Jacob's ladders and new $\zeta$-functionals and corresponding $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theory based on sums of elementary $\zeta$-pulses

技術要約：ヤコブの梯子と新しい$\zeta$汎関数

問題提起
本論文は、ハーディ・リトルウッド積分に関連して既に確立されている$\zeta$汎関数の「和のバリアント（sum-variants）」の構築を扱う。主な目的は、リーマンゼータ関数の絶対値の二乗、$|\zeta(1/2 + it)|^2$ の連続的な積分表現を、基本信号（パルス）に基づく離散的な和の形式へと変換することである。二次的な目的は、これらの和のバリアントに基づき、リーマン仮説（RH）の下で導出された孤立した矩形形状の信号を用いて、フェルマー・ワイルズの定理（フェルマーの最終定理）の新しい「$\zeta$等価物」を導出することである。

手法
著者は、「ヤコブの梯子（Jacob's ladders）」の理論、具体的には関数 $\varphi_1(T)$ の逆反復 $\frac{r}{T}(T) = \varphi_1^{-r}(T)$ を用いる。これらの反復は、積分領域 $[T, \frac{1}{T}(T)]$ を「ほぼ線形的」な増分へと分割する一連の点列を定義する。

手法は以下のステップに従って進行する：

1. 分割： 区間 $(T, \frac{1}{T}(T))$ は、リーマン・ジーゲル関数 $Z(t)$ の零点 $\{\gamma_n\}$ によって分割される。この区間における $Z^2(t)$ の積分は、部分区間 $[\gamma_n, \gamma_{n+1}]$ 上の積分の和へと分解される。
2. 離散化（和のバリアント）：
   • 第一のバリアント： 各部分区間 $[\gamma_n, \gamma_{n+1}]$ 上の積分を、曲線信号 $A_0(n)$ の面積として扱う。
   • 第二のバリアント： 平均値の定理を用いて、面積 $A_0(n)$ を、高さ $Z^2(\bar{t}(n))$ と幅 $(\gamma_{n+1} - \gamma_n)$ を持つ矩形の面積 $A_1(n)$ と等置する。
   • 第三のバリアント（RH依存）： リーマン仮説を仮定し、$Z^2(t)$ が各区間 $(\gamma_n, \gamma_{n+1})$ 内に単一の極大値 $t_0(n)$ を持つことを示す。ボネの平均値定理を用い、積分は、高さ $Z^2(t_0(n))$ と特定の幅 $[\xi_2(n) - \xi_1(n)]$（ここで $\xi_1, \xi_2$ はボネ点）によって定義される矩形 $B(n)$ の面積へと変換される。
3. 汎関数の構成： 積分（または総和）の上限がパラメータ $\tau$ に伴ってスケールする極限プロセスを適用する。正規化のために、代入 $T = \frac{x}{1-c}\tau$ （ここで $c$ はオイラー定数）を用いる。

主要な貢献および結果

1. 新しい$\zeta$汎関数：
   本論文は、正規化された信号の面積の和を固定された実数 $x > 0$ に等置する、3つの異なる極限公式を確立している：

   • 曲線信号の和：
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\gamma_n < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} \int_{\gamma_n}^{\gamma_{n+1}} Z^2(t) dt = x$$
   • 矩形信号の和（平均値）：
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\gamma_n < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} Z^2(\bar{t}(n))(\gamma_{n+1} - \gamma_n) = x$$
   • 矩形信号の和（RH極大値）：
     リーマン仮説を仮定すると、論文は以下を導出する：
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{t_0(n) < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} Z^2(t_0(n))[\xi_2(n) - \xi_1(n)] = x$$

2. フェルマー・ワイルズの定理の$\zeta$等価物：
   フェルマーの有理数 $x \to \frac{x^m + y^m}{z^m}$ （$m \geq 3$ の場合）を汎関数の極限に代入することにより、著者はフェルマー・ワイルズの定理を表現する条件を導出している。具体的には、本論文は、すべてのフェルマーの有理数に対して、正規化された和の極限は1ではないと主張している：
   $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum (\dots) \neq 1$$
   この不等式は、新しい「$\zeta$等価物」として提示されている。論文は、上述の3つの和のバリアントに対応する、これら3つの等価物を提供している。

3. 幾何学的解釈：
   本論文は、曲線信号 $A_0(n)$（$Z^2(t)$ によって境界付けられる）の集合が、リーマン仮説の下で、非連結な孤立矩形パルス $B(n)$ の集合へと置き換わる幾何学的変換を導入している。著者は、この変換が信号の測度（面積）を保存すると断言している。

意義および主張
本論文は、ハーディ・リトルウッド積分を基本パルスの和へと変換することにより、より「安定した（あるいは符号化された）」形式を提供すると主張している。著者は、これらの和のバリアントが、リーマンゼータ関数とフェルマー・ワイルズの定理との間の関係に対する新しい分析的視点を提供すると考えている。

意義は以下のように枠付けられている：

• 新しい接点： 本研究は、ハーディ・リトルウッド積分の「ほぼ線形的増分」とフェルマーの最終定理との間のさらなる「接点」を確立しており、序論で引用された先行研究を拡張している。
• RHの役割： リーマン仮説が、連続的な曲線信号を、その関数的極限を維持したまま離散的で孤立した矩形パルスへと置き換えるという、特定の構造的簡略化を可能にすることを本論文は示している。
• 保存則： 著者は、リーマン仮説上の「グローバルな保存則（性質6）」を特定しており、これは $Z^2(t)$ の最大値、平均値、および対応する区間の長さを関連付けている。

著者は、得られた結果が、先行研究において証明された「ほぼ線形的増分」に基づいて導出されたこと、およびフェルマーの有理数に対する$\zeta$等価物の構成が、同著者による以前の宇宙論モデルで使用されたリーマン仮説の結果に基づいていることを明示している。本論文は、数学的な等価物の導出を超えた実験的な応用や将来的な含意を提案するものではない。