Elements in $K_4$ and regulator maps of Fermat curves

Resumo Técnico: Elementos em $K_4$ e Mapas Reguladores de Curvas de Fermat

Enunciado do Problema
O artigo aborda a construção de elementos explícitos e não triviais no terceiro autoespaço de Adams $K_4^{(3)}(X_N)$ das curvas de Fermat $X_N$, definidas pela equação $x^N + y^N = 1$ sobre $\mathbb{Q}$, para todos os inteiros $N \geq 3$. Embora a estrutura de $K_2(X_N)$ e a não trivialidade do elemento de Ross $\{1-x, 1-y\}$ sejam bem estabelecidas, o grupo $K_4$ das curvas de Fermat permanece amplamente inexplorado. O objetivo principal é construir elementos explícitos em $K_4^{(3)}(X_N)$ e verificar sua não trivialidade computando suas imagens sob o mapa regulador de Beilinson; além disso, os autores visam verificar numericamente a conjectura de Beilinson a respeito dos valores especiais de funções $L$ em $s=3$ para motivos de Fermat específicos.

Metodologia
Os autores empregam uma estratégia de construção uniforme baseada em complexos polilogarítmicos e no trabalho de Goncharov e de Jeu.

1. Complexos Polilogarítmicos: A construção utiliza o complexo polilogarítmico de peso 3 de Goncharov $\Gamma(F, 3)$ para o corpo de funções $F = \mathbb{Q}(X_N)$. Este complexo envolve o grupo de Bloch $B_3(F)$ e $B_2(F) \otimes F^\times_{\mathbb{Q}}$.
2. Cociclos Explícitos: Os autores constroem cociclos 2-cículos explícitos $\xi_{r,s}^N(\zeta)$ em $\Gamma(F, 3)$ da forma:
   $$\xi_{r,s}^N(\zeta) := \{x^N\}_2 \otimes (1 - \zeta x^r y^s) - \frac{N}{s} \{\zeta x^r y^s\}_2 \otimes x^N$$
   onde $\zeta$ é uma raiz da unidade.
3. Mapa de de Jeu: Eles aplicam o mapa de de Jeu $\phi_{dJ}: H_2(\Gamma(F, 3)) \to K_4^{(3)}(F)$ a esses cociclos. Para garantir que os elementos resultantes pertençam a $K_4^{(3)}(X_N)$ em vez de apenas à curva aberta $U$, eles verificam que os resíduos dos cociclos se anulam nos polos (cusps) e nos zeros das funções definidoras, utilizando o Teorema 3.6, que se baseia no fato de o corpo base ser totalmente real.
4. Escolha Específica: Os autores focam no caso específico $(r, s) = (-2, 1)$ e $\zeta = 1$ (e seus twists por raízes da unidade) para definir o elemento $\Xi_N = \Xi_{-2,1}^N$.
5. Computação do Regulador: Para provar a não trivialidade, os autores computam a imagem desses elementos sob o mapa regulador de Beilinson $r_B$. Eles relacionam $r_B$ ao regulador de Goncharov $r_3(2)$ via o teorema de compatibilidade de de Jeu. As integrais do regulador são computadas sobre um ciclo de homologia específico $\gamma_N$ que gera a homologia de $X_N(\mathbb{C})$ como um módulo sobre o anel de grupo $\mathbb{Q}[(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\oplus 2}]$.
6. Ferramentas Analíticas: A avaliação dessas integrais envolve:
   • A função trilogarítmica de Zagier $L_3(z)$.
   • Funções hipergeométricas $F(\alpha; x)$, generalizando resultados anteriores de Otsubo para $K_2$.
   • Análise assintótica conforme $N \to \infty$.
7. Verificação Numérica: Para $N \in \{3, 4, 6\}$, os autores utilizam PARI/GP para avaliar numericamente as integrais do regulador e compará-las com as derivadas das funções $L$ de Hecke associadas a curvas elípticas específicas com CM (Complex Multiplication), que são isógenas aos motivos de Fermat relevantes.

Principais Contribuições e Resultados

• Construção de Elementos Não Triviais: O artigo prova que o elemento construído $\Xi_N \in K_4^{(3)}(X_N)$ é não trivial para todo $N \geq 3$ (Teorema 1.1). Isso é alcançado mostrando que a integral do regulador de uma versão "twisted" do elemento, $(\tau_\varepsilon)^*(\Xi_N)$, é não nula.
• Fórmulas Explícitas de Regulador:
  • Fórmula do Trilogarítmo: A integral do regulador é expressa explicitamente em termos da trilogarítmica de Zagier $L_3$ e de uma integral envolvendo uma função $f_{N,z}(t)$ (Teorema 1.3).
  • Fórmula Hipergeométrica: A forma do regulador é expressa como uma combinação linear de formas diferenciais ponderadas por funções hipergeométricas $F(\alpha; -1)$, generalizando os resultados de Otsubo para $K_2$ (Teorema 1.6).
• Comportamento Assintótico: Os autores derivam uma fórmula assintótica para as integrais do regulador conforme $N \to \infty$:
  $$\int_{\gamma_N} r_B((\tau_\varepsilon)^*(\Xi_N)) \sim \frac{3}{2}\zeta(3)N^2$$
  Isso confirma a não trivialidade dos elementos para $N$ grandes e fornece uma visão de sua taxa de crescimento (Teorema 1.4).
• Independência Linear: Para $N$ não divisível por 3, mostra-se que os elementos $\Xi_N$, $\iota^*(\Xi_N)$ e $\tau_\varepsilon^*(\Xi_N)$ são não nulos e linearmente independentes em $K_4^{(3)}(X_N, \mathbb{Q}(\varepsilon))$ (Teorema 1.2).
• Verificação Numérica da Conjectura de Beilinson: O artigo verifica numericamente a forma fraca da conjectura de Beilinson para os motivos $X_{[-2,1]}^N$ onde $N \in \{3, 4, 6\}$. Nesses casos, os motivos correspondem a curvas elípticas $E_3, E_4, E_6$ com CM. As integrais do regulador computadas coincidem com os valores previstos envolvendo $L'(E, -1)$ até fatores racionais e potências de $\pi$ (Teorema 1.8).

Significância e Alegações
Os autores posicionam este trabalho como o primeiro a abordar a conjectura de Beilinson para curvas de Fermat gerais além do nível $K_2$.

• Generalização: O trabalho generaliza a construção do elemento de Ross para $K_2$ para $K_4$ e estende as fórmulas hipergeométricas de Otsubo de $K_2$ para $K_4$.
• Uniformidade: A construção é uniforme em $N$, fornecendo uma única família de elementos para todos os graus $N \geq 3$, ao contrário de construções anteriores para curvas modulares que frequentemente exigiam análise caso a caso.
• Verificação: O artigo fornece a primeira verificação numérica explícita da conjectura de Beilinson em $s=3$ para curvas de Fermat, estabelecendo uma ponte entre as construções de teoria K algébrica e as previsões analíticas de valores de funções $L$.
• Modéstia: Os autores observam que, embora verifiquem a conjectura para motivos de rank 2 (correspondentes a curvas elípticas), a conjectura permanece aberta para motivos de Fermat de rank superior (ex: $N=5$), onde a construção de uma base completa de elementos de $K_4$ ainda é um problema em aberto. Eles também reconhecem que provar a independência linear de seus elementos incondicionalmente (sem depender da injetividade conjectural do regulador) continua sendo difícil.