die twee hypothesen nodig hebben), kunnen e-statistieken bewijs leveren tegen een enkele hypothese zonder een expliciet alternatief te specificeren.
- Samengestelde Hypothesen: E-statistieken handelen samengestelde en niet-parametrische hypothesen zeer natuurlijk, zonder de noodzaak van complexe priors over oneindig-dimensionale ruimtes (zoals bij Bayes-factoren).
Dynamische Criteria (Het grote onderscheid):
- Optioneel Stoppen (Optional Stopping): Dit is de sterkste troef van e-processen. Ze blijven geldig (behouden hun foutcontrole) ongeacht wanneer het experiment wordt gestopt, zelfs als de stopregel data-afhankelijk is. P-waarden en de meeste Bayes-factoren falen hier.
- Accumulatie: E-statistieken kunnen eenvoudig worden vermenigvuldigd om bewijs uit meerdere studies (ook met afhankelijke data) te combineren. Likelihood-ratio's en Bayes-factoren vereisen strikte onafhankelijkheid of specifieke aannames.
- Contrafactuelen: E-statistieken zijn onafhankelijk van wat niet is waargenomen (contrafactuele scenario's), terwijl p-waarden hier sterk van afhankelijk zijn (het "p-hacking" probleem).
Beperkingen:
- Niet-uniekheid: Voor een gegeven probleem kunnen er veel verschillende e-variabelen bestaan (afhankelijk van hoe de statisticus "weddenschappen" inzet). Er is minder consensus over welke e-variabele "optimaal" is vergeleken met de "uniform most powerful" p-waarde in de traditionele theorie.
- Likelihood-principe: E-statistieken voldoen niet strikt aan het strikte likelihood-principe in alle gevallen, hoewel ze er nauw mee verbonden zijn (ze kunnen worden begrensd door likelihood-ratio's).

Betekenis en Conclusie

Het artikel concludeert dat e-statistieken een krachtige synthese vormen van de beste eigenschappen van de bestaande methoden:

Ze bieden de interpretatie en foutcontrole van p-waarden (maar zonder de beperkingen van optioneel stoppen).
Ze delen de comparatieve aard van likelihood-ratio's, maar werken ook voor samengestelde hypothesen.
Ze kunnen Bayesiaanse elementen (priors) integreren via de "method of mixtures" terwijl ze hun frequentistische geldigheid behouden.

De auteurs betogen dat e-statistieken, met name e-processen, een intuïtieve en robuuste maatstaf voor statistisch bewijs zijn die geschikt is voor moderne, sequentiële en flexibele onderzoeksontwerpen. Ze verdienen serieuze overweging als een nieuwe standaard voor het meten van statistisch bewijs, vooral in situaties waar traditionele methoden falen door hun afhankelijkheid van het stopplan of hun moeilijkheid met complexe hypothesen.