Spectral interpolation in semi-implicit semi-Lagrangian methods for shallow water equations on the sphere

Resumo Técnico: Interpolação Espectral em Métodos Semi-Implicitos Semi-Lagrangianos para as Equações de Água Rasas na Esfera

Enunciado do Problema
Os métodos semi-implicítos semi-Lagrangianos (SISL) são o padrão para modelos operacionais globais de tempo e clima, pois permitem passos de tempo maiores do que os permitidos pela condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). No entanto, existe uma inconsistência numérica significativa nos esquemas operacionais atuais. Enquanto a discretização espacial das derivadas das variáveis prognósticas emprega tipicamente métodos de precisão espectral (como Transformadas de Harmônicos Esféricos [SHT] ou o método da Esfera de Fourier Dupla [DFS]), a etapa de interpolação necessária para avaliar variáveis em pontos de partida fora da grade depende de técnicas de baixa ordem, como polinômios de Lagrange de produto tensorial cúbicos ou quínticos.

Essa incompatibilidade cria uma discrepância na precisão numérica. Embora a interpolação de baixa ordem seja frequentemente justificada por preocupações com o custo computacional (com complexidade de $O(n^2)$ versus $O(n^4)$ para interpolação espectral) e limites de erro teóricos para advecção simples, há evidências numéricas limitadas na literatura que justifiquem essa troca para sistemas complexos como as Equações de Água Rasas (SWE). Além disso, sabe-se que a interpolação de baixa ordem introduz difusão numérica excessiva e erros de fase, potencialmente degradando a precisão e as propriedades de conservação ao longo de longos tempos de integração.

Metodologia
Este trabalho apresenta a primeira investigação numérica da interpolação de precisão espectral dentro de esquemas SISL para as SWE em uma esfera. Os autores baseiam-se no modelo SISL baseado em DFS desenvolvido por Yoshimura [56], que utiliza uma base de Fourier estável e um esquema SETTLS de dois níveis de tempo.

A inovação metodológica central é a substituição da interpolação de Lagrange padrão por um esquema de interpolação espectral baseado na mesma base de Fourier DFS utilizada para as derivadas espaciais. Para abordar a barreira do custo computacional, os autores empregam a Transformada Rápida de Fourier Não Uniforme (NUFFT).

• Mecanismo de Interpolação: As variáveis prognósticas (especificamente os termos $R_v$ e $R_h$ no sistema semi-implícito) são expandidas usando a base DFS de regularidade parcial. Essas expansões são então avaliadas nos pontos de partida fora da grade.
• Redução de Complexidade: A avaliação direta de séries de Fourier bivariadas em $O(n^2)$ pontos de partida exigiria $O(n^4)$ operações. Ao reescrever as séries na forma exponencial complexa e utilizar a NUFFT (especificamente a biblioteca FINUFFT), a complexidade computacional é reduzida para $O(n^2 \log^2(1/\epsilon) + n^2 \log n)$, onde $\epsilon$ é a tolerância de precisão. Isso torna a etapa de interpolação computacionalmente consistente com o restante do esquema SISL espectral.
• Implementação: Os autores implementaram essa interpolação espectral em dois contextos:
  1. Um modelo SISL baseado em DFS (usando a base de Fourier estável de Yoshimura).
  2. Um modelo SISL baseado em SHT (usando grades de Gauss-Legendre), onde o método DFS é adaptado para gerar interpolantes de Fourier bivariados a partir de pontos de latitude não equidistantes.

Principais Contribuições e Resultados
Os autores avaliaram os novos esquemas de interpolação espectral contra a interpolação de Lagrange de baixa ordem padrão (LAG) usando uma série de casos de teste SWE padrão (Williamson TC1, TC2, TC5, TC6 e o caso de teste de Galewsky). Os resultados demonstram várias vantagens distintas:

1. Precisão e Convergência:

   • TC1 (Advecção de um sino cosseno): A interpolação espectral DFS manteve a mesma taxa de convergência espacial que a LAG, mas alcançou erros aproximadamente duas ordens de magnitude menores. Ao longo de longos tempos de integração (10 revoluções), o método DFS reduziu os erros em três ordens de magnitude em comparação com a LAG.
   • TC2 (Fluxo Geostrofico): Enquanto a interpolação LAG não conseguiu mostrar a convergência temporal de segunda ordem esperada (provavelmente devido a erros espaciais dominantes), os esquemas de interpolação DFS alcançaram a precisão de segunda ordem teórica.
   • TC5 e TC6 (Fluxo de Montanha e Ondas de Rossby-Haurwitz): O método DFS produziu consistentemente erros menores nos campos de altura em comparação com a LAG, particularmente em resoluções mais finas e passos de tempo menores. No TC6, o método DFS preservou melhor a forma das cristas da onda, correspondendo mais de perto às soluções de referência Eulerianas de alta ordem.

2. Propriedades de Conservação:

   • A interpolação espectral melhorou significativamente a conservação de massa e energia. No TC1, o erro absoluto de massa após 120 dias foi de $1,21 \times 10^{-11}$ para DFS versus $4,34 \times 10^{-4}$ para LAG.
   • Nos TC2 e TC5, o método DFS manteve erros estáveis de conservação de massa e energia ao longo do tempo, enquanto os erros da LAG tendiam a aumentar ou oscilar mais significativamente.

3. Difusão Numérica e Dinâmica de Pequena Escala:

   • Caso de Teste de Galewsky: Este teste envolve a evolução de um jato não linear em turbulência. A análise espectral do espectro de energia cinética revelou que a interpolação LAG causou dissipação rápida de energia de alto número de onda. Em contraste, os esquemas de interpolação DFS preservaram a cascata de energia, permitindo que o espectro de alto número de onda se aproximasse da escalação teórica $k^{-5/3}$ observada em fluxos rotativos turbulentos. A interpolação LAG não conseguiu capturar esse comportamento, indicando amortecimento numérico excessivo.

4. Eficiência Computacional:

   • Comparações de tempo de relógio mostraram que, para requisitos de baixa precisão, a interpolação LAG é mais rápida. No entanto, à medida que a precisão exigida aumenta (tolerâncias de erro mais estritas), o método de interpolação DFS torna-se mais eficiente, atingindo a precisão-alvo em menos tempo do que a abordagem LAG. Isso confirma que a interpolação espectral acelerada por NUFFT é viável para aplicações de alta precisão.

Significado
O artigo afirma que incorporar interpolação de precisão espectral em esquemas SISL resolve a incompatibilidade numérica entre a discretização espacial e a interpolação de advecção. O estudo demonstra que essa abordagem não é meramente uma melhoria teórica, mas oferece benefícios tangíveis:

• Elimina a "lacuna de precisão" entre os cálculos de derivadas espectrais e as etapas de interpolação.
• Reduz a difusão numérica, preservando assim estruturas de pequena escala e características ondulatórias ao longo de longos períodos de integração.
• Melhora a conservação de massa e energia, o que é crítico para simulações climáticas de longo prazo.
• Alcança essas melhorias sem incorrer em custos computacionais proibitivos, graças à aceleração por NUFFT.

Os autores concluem que, embora a interpolação de baixa ordem tenha sido um compromisso prático, a nova abordagem espectral oferece uma alternativa superior para simulações de alta precisão e de longo prazo da dinâmica atmosférica, motivando sua extensão para núcleos dinâmicos tridimensionais mais complexos.