Jacob's ladders and new $\zeta$-functionals and corresponding $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theory based on sums of elementary $\zeta$-pulses

Technische Zusammenfassung: Jakobsleitern und neue $\zeta$-Funktionale

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit der Konstruktion von „Summen-Varianten“ bereits etablierter $\zeta$-Funktionale im Zusammenhang mit dem Hardy-Littlewood-Integral. Das primäre Ziel besteht darin, kontinuierliche Integraldarstellungen des Betragsquadrats der Riemannschen Zeta-Funktion, $|\zeta(1/2 + it)|^2$, in diskrete Summenformen basierend auf elementaren Signalen (Pulsen) zu transformieren. Ein sekundäres Ziel ist die Ableitung neuer „$\zeta$-Äquivalente“ des Fermat-Wiles-Theorems (Fermats letzter Satz) basierend auf diesen Summen-Varianten, unter spezifischer Verwendung isolierter, rechteckförmiger Signale, die unter der Annahme der Riemannschen Hypothese (RH) abgeleitet wurden.

Methodik
Der Autor verwendet die Theorie der „Jakobsleitern“, insbesondere die Rückwärtsiterationen der Funktion $\varphi_1(T)$, bezeichnet als $\frac{r}{T}(T) = \varphi_1^{-r}(T)$. Diese Iterationen definieren eine Sequenz von Punkten, die das Integrationsintervall $[T, \frac{1}{T}(T)]$ in „fast lineare“ Inkremente unterteilen.

Die Methodik vollzieht sich durch folgende Schritte:

1. Partitionierung: Das Intervall $(T, \frac{1}{T}(T))$ wird durch die Nullstellen $\{\gamma_n\}$ der Riemann-Siegel-Funktion $Z(t)$ partitioniert. Das Integral von $Z^2(t)$ über dieses Intervall wird in eine Summe von Integralen über Teilintervalle $[\gamma_n, \gamma_{n+1}]$ zerlegt.
2. Diskretisierung (Summen-Varianten):
   • Erste Variante: Das Integral über jedes Teilintervall $[\gamma_n, \gamma_{n+1}]$ wird als Fläche eines kurvilinearen Signals $A_0(n)$ behandelt.
   • Zweite Variante: Unter Verwendung des Mittelwertsatzes wird die Fläche $A_0(n)$ mit der Fläche eines Rechtecks $A_1(n)$ mit der Höhe $Z^2(\bar{t}(n))$ und der Breite $(\gamma_{n+1} - \gamma_n)$ gleichgesetzt.
   • Dritte Variante (RH-abhängig): Unter Annahme der Riemannschen Hypothese (RH) wird gezeigt, dass die Funktion $Z^2(t)$ innerhalb jedes Intervalls $(\gamma_n, \gamma_{n+1})$ ein einzelnes Maximum $t_0(n)$ besitzt. Unter Verwendung des Bonnetschen Mittelwertsatzes wird das Integral in die Fläche eines Rechtecks $B(n)$ transformiert, das durch die Höhe $Z^2(t_0(n))$ und eine spezifische Breite $[\xi_2(n) - \xi_1(n)]$ definiert ist, wobei $\xi_1$ und $\xi_2$ Bonnet-Punkte sind.
3. Konstruktion des Funktionalen: Ein Grenzwertprozess wird angewendet, bei dem die obere Grenze der Integration (oder Summierung) mit einem Parameter $\tau$ skaliert. Die Substitution $T = \frac{x}{1-c}\tau$ (wobei $c$ die Euler-Konstante ist) wird zur Normalisierung der Summen verwendet.

Zentrale Beiträge und Ergebnisse

1. Neue $\zeta$-Funktionale:
   Die Arbeit etabliert drei verschiedene Grenzwertformeln, die eine normalisierte Summe von Signalflächen mit einer festen reellen Zahl $x > 0$ gleichsetzen:

   • Summe kurvilinearer Signale:
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\gamma_n < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} \int_{\gamma_n}^{\gamma_{n+1}} Z^2(t) dt = x$$
   • Summe rechteckiger Signale (Mittelwert):
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\gamma_n < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} Z^2(\bar{t}(n))(\gamma_{n+1} - \gamma_n) = x$$
   • Summe rechteckiger Signale (RH-Maximum):
     Unter Annahme der RH leitet die Arbeit ab:
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{t_0(n) < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} Z^2(t_0(n))[\xi_2(n) - \xi_1(n)] = x$$

2. $\zeta$-Äquivalente des Fermat-Wiles-Theorems:
   Durch Substitution der Fermat-Rationalen $x \to \frac{x^m + y^m}{z^m}$ (für $m \geq 3$) in die Grenzwertformale leitet der Autor Bedingungen ab, die das Fermat-Wiles-Theorem ausdrücken. Konkret behauptet die Arbeit, dass für alle Fermat-Rationalen der Grenzwert der normalisierten Summe nicht gleich 1 ist:
   $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum (\dots) \neq 1$$
   Diese Ungleichung wird als ein neues „$\zeta$-Äquivalent“ des Theorems präsentiert. Die Arbeit liefert drei solche Äquivalente, die den drei beschriebenen Summen-Varianten entsprechen.

3. Geometrische Interpretation:
   Die Arbeit führt eine geometrische Transformation ein, bei der die Menge der kurvilinearen Signale $A_0(n)$ (begrenzt durch $Z^2(t)$) unter der Riemannschen Hypothese durch eine disjunkte Menge isolierter, rechteckiger Pulse $B(n)$ ersetzt wird. Es wird behauptet, dass diese Transformation das Maß (die Fläche) der Signale bewahrt.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit beansprucht, eine „stabilere (oder kodierte) Form“ des Hardy-Littlewood-Integrals bereitzustellen, indem sie diesen in eine Summe elementarer Pulse umwandelt. Der Autor vertritt die Auffassung, dass diese Summen-Varianten eine neue analytische Perspektive auf die Beziehung zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und dem Fermat-Wiles-Theorem bieten.

Die Bedeutung wird wie folgt gerahmt:

• Neue Berührungspunkte: Die Arbeit stellt weitere „Berührungspunkte“ zwischen den fast linearen Inkrementen des Hardy-Littlewood-Integrals und dem Fermatschen letzten Satz her und erweitert damit die in der Einleitung zitierte Vorarbeit.
• Rolle der RH: Die Arbeit zeigt, dass die Riemannsche Hypothese eine spezifische strukturelle Vereinfachung des $\zeta$-Funktionalen ermöglicht, indem sie kontinuierliche kurvilineare Signale durch diskrete, isolierte rechteckige Pulse ersetzt, während das funktionale Limit erhalten bleibt.
• Erhaltungssätze: Der Autor identifiziert ein „globales Erhaltungsgesetz“ (Eigenschaft 6) unter der Riemannschen Hypothese, das den Maximalwert von $Z^2(t)$, den Mittelwert und die Längen der entsprechenden Intervalle in Beziehung setzt.

Der Autor gibt explizit an, dass die Ergebnisse auf „fast linearen Inkrementen“ basieren, die in früheren Arbeiten bewiesen wurden, und dass die Konstruktion des $\zeta$-Äquivalents für Fermat-Rationale auf den Konsequenzen der Riemannschen Hypothese beruht, die in früheren kosmologischen Modellen desselben Autors verwendet wurden. Die Arbeit schlägt keine experimentellen Anwendungen oder zukünftigen Implikationen vor, die über die mathematische Ableitung dieser Äquivalente hinausgehen.