Elements in $K_4$ and regulator maps of Fermat curves

Technische Zusammenfassung: Elemente in $K_4$ und Regulator-Abbildungen von Fermat-Kurven

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit der Konstruktion expliziter, nicht-trivialer Elemente im dritten Adams-Eigenraum $K_4^{(3)}(X_N)$ von Fermat-Kurven $X_N$, die durch die Gleichung $x^N + y^N = 1$ über $\mathbb{Q}$ definiert sind, für alle $N \geq 3$. Während die Struktur von $K_2(X_N)$ und die Nicht-Trivialität des Ross-Elements $\{1-x, 1-y\}$ gut etabliert sind, bleibt die $K_4$-Gruppe von Fermat-Kurven weitgehend unerforscht. Das primäre Ziel ist es, explizite Elemente in $K_4^{(3)}(X_N)$ zu konstruieren und deren Nicht-Trivialität durch die Berechnung ihrer Bilder unter der Beilinson-Regulator-Abbildung zu verifizieren. Darüber hinaus streben die Autoren eine numerische Verifizierung von Beilinsons Vermutung bezüglich der Spezialwerte von $L$-Funktionen bei $s=3$ für spezifische Fermat-Motive an.

Methodik
Die Autoren verwenden eine uniforme Konstruktionsstrategie basierend auf polylogarithmischen Komplexen und der Arbeit von Goncharov und de Jeu.

1. Polylogarithmische Komplexe: Die Konstruktion nutzt Goncharovs Gewicht-3-polylogarithmischen Komplex $\Gamma(F, 3)$ für den Funktionenkörper $F = \mathbb{Q}(X_N)$. Dieser Komplex umfasst die Bloch-Gruppe $B_3(F)$ und $B_2(F) \otimes F^\times_{\mathbb{Q}}$.
2. Explizite Kokle cycle: Die Autoren konstruieren explizite 2-Kokle cycle $\xi_{r,s}^N(\zeta)$ in $\Gamma(F, 3)$ der Form:
   $$\xi_{r,s}^N(\zeta) := \{x^N\}_2 \otimes (1 - \zeta x^r y^s) - \frac{N}{s} \{\zeta x^r y^s\}_2 \otimes x^N$$
   wobei $\zeta$ eine Wurzel der Einheit ist.
3. De Jeus Abbildung: Sie wenden die de Jeu-Abbildung $\phi_{dJ}: H_2(\Gamma(F, 3)) \to K_4^{(3)}(F)$ auf diese Kokle cycle an. Um sicherzustellen, dass die resultierenden Elemente in $K_4^{(3)}(X_N)$ und nicht nur in der offenen Kurve $U$ liegen, verifizieren sie, dass die Residuen der Kokle cycle an den Kerben (Cusps) und Nullstellen der definierenden Funktionen verschwinden, indem sie Theorem 3.6 nutzen, welches darauf basiert, dass der Basiskörper reell total ist.
4. Spezifische Wahl: Die Autoren konzentrieren sich auf den spezifischen Fall $(r, s) = (-2, 1)$ und $\zeta = 1$ (und dessen Verschiebungen durch Wurzeln der Einheit), um das Element $\Xi_N = \Xi_{-2,1}^N$ zu definieren.
5. Regulator-Berechnung: Um die Nicht-Trivialität zu beweisen, berechnen die Autoren das Bild dieser Elemente unter der Beilinson-Regulator-Abbildung $r_B$. Sie setzen $r_B$ mit dem Goncharov-Regulator $r_3(2)$ über de Jeus Kompatibilitätstheorem in Beziehung. Die Regulator-Integrale werden über einen spezifischen Homologiezyklus $\gamma_N$ berechnet, der die Homologie von $X_N(\mathbb{C})$ als Modul über der Gruppenring-Struktur $\mathbb{Q}[(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\oplus 2}]$ erzeugt.
6. Analytische Werkzeuge: Die Evaluierung dieser Integrale beinhaltet:
   • Zagiers Trilogarithmus-Funktion $L_3(z)$.
   • Hypergeometrische Funktionen $F(\alpha; x)$, welche die bisherigen Ergebnisse von Otsubo für $K_2$ verallgemeinern.
   • Asymptotische Analyse für $N \to \infty$.
7. Numerische Verifizierung: Für $N \in \{3, 4, 6\}$ nutzen die Autoren PARI/GP, um die Regulator-Integrale numerisch zu evaluieren und sie mit den Ableitungen von Hecke-$L$-Funktionen assoziiert mit spezifischen elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation (CM) zu vergleichen, die isogen zu den relevanten Fermat-Motiven sind.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse

• Konstruktion nicht-trivialer Elemente: Die Autoren beweisen, dass das konstruierte Element $\Xi_N \in K_4^{(3)}(X_N)$ für alle $N \geq 3$ nicht-trivial ist (Theorem 1.1). Dies wird dadurch erreicht, dass das Regulator-Integral einer verdrehten Version des Elements, $(\tau_\varepsilon)^*(\Xi_N)$, gezeigt wird, dass es ungleich Null ist.
• Explizite Regulator-Formeln:
  • Trilogarithmus-Formel: Das Regulator-Integral wird explizit in Abhängigkeit vom Zagier-Trilogarithmus $L_3$ und einem Integral involvierend einer Funktion $f_{N,z}(t)$ ausgedrückt (Theorem 1.3).
  • Hypergeometrische Formel: Die Regulator-Form wird als Linearkombination von Differentialformen ausgedrückt, die durch hypergeometrische Funktionen $F(\alpha; -1)$ gewichtet sind, was Otsubos Ergebnisse für $K_2$ auf $K_4$ erweitert (Theorem 1.6).
• Asymptotisches Verhalten: Die Autoren leiten eine asymptotische Formel für die Regulator-Integrale als $N \to \infty$ ab:
  $$\int_{\gamma_N} r_B((\tau_\varepsilon)^*(\Xi_N)) \sim \frac{3}{2}\zeta(3)N^2$$
  Dies bestätigt die Nicht-Trivialität der Elemente für große $N$ und liefert Einblickeit in deren Wachstumsrate (Theorem 1.4).
• Lineare Unabhängigkeit: Für $N$, das nicht durch 3 teilbar ist, wird gezeigt, dass die Elemente $\Xi_N$, $\iota^*(\Xi_N)$ und $\tau_\varepsilon^*(\Xi_N)$ in $K_4^{(3)}(X_N, \mathbb{Q}(\varepsilon))$ nicht Null und linear unabhängig sind (Theorem 1.2).
• Numerische Verifizierung der Beilinson-Vermutung: Die Arbeit verifiziert numerisch die schwache Form der Beilinson-Vermutung für die Motive $X_{[-2,1]}^N$ mit $N \in \{3, 4, 6\}$. In diesen Fällen entsprechen die Motive elliptischen Kurven $E_3, E_4, E_6$ mit CM. Die berechneten Regulator-Integrale stimmen mit den vorhergesagten Werten bezüglich $L'(E, -1)$ bis auf rationale Faktoren und Potenzen von $\pi$ überein (Theorem 1.8).

Bedeutung und Ansprüche
Die Autoren positionieren diese Arbeit als die erste, die sich mit Beilinsons Vermutung für allgemeine Fermat-Kurven jenseits des $K_2$-Niveaus befasst.

• Generalisierung: Die Arbeit generalisiert die Konstruktion des Ross-Elements für $K_2$ auf $K_4$ und erweitert Otsubos hypergeometrische Formeln von $K_2$ auf $K_4$.
• Uniformität: Die Konstruktion ist uniform in $N$ und bietet eine einzige Familie von Elementen für alle Grade $N \geq 3$, im Gegensatz zu früheren Konstruktionen für modulare Kurven, die oft fallweise Analysen erforderten.
• Verifizierung: Die Arbeit stellt die erste explizite numerische Verifizierung der Beilinson-Vermutung bei $s=3$ für Fermat-Kurven dar und schließt damit die Lücke zwischen algebraischen K-theoretischen Konstruktionen und analytischen $L$-Wert-Vorhersagen.
• Bescheidenheit: Die Autoren merken an, dass sie zwar die Vermutung für Motive des Rangs 2 (entsprechend elliptischen Kurven) verifizieren, die Vermutung jedoch für Motive höherer Ordnung (z. B. $N=5$) offen bleibt, wo die Konstruktion einer vollständigen Basis von $K_4$-Elementen noch ein offenes Problem darstellt. Sie räumen zudem ein, dass der bedingungslose Beweis der linearen Unabhängigkeit ihrer Elemente (ohsten der Annahme der konjekturellen Injektivität des Regulators) schwierig bleibt.