Elements in $K_4$ and regulator maps of Fermat curves

Resumen Técnico: Elementos en $K_4$ y Mapas Reguladores de Curvas de Fermat

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la construcción de elementos explícitos y no triviales en el tercer autoespacio de Adams $K_4^{(3)}(X_N)$ de las curvas de Fermat $X_N$ definidas por la ecuación $x^N + y^N = 1$ sobre $\mathbb{Q}$, para todos los enteros $N \geq 3$. Si bien la estructura de $K_2(X_N)$ y la no trivialidad del elemento de Ross $\{1-x, 1-y\}$ están bien establecidas, el grupo $K_4$ de las curvas de Fermat permanece ampliamente inexplorado. El objetivo principal es construir elementos explícitos en $K_4^{(3)}(X_N)$ y verificar su no trivialidad computando sus imágenes bajo el mapa regulador de Beilinson. Además, los autores pretenden verificar numéricamente la conjetura de Beilinson respecto a los valores especiales de las funciones $L$ en $s=3$ para motivos de Fermat específicos.

Metodología
Los autores emplean una estrategia de construcción uniforme basada en complejos polilogarítmicos y el trabajo de Goncharov y de Jeu.

1. Complejos Polilogarítmicos: La construcción utiliza el complejo polilogarítmico de peso 3 $\Gamma(F, 3)$ de Goncharov para el cuerpo de funciones $F = \mathbb{Q}(X_N)$. Este complejo involucra al grupo de Bloch $B_3(F)$ y $B_2(F) \otimes F^\times_{\mathbb{Q}}$.
2. Coclícliclos Explícitos: Los autores construyen cocícliclos explícitos $\xi_{r,s}^N(\zeta)$ en $\Gamma(F, 3)$ de la forma:
   $$\xi_{r,s}^N(\zeta) := \{x^N\}_2 \otimes (1 - \zeta x^r y^s) - \frac{N}{s} \{\zeta x^r y^s\}_2 \otimes x^N$$
   donde $\zeta$ es una raíz de la unidad.
3. Mapa de de Jeu: Aplican el mapa de de Jeu $\phi_{dJ}: H_2(\Gamma(F, 3)) \to K_4^{(3)}(F)$ a estos cocícliclos. Para asegurar que los elementos resultantes pertenezcan a $K_4^{(3)}(X_N)$ y no solo a la curva abierta $U$, verifican que los residuos de los cocícliclos se anulen en las cúspides y en los ceros de las funciones definitorias, utilizando el Teorema 3.6 que se basa en que el cuerpo base es totalmente real.
4. Elección Específica: Los autores se centran en el caso específico $(r, s) = (-2, 1)$ y $\zeta = 1$ (y sus giros por raíces de la unidad) para definir el elemento $\Xi_N = \Xi_{-2,1}^N$.
5. Computación del Regulador: Para probar la no trivialidad, los autores computan la imagen de estos elementos bajo el mapa regulador de Beilinson $r_B$. Relacionan $r_B$ con el regulador de Goncharov $r_3(2)$ mediante el teorema de compatibilidad de de Jeu. Las integrales del regulador se computan sobre un ciclo de homología específico $\gamma_N$ que genera la homología de $X_N(\mathbb{C})$ como un módulo sobre el anillo de grupo $\mathbb{Q}[(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\oplus 2}]$.
6. Herramientas Analíticas: La evaluación de estas integrales implica:
   • La función trilogaritmo de Zagier $L_3(z)$.
   • Funciones hipergeométricas $F(\alpha; x)$, generalizando resultados previos de Otsubo para $K_2$.
   • Análisis asintótico cuando $N \to \infty$.
7. Verificación Numérica: Para $N \in \{3, 4, 6\}$, los autores utilizan PARI/GP para evaluar numéricamente las integrales del regulador y compararlas con las derivadas de las funciones $L$ de Hecke asociadas a curvas elípticas específicas con CM (Complejo Multiplicativo), que son isógenas a los motivos de Fermat relevantes.

Contribuciones Clave y Resultados

• Construcción de Elementos No Triivales: El artículo demuestra que el elemento construido $\Xi_N \in K_4^{(3)}(X_N)$ es no trivial para todo $N \geq 3$ (Teorema 1.1). Esto se logra mostrando que la integral del regulador de una versión girada del elemento, $(\tau_\varepsilon)^*(\Xi_N)$, es no nula.
• Fórmulas Explícitas del Regulador:
  • Fórmula del Trilogaritmo: La integral del regulador se expresa explícitamente en términos del trilogaritmo de Zagier $L_3$ y una integral que involucra una función $f_{N,z}(t)$ (Teorema 1.3).
  • Fórmula Hipergeométrica: La forma del regulador se expresa como una combinación lineal de formas diferenciales ponderadas por funciones hipergeométricas $F(\alpha; -1)$, generalizando los resultados de Otsubo para $K_2$ (Teorema 1.6).
• Comportamiento Asintótico: Los autores derivan una fórmula asintótica para las integrales del regulador cuando $N \to \infty$:
  $$\int_{\gamma_N} r_B((\tau_\varepsilon)^*(\Xi_N)) \sim \frac{3}{2}\zeta(3)N^2$$
  Esto confirma la no trivialidad de los elementos para $N$ grandes y proporciona información sobre su tasa de crecimiento (Teorema 1.4).
• Independencia Lineal: Para $N$ no divisible por 3, se muestra que los elementos $\Xi_N$, $\iota^*(\Xi_N)$ y $\tau_\varepsilon^*(\Xi_N)$ son no nulos y linealmente independientes en $K_4^{(3)}(X_N, \mathbb{Q}(\varepsilon))$ (Teorema 1.2).
• Verificación Numérica de la Conjetura de Beilinson: El artículo verifica numéricamente la forma débil de la conjetura de Beilinson para los motivos $X_{[-2,1]}^N$ donde $N \in \{3, 4, 6\}$. En estos casos, los motivos corresponden a curvas elípticas $E_3, E_4, E_6$ con CM. Las integrales del regulador computadas coinciden con los valores predichos de $L'(E, -1)$ hasta factores racionales y potencias de $\pi$ (Teorema 1.8).

Significado y Reivindicaciones
Los autores posicionan este trabajo como el primero en abordar la conjetura de Beilinson para curvas de Fermat generales más allá del nivel $K_2$.

• Generalización: El trabajo generaliza la construcción del elemento de Ross para $K_2$ hacia $K_4$ y extiende las fórmulas hipergeométricas de Otsubo de $K_2$ a $K_4$.
• Uniformidad: La construcción es uniforme en $N$, proporcionando una única familia de elementos para todos los grados $N \geq 3$, a diferencia de construcciones previas para curvas modulares que a menudo requerían análisis caso por caso.
• Verificación: El trabajo constituye la primera verificación numérica explícita de la conjetura de Beilinson en $s=3$ para curvas de Fermat, cerrando la brecha entre las construcciones de K-teoría algebraica y las predicciones analíticas de los valores de $L$.
• Modestia: Los autores señalan que, aunque verifican la conjetura para motivos de rango 2 (correspondientes a curvas elípticas), la conjetura sigue siendo abierta para motivos de Fermat de mayor rango (por ejemplo, $N=5$), donde la construcción de una base completa de elementos de $K_4$ sigue siendo un problema abierto. También reconocen que demostrar la independencia lineal de sus elementos de forma incondicional (sin depender de la inyectividad conjetural del regulador) sigue siendo difícil.