Spectral interpolation in semi-implicit semi-Lagrangian methods for shallow water equations on the sphere

Résumé technique : Interpolation spectrale dans les méthodes semi-implicites semi-Lagrangiennes pour les équations de l'eau peu profonde sur la sphère

Énoncé du problème
Les méthodes semi-implicites semi-Lagrangiennes (SISL) constituent la norme pour les modèles opérationnels de prévision météorologique et de climat à l'échelle mondiale, car elles permettent d'utiliser des pas de temps supérieurs à ceux autorisés par la condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Cependant, une incohérence numérique significative existe dans les schémas opérationnels actuels. Alors que la discrétisation spatiale des dérivées des variables prédictives emploie généralement des méthodes d'accuracy spectrale (telles que les Transformées en Harmoniques Sphériques [SHT] ou la méthode de la Double Sphère de Fourier [DFS]), l'étape d'interpolation requise pour évaluer les variables aux points de départ hors grille repose sur des techniques d'ordre faible, telles que les polynômes de Lagrange à produit tensoriel cubiques ou quintiques.

Ce décalage crée une disparité en matière de précision numérique. Si l'interpolation d'ordre faible est souvent justifiée par des considérations de coût computationnel (avec une complexité de $O(n^2)$ contre $O(n^4)$ pour l'interpolation spectrale) et par des bornes d'erreur théoriques pour l'advection simple, il existe peu de preuves numériques dans la littérature justifiant ce compromis pour des systèmes complexes comme les équations de l'eau peu profonde (SWE). De plus, l'interpolation d'ordre faible est connue pour introduire une diffusion numérique excessive et des erreurs de phase, risquant de dégrader la précision et les propriétés de conservation sur de longues périodes d'intégration.

Méthodologie
Ce travail présente la première investigation numérique de l'interpolation d'accuracy spectrale au sein des schémas SISL pour les SWE sur une sphère. Les auteurs s'appuient sur le modèle SISL basé sur la DFS développé par Yoshimura [56], qui utilise une base de Fourier stable et un schéma SETTLS à deux niveaux de temps.

L'innovation méthodologique centrale est le remplacement de l'interpolation de Lagrange standard par un schéma d'interpolation spectrale basé sur la même base de Fourier DFS utilisée pour les dérivées spatiales. Pour surmonter la barrière du coût computationnel, les auteurs emploient la Transformée de Fourier Rapide Non Uniforme (NUFFT).

• Mécanisme d'interpolation : Les variables prédictives (spécifiquement les termes $R_v$ et $R_h$ dans le système semi-implicite) sont développées en utilisant la base DFS à régularité partielle. Ces développements sont ensuite évalués aux points de départ hors grille.
• Réduction de la complexité : L'évaluation directe des séries de Fourier bivariées en $O(n^2)$ points de départ nécessiterait $O(n^4)$ opérations. En reformulant les séries sous forme d'exponentielles complexes et en utilisant la NUFFT (spécifiquement la bibliothèque FINUFFT), la complexité computationnelle est réduite à $O(n^2 \log^2(1/\epsilon) + n^2 \log n)$, où $\epsilon$ est la tolérance de précision. Cela rend l'étape d'interpolation computationnellement cohérente avec le reste du schéma SISL spectral.
• Implémentation : Les auteurs ont implémenté cette interpolation spectrale dans deux contextes :
  1. Un modèle SISL basé sur la DFS (utilisant la base de Fourier stable de Yoshimura).
  2. Un modèle SISL basé sur les SHT (utilisant des grilles de Gauss-Legendre), où la méthode DFS est adaptée pour générer des interpolants de Fourier bivariés à partir des points de latitude non équidistants.

Contributions et résultats clés
Les auteurs ont évalué les nouveaux schémas d'interpolation spectrale par rapport à l'interpolation de Lagrange d'ordre faible standard (LAG) en utilisant une série de cas tests SWE standards (Williamson TC1, TC2, TC5, TC6 et le cas test de Galewsky). Les résultats démontrent plusieurs avantages distincts :

1. Précision et convergence :

   • TC1 (Advection d'une cloche cosinus) : L'interpolation spectrale DFS a maintenu le même taux de convergence spatiale que LAG, mais a atteint des erreurs environ deux ordres de grandeur inférieurs. Sur de longues périodes d'intégration (10 révolutions), la méthode DFS a réduit les erreurs de trois ordres de grandeur par rapport à LAG.
   • TC2 (Écoulement géostrophique) : Alors que l'interpolation LAG n'a pas montré la convergence temporelle d'ordre deux attendue (probablement en raison d'erreurs spatiales dominantes), les schémas d'interpolation DFS ont atteint la précision théorique d'ordre deux.
   • TC5 & TC6 (Écoulement montagneux et ondes de Rossby-Haurwitz) : La méthode DFS a systématiquement produit des erreurs plus faibles dans les champs de hauteur par rapport à LAG, en particulier aux résolutions plus fines et aux pas de temps plus petits. Dans TC6, la méthode DFS a mieux préservé la forme des creux des ondes, correspondant plus étroitement aux solutions de référence eulériennes d'ordre élevé.

2. Propriétés de conservation :

   • L'interpolation spectrale a considérablement amélioré la conservation de la masse et de l'énergie. Dans TC1, l'erreur absolue de masse après 120 jours était de $1,21 \times 10^{-11}$ pour DFS contre $4,34 \times 10^{-4}$ pour LAG.
   • Dans TC2 et TC5, la méthode DFS a maintenu des erreurs de conservation de masse et d'énergie stables au fil du temps, alors que les erreurs LAG avaient tendance à augmenter ou à osciller plus significativement.

3. Diffusion numérique et dynamique des petites échelles :

   • Cas test de Galewsky : Ce test implique l'évolution d'un jet non linéaire vers la turbulence. L'analyse spectrale du spectre d'énergie cinétique a révélé que l'interpolation LAG provoquait une dissipation rapide de l'énergie aux nombres d'onde élevés. En revanche, les schémas d'interpolation DFS ont préservé la cascade d'énergie, permettant au spectre aux nombres d'onde élevés de s'approcher de l'échelle théorique $k^{-5/3}$ observée dans les écoulements turbulents en rotation. L'interpolation LAG n'a pas réussi à capturer ce comportement, indiquant un amortissement numérique excessif.

4. Efficacité computationnelle :

   • Les comparaisons de temps réel ont montré que pour des exigences de faible précision, l'interpolation LAG est plus rapide. Cependant, à mesure que la précision requise augmente (tolérances d'erreur plus strictes), la méthode d'interpolation DFS devient plus efficace, atteignant la précision cible en moins de temps que l'approche LAG. Cela confirme que l'interpolation spectrale accélérée par la NUFFT est viable pour des applications de haute précision.

Signification
L'article affirme que l'intégration d'une interpolation d'accuracy spectrale dans les schémas SISL résout le décalage numérique entre la discrétisation spatiale et l'interpolation d'advection. L'étude démontre que cette approche n'est pas simplement une amélioration théorique, mais offre des avantages tangibles :

• Elle élimine le « fossé de précision » entre les calculs de dérivées spectrales et les étapes d'interpolation.
• Elle réduit la diffusion numérique, préservant ainsi les structures à fine échelle et les caractéristiques de type onde sur de longues périodes d'intégration.
• Elle améliore la conservation de la masse et de l'énergie, ce qui est critique pour les simulations climatiques à long terme.
• Elle réalise ces améliorations sans engendrer de coûts computationnels prohibitifs, grâce à l'accélération par la NUFFT.

Les auteurs concluent que si l'interpolation d'ordre faible a été un compromis pratique, la nouvelle approche spectrale offre une alternative supérieure pour les simulations à haute précision et à long terme de la dynamique atmosphérique, motivant son extension à des cœurs dynamiques tridimensionnels plus complexes.