Spectral interpolation in semi-implicit semi-Lagrangian methods for shallow water equations on the sphere

Technische Samenvatting: Spectrale Interpolatie in Semi-impliciete Semi-Lagrangiaanse Methoden voor de Ondiepe Watervergelijkingen op de Bol

Probleemstelling
Semi-impliciete semi-Lagrangiaanse (SISL) methoden zijn de standaard voor operationele wereldwijde weer- en klimaatmodellen, omdat ze tijdstappen toestaan die groter zijn dan die welke worden toegelaten door de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)-voorwaarde. Er bestaat echter een aanzienlijke numerieke inconsistentie in huidige operationele schema's. Waar de ruimtelijke discretisatie van voorspellende variabele afgeleiden doorgaans spectraal nauwkeurige methoden hanteert (zoals Sferische Harmonische Transformaties [SHT] of de Double Fourier Sphere [DFS]-methode), vertrouwt de interpolatiestap die nodig is om variabelen te evalueren op afwijkende vertrekpunten van het rooster op laag-orde technieken, zoals kubische of quintische tensor-product Lagrange-polynomen.

Deze mismatch creëert een discrepantie in numerieke nauwkeurigheid. Hoewel laag-orde interpolatie vaak wordt gerechtvaardigd door bezorgdheden over rekenkosten (met een complexiteit van $O(n^2)$ versus $O(n^4)$ voor spectrale interpolatie) en theoretische foutgrenzen voor eenvoudige advectie, is er beperkt numeriek bewijs in de literatuur dat deze afweging rechtvaardigt voor complexe systemen zoals de Ondiepe Watervergelijkingen (SWE). Bovendien is bekend dat laag-orde interpolatie excessieve numerieke diffusie en fasefouten introduceert, wat de nauwkeurigheid en behoudseigenschappen op lange integratietijden kan verslechteren.

Methodologie
Dit werk presenteert het eerste numerieke onderzoek naar spectraal nauwkeurige interpolatie binnen SISL-schema's voor de SWE op een bol. De auteurs bouwen voort op het DFS-gebaseerde SISL-model ontwikkeld door Yoshimura [56], dat een stabiele Fourier-basis en een twee-tijdsniveau SETTLS-schema hanteert.

De kernmethodologische innovatie is de vervanging van de standaard Lagrange-interpolatie door een spectrale interpolatieschema gebaseerd op dezelfde DFS-Fourier-basis die wordt gebruikt voor ruimtelijke afgeleiden. Om de barrière van de rekenkosten aan te pakken, maken de auteurs gebruik van de Nonuniform Fast Fourier Transform (NUFFT).

• Interpolatiemechanisme: De voorspellende variabelen (specifiek de termen $R_v$ en $R_h$ in het semi-impliciete systeem) worden uitgebreid met behulp van de partiële regulariteit DFS-basis. Deze uitbreidingen worden vervolgens geëvalueerd op de niet-rooster vertrekpunten.
• Complexiteitsreductie: Directe evaluatie van bivariate Fourier-reeksen op $O(n^2)$ vertrekpunten zou $O(n^4)$ bewerkingen vereisen. Door de reeksen om te vormen naar complexe exponentiële vorm en gebruik te maken van de NUFFT (specifiek de FINUFFT-bibliotheek), wordt de rekencomplexiteit gereduceerd tot $O(n^2 \log^2(1/\epsilon) + n^2 \log n)$, waarbij $\epsilon$ de nauwkeurigheids tolerantie is. Dit maakt de interpolatiestap computationeel consistent met de rest van het spectrale SISL-schema.
• Implementatie: De auteurs hebben deze spectrale interpolatie geïmplementeerd in twee contexten:
  1. Een DFS-gebaseerd SISL-model (met gebruik van Yoshimura's stabiele Fourier-basis).
  2. Een SHT-gebaseerd SISL-model (met gebruik van Gauss-Legendre-roosters), waarbij de DFS-methode wordt aangepast om bivariate Fourier-interpolanten te genereren vanuit de niet-equidistante breedtegraadpunten.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
De auteurs evalueerden de nieuwe spectrale interpolatieschema's tegenover standaard laag-orde Lagrange-interpolatie (LAG) met behulp van een reeks standaard SWE-testcases (Williamson TC1, TC2, TC5, TC6 en de Galewsky-testcase). De resultaten tonen verschillende duidelijke voordelen aan:

1. Nauwkeurigheid en Convergentie:

   • TC1 (Advectie van een cosinusbel): De spectrale DFS-interpolatie behield dezelfde ruimtelijke convergentiesnelheid als LAG, maar bereikte fouten die ongeveer twee ordes van grootte lager waren. Over lange integratietijden (10 omwentelingen) reduceerde de DFS-methode de fouten met drie ordes van grootte ten opzichte van LAG.
   • TC2 (Geostrofische Stroom): Waar LAG-interpolatie er niet in slaagde de verwachte tweede-orde temporele convergentie te tonen (waarschijnlijk door dominante ruimtelijke fouten), bereikte de DFS-interpolatie de theoretische tweede-orde nauwkeurigheid.
   • TC5 & TC6 (Bergstroom en Rossby-Haurwitz-golven): De DFS-methode produceerde consequent lagere fouten in hoogte-velden in vergelijking met LAG, met name bij fijnere resoluties en kleinere tijdstappen. In TC6 behield de DFS-methode de vorm van de golftroughs beter, en kwam deze dichter in de buurt van hoog-orde Euleriaanse referentieoplossingen.

2. Behoudseigenschappen:

   • De spectrale interpolatie verbeterde het behoud van massa en energie aanzienlijk. In TC1 was de absolute massafout na 120 dagen $1,21 \times 10^{-11}$ voor DFS versus $4,34 \times 10^{-4}$ voor LAG.
   • In TC2 en TC5 behield de DFS-methode stabiele massa- en energiebehoudsfouten in de tijd, terwijl LAG-fouten de neiging hadden om te toenemen of significant meer te oscilleren.

3. Numerieke Diffusie en Dynamiek op Kleine Schaal:

   • Galewsky-testcase: Deze test omvat de evolutie van een niet-lineaire jet naar turbulentie. Spectrale analyse van het kinetisch energiespectrum onthulde dat LAG-interpolatie leidde tot snelle dissipatie van energie bij hoge golfgetallen. Daarentegen behielden de DFS-interpolatieschema's de energiecascade, waardoor het spectrum bij hoge golfgetallen de theoretische $k^{-5/3}$-schaling benaderde die wordt waargenomen in turbulente roterende stromingen. LAG-interpolatie slaagde er niet in dit gedrag vast te leggen, wat wijst op excessieve numerieke demping.

4. Rekenefficiëntie:

   • Vergelijkingen van wandkloktijd toonden aan dat voor lage nauwkeurigheidsvereisten LAG-interpolatie sneller is. Echter, naarmate de vereiste nauwkeurigheid toeneemt (strengere fouttoleranties), wordt de DFS-interpolatiemethode efficiënter, waarbij de doelnaauwkeurigheid in minder tijd wordt bereikt dan met de LAG-aanpak. Dit bevestigt dat de door NUFFT-versnelde spectrale interpolatie levensvatbaar is voor toepassingen met hoge precisie.

Betekenis
Het artikel stelt dat het opnemen van spectraal nauwkeurige interpolatie in SISL-schema's de numerieke mismatch tussen ruimtelijke discretisatie en advectie-interpolatie oplost. De studie toont aan dat deze aanpak niet slechts een theoretische verbetering is, maar tastbare voordelen biedt:

• Het elimineert de "nauwkeurigheidskloof" tussen de spectrale afgeleideberekeningen en de interpolatiestappen.
• Het reduceert numerieke diffusie, waardoor fijne schaalstructuren en golfachtige kenmerken over lange integratieperioden worden behouden.
• Het verbetert het behoud van massa en energie, wat kritiek is voor langetermijnklimaat simulaties.
• Het bereikt deze verbeteringen zonder prohibitieve rekenkosten, dankzij de NUFFT-versnelling.

De auteurs concluderen dat hoewel laag-orde interpolatie een praktische compromissing is geweest, de nieuwe spectrale aanpak een superieur alternatief biedt voor nauwkeurige, langetermijnsimulaties van atmosferische dynamica, wat de uitbreiding naar complexere driedimensionale dynamische kernen motiveert.