Jacob's ladders and new $\zeta$-functionals and corresponding $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theory based on sums of elementary $\zeta$-pulses

Technische Samenvatting: Jacob's Ladders en Nieuwe $\zeta$-Functionalen

Probleemstelling
Het artikel behandelt de constructie van "som-varianten" van eerder vastgestelde $\zeta$-functionalen gerelateerd aan de Hardy-Littlewood-integraal. Het primaire doel is om continue integraalrepresentaties van de kwadratische grootte van de Riemann zeta-functie, $|\zeta(1/2 + it)|^2$, te transformeren naar discrete somvormen gebaseerd op elementaire signalen (pulsen). Een secundair doel is het afleiden van nieuwe "$\zeta$-equivalenten" van de stelling van Fermat-Wiles (de Laatste Stelling van Fermat) op basis van deze som-varianten, specifiek gebruikmakend van geïsoleerde rechthoekige signalen die onder de aanname van de Riemann-hypothese (RH) zijn afgeleid.

Methodologie
De auteur maakt gebruik van de theorie van "Jacob's ladders", specifiek de inverse iteraties van de functie $\varphi_1(T)$, aangeduid als $\frac{r}{T}(T) = \varphi_1^{-r}(T)$. Deze iteraties definiëren een reeks punten die het integratie-interval $[T, \frac{1}{T}(T)]$ verdelen in "bijna lineaire" incrementen.

De methodologie verloopt via de volgende stappen:

1. Partitionering: Het interval $(T, \frac{1}{T}(T))$ wordt gepartitioneerd door de nulpunten $\{\gamma_n\}$ van de Riemann-Siegel-functie $Z(t)$. De integraal van $Z^2(t)$ over dit interval wordt gedecomposed in een som van integralen over sub-intervallen $[\gamma_n, \gamma_{n+1}]$.
2. Discretisering (Som-varianten):
   • Eerste variant: De integraal over elk sub-interval $[\gamma_n, \gamma_{n+1}]$ wordt behandeld als de oppervlakte van een curvilineair signaal $A_0(n)$.
   • Tweede variant: Met behulp van de middelentheorema wordt de oppervlakte $A_0(n)$ gelijkgesteld aan de oppervlakte van een rechthoek $A_1(n)$ met hoogte $Z^2(\bar{t}(n))$ en breedte $(\gamma_{n+1} - \gamma_n)$.
   • Derde variant (RH-afhankelijk): Onder aanname van de Riemann-hypothese (RH) wordt aangetoond dat de functie $Z^2(t)$ binnen elk interval $(\gamma_n, \gamma_{n+1})$ een enkel maximum $t_0(n)$ heeft. Met behulp van het Bonnet-middelentheorema wordt de integraal getransformeerd naar de oppervlakte van een rechthoek $B(n)$ gedefinieerd door de hoogte $Z^2(t_0(n))$ en een specifieke breedte $[\xi_2(n) - \xi_1(n)]$, waarbij $\xi_1$ en $\xi_2$ de Bonnet-punten zijn.
3. Functionele Constructie: Een limietproces wordt toegepast waarbij de bovengrens van de integratie (of sommatie) schaalt met een parameter $\tau$. De substitutie $T = \frac{x}{1-c}\tau$ (waarbij $c$ de Euler-constante is) wordt gebruikt om de sommen te normaliseren.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Nieuwe $\zeta$-Functionalen:
   Het artikel stelt drie verschillende limietformules vast die een genormaliseerde som van signaaloppervlaktes gelijkstellen aan een vast reëel getal $x > 0$:

   • Som van Curvilineaire Signalen:
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\gamma_n < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} \int_{\gamma_n}^{\gamma_{n+1}} Z^2(t) dt = x$$
   • Som van Rechthoekige Signalen (Middelentheorema):
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\gamma_n < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} Z^2(\bar{t}(n))(\gamma_{n+1} - \gamma_n) = x$$
   • Som van Rechthoekige Signalen (RH Maximum):
     Onder aanname van RH leidt het artikel af:
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{t_0(n) < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} Z^2(t_0(n))[\xi_2(n) - \xi_1(n)] = x$$

2. $\zeta$-Equivalenten van de Stelling van Fermat-Wiles:
   Door Fermat-rationals $x \to \frac{x^m + y^m}{z^m}$ (voor $m \geq 3$) in de functionele limieten te substitueren, leidt de auteur voorwaarden af die de stelling van Fermat-Wiles uitdrukken. Specifiek beweert het artikel dat voor alle Fermat-rationals de limiet van de genormaliseerde som niet gelijk is aan 1:
   $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum (\dots) \neq 1$$
   Deze ongelijkheid wordt gepresenteerd als een nieuwe "$\zeta$-equivalent" van de stelling. Het artikel biedt drie dergelijke equivalenten overeenkomend met de drie beschreven som-varianten.

3. Geometrische Interpretatie:
   Het artikel introduceert een geometrische transformatie waarbij de verzameling curvilineaire signalen $A_0(n)$ (begrensd door $Z^2(t)$) wordt vervangen door een gedisconnecteerde verzameling van geïsoleerde rechthoekige pulsen $B(n)$ onder de Riemann-hypothese. De auteur stelt dat deze transformatie de maat (oppervlakte) van de signalen behoudt.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert een "stabielere (of gecodeerde) vorm" van de Hardy-Littlewood-integraal te bieden door deze om te zetten in een som van elementaire pulsen. De auteur stelt dat deze som-varianten een nieuw analytisch perspectief bieden op de relatie tussen de Riemann zeta-functie en de stelling van Fermat-Wiles.

De betekenis wordt als volgt gekaderd:

• Nieuwe Contactpunten: Het werk vestigt verdere "contactpunten" tussen de bijna lineaire incrementen van de Hardy-Littlewood-integraal en de Laatste Stelling van Fermat, voortbouwend op eerder werk dat in de inleiding wordt geciteerd.
• Rol van RH: Het artikel demonstreert dat de Riemann-hypothese een specifieke structurele vereenvoudiging van de $\zeta$-functionaal mogelijk maakt, waarbij continue curvilineaire signalen worden vervangen door discrete, geïsoleerde rechthoekige pulsen terwijl de functionele limiet behouden blijft.
• Conserveringswetten: De auteur identificeert een "globale conserveringswet" (Eigenschap 6) op de Riemann-hypothese die de maximumwaarde van $Z^2(t)$, de gemiddelde waarde en de bijbehorende intervallengtes met elkaar verbindt.

De auteur verklaart expliciet dat de resultaten zijn afgeleid op basis van "bijna lineaire incrementen" die in eerdere werken zijn bewezen en dat de constructie van de $\zeta$-equivalent voor de Fermat-rationals berust op de consequenties van de Riemann-hypothese die in eerdere kosmologische modellen door dezelfde auteur zijn gebruikt. Het artikel stelt geen experimentele toepassingen of toekomstige implicaties voor buiten de wiskundige afleiding van deze equivalenten.