Spectral interpolation in semi-implicit semi-Lagrangian methods for shallow water equations on the sphere

Technische Zusammenfassung: Spektrale Interpolation in semi-impliziten semi-Lagrange-Verfahren für die Flachwassergleichungen auf der Kugel

Problemstellung
Semi-implizite semi-Lagrange-Verfahren (SISL) sind der Standard für operationelle globale Wetter- und Klimamodelle, da sie Zeitschritte zulassen, die größer sind als die durch die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (CFL) erlaubten. Allerdings besteht in aktuellen operationellen Schemata eine signifikante numerische Inkonsistenz. Während die räumliche Diskretisierung der Ableitungen prognostischer Variablen typischerweise spektral genaue Methoden verwendet (wie Sphärische Harmonische Transformationen [SHT] oder die Double-Fourier-Kugel-Methode [DFS]), stützt sich der zur Auswertung von Variablen an gitterfremden Abgangspositionen erforderliche Interpolationsschritt auf Methoden niedriger Ordnung, wie kubische oder quintische tensorproduktbasierte Lagrange-Polynome.

Diese Diskrepanz erzeugt eine Ungleichheit in der numerischen Genauigkeit. Obwohl niedrige Interpolationsordnung häufig durch Bedenken hinsichtlich der Rechenkosten gerechtfertigt wird (mit einer Komplexität von $O(n^2)$ gegenüber $O(n^4)$ für spektrale Interpolation) und theoretischen Fehlergrenzen für einfache Advektion, gibt es in der Literatur nur begrenzte numerische Belege, die diesen Kompromiss für komplexe Systeme wie die Flachwassergleichungen (SWE) rechtfertigen. Darüber hinaus ist bekannt, dass Interpolation niedriger Ordnung übermäßige numerische Diffusion und Phasenfehler einführt, was die Genauigkeit und Erhaltungseigenschaften über lange Integrationszeiten hinweg verschlechtern kann.

Methodik
Diese Arbeit präsentiert die erste numerische Untersuchung spektral genauer Interpolation innerhalb von SISL-Schemata für die SWE auf einer Kugel. Die Autoren bauen auf dem DFS-basierten SISL-Modell von Yoshimura [56] auf, das eine stabile Fourier-Basis und ein Zwei-Zeitstufen-SETTLS-Schema verwendet.

Die methodische Kerninnovation besteht im Ersatz der Standard-Lagrange-Interpolation durch ein spektrales Interpolationsschema, das auf derselben DFS-Fourier-Basis beruht, die auch für die räumlichen Ableitungen verwendet wird. Um die Hürde der Rechenkosten zu überwinden, setzen die Autoren die Nichtgleichabständige Schnelle Fourier-Transformation (NUFFT) ein.

• Interpolationsmechanismus: Die prognostischen Variablen (insbesondere die Terme $R_v$ und $R_h$ im semi-impliziten System) werden unter Verwendung der partiell regulären DFS-Basis entwickelt. Diese Entwicklungen werden anschließend an den nicht-gitterförmigen Abgangspositionen ausgewertet.
• Komplexitätsreduktion: Eine direkte Auswertung von bivariable Fourier-Reihen an $O(n^2)$ Abgangspositionen würde $O(n^4)$ Operationen erfordern. Durch Umformulierung der Reihen in komplexe Exponentialform und Nutzung der NUFFT (speziell der FINUFFT-Bibliothek) wird die rechnerische Komplexität auf $O(n^2 \log^2(1/\epsilon) + n^2 \log n)$ reduziert, wobei $\epsilon$ die Genauigkeitstoleranz ist. Dies macht den Interpolationsschritt rechnerisch konsistent mit dem Rest des spektralen SISL-Schemas.
• Implementierung: Die Autoren implementierten diese spektrale Interpolation in zwei Kontexten:
  1. Ein DFS-basiertes SISL-Modell (unter Verwendung der stabilen Fourier-Basis von Yoshimura).
  2. Ein SHT-basiertes SISL-Modell (unter Verwendung von Gauss-Legendre-Gittern), wobei die DFS-Methode angepasst wurde, um bivariate Fourier-Interpolanten aus den nicht-äquidistanten Breitengradpunkten zu erzeugen.

Hauptbeiträge und Ergebnisse
Die Autoren bewerteten die neuen spektralen Interpolationsschemata gegen die Standard-Interpolation niedriger Ordnung (LAG) unter Verwendung einer Suite von Standard-SWE-Testfällen (Williamson TC1, TC2, TC5, TC6 und der Galewsky-Testfall). Die Ergebnisse zeigen mehrere deutliche Vorteile:

1. Genauigkeit und Konvergenz:

   • TC1 (Advektion einer Kosinusglocke): Die spektrale DFS-Interpolation behielt die gleiche räumliche Konvergenzrate wie LAG bei, erreichte jedoch Fehler, die etwa zwei Größenordnungen niedriger waren. Über lange Integrationszeiten (10 Umdrehungen) reduzierte die DFS-Methode die Fehler im Vergleich zu LAG um drei Größenordnungen.
   • TC2 (Geostrophische Strömung): Während die LAG-Interpolation versagte, die erwartete zeitliche Konvergenz zweiter Ordnung zu zeigen (wahrscheinlich aufgrund dominanter räumlicher Fehler), erreichten die DFS-Interpolationsschemata die theoretische Genauigkeit zweiter Ordnung.
   • TC5 & TC6 (Gebirgsströmung und Rossby-Haurwitz-Wellen): Die DFS-Methode erzeugte konsistent niedrigere Fehler in den Höhenfeldern im Vergleich zu LAG, insbesondere bei feineren Auflösungen und kleineren Zeitschritten. In TC6 bewahrte die DFS-Methode die Form der Wellentäler besser und passte sich enger an hochauflösende Euler-Referenzlösungen an.

2. Erhaltungseigenschaften:

   • Die spektrale Interpolation verbesserte die Erhaltung von Masse und Energie erheblich. In TC1 betrug der absolute Massenfehler nach 120 Tagen $1,21 \times 10^{-11}$ für DFS gegenüber $4,34 \times 10^{-4}$ für LAG.
   • In TC2 und TC5 hielt die DFS-Methode stabile Fehler bei der Erhaltung von Masse und Energie über die Zeit aufrecht, wohingegen die LAG-Fehler tendenziell anstiegen oder stärker oszillierten.

3. Numerische Diffusion und Dynamik kleiner Skalen:

   • Galewsky-Testfall: Dieser Test umfasst die Entwicklung eines nichtlinearen Jets zu Turbulenz. Eine Spektralanalyse des kinetischen Energiespektrums ergab, dass die LAG-Interpolation eine schnelle Dissipation von Energie hoher Wellenzahlen verursachte. Im Gegensatz dazu bewahrten die DFS-Interpolationsschemata die Energiekaskade, sodass das Spektrum hoher Wellenzahlen sich dem theoretischen $k^{-5/3}$-Skalierungsgesetz annäherte, das in turbulenten rotierenden Strömungen beobachtet wird. Die LAG-Interpolation vermochte dieses Verhalten nicht zu erfassen, was auf eine übermäßige numerische Dämpfung hindeutet.

4. Rechenleistung:

   • Vergleiche der Wandzeit zeigten, dass die LAG-Interpolation bei geringen Genauigkeitsanforderungen schneller ist. Mit zunehmenden Genauigkeitsanforderungen (strengere Fehlerschranken) wird die DFS-Interpolationsmethode jedoch effizienter und erreicht die Zielgenauigkeit in weniger Zeit als der LAG-Ansatz. Dies bestätigt, dass die durch NUFFT beschleunigte spektrale Interpolation für hochpräzise Anwendungen geeignet ist.

Bedeutung
Die Arbeit behauptet, dass die Einbeziehung spektral genauer Interpolation in SISL-Schemata die numerische Diskrepanz zwischen räumlicher Diskretisierung und Advektionsinterpolation auflöst. Die Studie zeigt, dass dieser Ansatz nicht nur eine theoretische Verbesserung darstellt, sondern greifbare Vorteile bietet:

• Er schließt die „Genauigkeitslücke" zwischen den spektralen Ableitungsberechnungen und den Interpolationsschritten.
• Er reduziert die numerische Diffusion und bewahrt dadurch feine Strukturen und wellenartige Merkmale über lange Integrationsperioden.
• Er verbessert die Erhaltung von Masse und Energie, was für langfristige Klimasimulationen entscheidend ist.
• Er erzielt diese Verbesserungen ohne prohibitive Rechenkosten, dank der NUFFT-Beschleunigung.

Die Autoren schließen, dass die Interpolation niedriger Ordnung zwar ein praktischer Kompromiss war, der neue spektrale Ansatz jedoch eine überlegene Alternative für hochgenaue, langfristige Simulationen der atmosphärischen Dynamik bietet, was ihre Erweiterung auf komplexere dreidimensionale dynamische Kerne motiviert.