Elements in $K_4$ and regulator maps of Fermat curves

Résumé Technique : Éléments dans $K_4$ et applications des cartes régulateurs des courbes de Fermat

Énoncé du Problème
L'article traite de la construction d'éléments explicites et non triviaux dans le troisième espace propre d'Adams $K_4^{(3)}(X_N)$ des courbes de Fermat $X_N$ définies par l'équation $x^N + y^N = 1$ sur $\mathbb{Q}$, pour tous les entiers $N \geq 3$. Bien que la structure de $K_2(X_N)$ et la non-trivialité de l'élément de Ross $\{1-x, 1-y\}$ soient bien établies, le groupe $K_4$ des courbes de Fermat demeure largement inexploré. L'objectif principal est de construire des éléments explicites dans $K_4^{(3)}(X_N)$ et de vérifier leur non-trivialité en calculant leurs images sous la carte régulatrice de Beilinson. De plus, les auteurs visent à vérifier numériquement la conjecture de Beilinson concernant les valeurs spéciales des fonctions $L$ en $s=3$ pour des motifs de Fermat spécifiques.

Méthodologie
Les auteurs emploient une stratégie de construction uniforme basée sur les complexes polylogarithmiques et les travaux de Goncharov et de Jeu.

1. Complexes Polylogarithmiques : La construction utilise le complexe polilogarithmique de poids 3 $\Gamma(F, 3)$ de Goncharov pour le corps de fonctions $F = \mathbb{Q}(X_N)$. Ce complexe implique le groupe de Bloch $B_3(F)$ et $B_2(F) \otimes F^\times_{\mathbb{Q}}$.
2. Cocycles Explicites : Les auteurs construisent des 2-cocycles explicites $\xi_{r,s}^N(\zeta)$ dans $\Gamma(F, 3)$ de la forme :
   $$\xi_{r,s}^N(\zeta) := \{x^N\}_2 \otimes (1 - \zeta x^r y^s) - \frac{N}{s} \{\zeta x^r y^s\}_2 \otimes x^N$$
   où $\zeta$ est une racine de l'unité.
3. L'application de de Jeu : Ils appliquent la carte de de Jeu $\phi_{dJ}: H_2(\Gamma(F, 3)) \to K_4^{(3)}(F)$ à ces cocycles. Pour garantir que les éléments résultants appartiennent à $K_4^{(3)}(X_N)$ plutôt qu'à la simple courbe ouverte $U$, ils vérifient que les résidus des cocycles s'annulent aux points de cuspides et aux zéros des fonctions définissantes, en utilisant le Théorème 3.6 qui repose sur le fait que le corps de base est totalement réel.
4. Choix Spécifique : Les auteurs se concentrent sur le cas spécifique $(r, s) = (-2, 1)$ et $\zeta = 1$ (et ses torsions par des racines de l'unité) pour définir l'élément $\Xi_N = \Xi_{-2,1}^N$.
5. Calcul du Régulateur : Pour prouver la non-trivialité, les auteurs calculent l'image de ces éléments sous la carte régulatrice de Beilinson $r_B$. Ils relient $r_B$ au régulateur de Goncharov $r_3(2)$ via le théorème de compatibilité de de Jeu. Les intégrales du régulateur sont calculées sur un cycle d'homologie spécifique $\gamma_N$ qui génère l'homologie de $X_N(\mathbb{C})$ en tant que module sur l'algèbre du groupe $\mathbb{Q}[(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\oplus 2}]$.
6. Outils Analytiques : L'évaluation de ces intégrales implique :
   • La fonction trilogarithme de Zagier $L_3(z)$.
   • Des fonctions hypergéométriques $F(\alpha; x)$, généralisant les résultats précédents d'Otsubo pour $K_2$.
   • Une analyse asymptotique lorsque $N \to \infty$.
7. Vérification Numérique : Pour $N \in \{3, 4, 6\}$, les auteurs utilisent PARI/GP pour évaluer numériquement les intégrales du régulateur et les comparer avec les dérivées des fonctions $L$ de Hecke associées à des courbes elliptiques spécifiques possédant une multiplication complexe (CM), qui sont isogènes aux motifs de Fermat pertinents.

Contributions Clés et Résultats

• Construction d'Éléments Non Triviaux : L'article prouve que l'élément construit $\Xi_N \in K_4^{(3)}(X_N)$ est non trivial pour tout $N \geq 3$ (Théorème 1.1). Ceci est réalisé en montrant que l'intégrale du régulateur d'une version tordue de l'élément, $(\tau_\varepsilon)^*(\Xi_N)$, est non nulle.
• Formules de Régulateur Explicites :
  • Formule du Trilogarithme : L'intégrale du régulateur est exprimée explicitement en termes de la trilogarithme de Zagier $L_3$ et d'une intégrale impliquant une fonction $f_{N,z}(t)$ (Théorème 1.3).
  • Formule Hypergéométrique : La forme du régulateur est exprimée comme une combinaison linéaire de formes différentielles pondérées par des fonctions hypergéométriques $F(\alpha; -1)$, généralisant les résultats d'Otsubo pour $K_2$ (Théorème 1.6).
• Comportement Asymptotique : Les auteurs dérivent une formule asymptotique pour les intégrales du régulateur lorsque $N \to \infty$ :
  $$\int_{\gamma_N} r_B((\tau_\varepsilon)^*(\Xi_N)) \sim \frac{3}{2}\zeta(3)N^2$$
  Ceci confirme la non-trivialité des éléments pour de grands $N$ et fournit un aperçu de leur taux de croissance (Théorème 1.4).
• Indépendance Linéaire : Pour $N$ non divisible par 3, les éléments $\Xi_N$, $\iota^*(\Xi_N)$, et $\tau_\varepsilon^*(\Xi_N)$ sont montrés comme étant non nuls et linéairement indépendants dans $K_4^{(3)}(X_N, \mathbb{Q}(\varepsilon))$ (Théorème 1.2).
• Vérification Numérique de la Conjecture de Beilinson : L'article vérifie numériquement la forme faible de la conjecture de Beilinson pour les motifs $X_{[-2,1]}^N$ où $N \in \{3, 4, 6\}$. Dans ces cas, les motifs correspondent à des courbes elliptiques $E_3, E_4, E_6$ avec CM. Les intégrales du régulateur calculées correspondent aux valeurs prédites impliquant $L'(E, -1)$ à des facteurs rationnels et des puissances de $\pi$ près (Théorème 1.8).

Signification et Revendications
Les auteurs positionnent ce travail comme le premier à aborder la conjecture de Beilinson pour les courbes de Fermat générales au-delà du niveau $K_2$.

• Généralisation : Le travail généralise la construction de l'élément de Ross pour $K_2$ à $K_4$ et étend les formules hypergéométriques d'Otsubo de $K_2$ à $K_4$.
• Uniformité : La construction est uniforme en $N$, fournissant une famille unique d'éléments pour tous les degrés $N \geq 3$, contrairement aux constructions précédentes pour les courbes modulaires qui nécessitaient souvent une analyse au cas par cas.
• Vérification : Le papier constitue la première vérification numérique explicite de la conjecture de Beilinson en $s=3$ pour les courbes de Fermat, comblant le fossé entre les constructions de la K-théorie algébrique et les prédictions des valeurs analytiques de fonctions $L$.
• Modestie : Les auteurs notent que, bien qu'ils vérifient la conjecture pour des motifs de rang 2 (correspondant à des courbes elliptiques), la conjecture reste ouverte pour les motifs de Fermat de rang supérieur (par exemple, $N=5$), où la construction d'une base complète d'éléments de $K_4$ demeure un problème ouvert. Ils reconnaissent également que prouver l'indépendance linéaire de leurs éléments de manière inconditionnelle (sans s'appuyer sur l'injectivité conjecturale du régulateur) reste difficile.