Jacob's ladders and new $\zeta$-functionals and corresponding $\zeta$-equivalents of the Fermat-Wiles theory based on sums of elementary $\zeta$-pulses

Résumé Technique : Échelles de Jacob et Nouveaux Fonctionnels $\zeta$

Énoncé du Problème
L'article traite de la construction de « variantes de sommes » de fonctionnels $\zeta$ précédemment établis en relation avec l'intégrale de Hardy-Littlewood. L'objectif principal est de transformer les représentations intégrales continues de la magnitude au carré de la fonction zeta de Riemann, $|\zeta(1/2 + it)|^2$, en des formes de sommes discrètes basées sur des signaux élémentaires (impulsions). Un objectif secondaire est de dériver de nouveaux « équivalents-$\zeta$ » du théorème de Fermat-Wiles (le dernier théorème de Fermat) à partir de ces variantes de sommes, en utilisant spécifiquement des signaux isolés de forme rectangulaire dérivés sous l'hypothèse de Riemann (RH).

Méthodologie
L'auteur emploie la théorie des « échelles de Jacob » (Jacob's ladders), spécifiquement les itérations inverses de la fonction $\varphi_1(T)$, notées $\frac{r}{T}(T) = \varphi_1^{-r}(T)$. Ces itérations définissent une séquence de points qui partitionnent le domaine d'intégration $[T, \frac{1}{T}(T)]$ en incréments « presque linéaires ».

La méthodologie procède à travers les étapes suivantes :

1. Partitionnement : L'intervalle $(T, \frac{1}{T}(T))$ est partitionné par les zéros $\{\gamma_n\}$ de la fonction de Riemann-Siegel $Z(t)$. L'intégrale de $Z^2(t)$ sur cet intervalle est décomposée en une somme d'intégrales sur des sous-intervalles $[\gamma_n, \gamma_{n+1}]$.
2. Discrétisation (Variantes de Sommes) :
   • Première Variante : L'intégrale sur chaque sous-intervalle $[\gamma_n, \gamma_{n+1}]$ est traitée comme l'aire d'un signal curviligne $A_0(n)$.
   • Deuxième Variante : En utilisant le théorème de la moyenne, l'aire $A_0(n)$ est équivalente à l'aire d'un rectangle $A_1(n)$ de hauteur $Z^2(\bar{t}(n))$ et de largeur $(\gamma_{n+1} - \gamma_n)$.
   • Troisième Variante (Dépendante de RH) : En supposant l'Hypothèse de Riemann, la fonction $Z^2(t)$ possède un maximum unique $t_0(n)$ au sein de chaque intervalle $(\gamma_n, \gamma_{n+1})$. En utilisant le théorème de la moyenne de Bonnet, l'intégrale est transformée en l'aire d'un rectangle $B(n)$ défini par la hauteur $Z^2(t_0(n))$ et une largeur spécifique $[\xi_2(n) - \xi_1(n)]$, où $\xi_1$ et $\xi_2$ sont les points de Bonnet.
3. Construction de Fonctionnels : Un processus de limite est appliqué où la borne supérieure de l'intégration (ou de la sommation) change d'échelle avec un paramètre $\tau$. La substitution $T = \frac{x}{1-c}\tau$ (où $c$ est la constante d'Euler) est utilisée pour normaliser les sommes.

Contributions Clés et Résultats

1. Nouveaux Fonctionnels $\zeta$ :
   L'article établit trois formules limites distinctes qui équatent une somme normalisée d'aires de signaux à un nombre réel fixe $x > 0$ :

   • Somme de Signaux Curvilignes :
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\gamma_n < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} \int_{\gamma_n}^{\gamma_{n+1}} Z^2(t) dt = x$$
   • Somme de Signaux Rectangulaires (Moyenne) :
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{\gamma_n < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} Z^2(\bar{t}(n))(\gamma_{n+1} - \gamma_n) = x$$
   • Somme de Signaux Rectangulaires (Maximum RH) :
     En supposant RH, l'article dérive :
     $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum_{t_0(n) < [\frac{x}{1-c}\tau]_1} Z^2(t_0(n))[\xi_2(n) - \xi_1(n)] = x$$

2. Équivalents-$\zeta$ du Théorème de Fermat-Wiles :
   En substituant les rationnels de Fermat $x \to \frac{x^m + y^m}{z^m}$ (pour $m \geq 3$) dans les limites fonctionnelles, l'auteur dérive des conditions qui expriment le théorème de Fermat-Wiles. Spécifiquement, l'article affirme que pour tous les rationnels de Fermat, la limite de la somme normalisée n'est pas égale à 1 :
   $$\lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{\tau} \sum (\dots) \neq 1$$
   Cette inégalité est présentée comme un nouvel « équivalent-$\zeta$ » du théorème. L'article fournit trois tels équivalents correspondant aux trois variantes de sommes décrites ci-dessus.

3. Interprétation Géométrique :
   L'article introduit une transformation géométrique où l'ensemble des signaux curvilignes $A_0(n)$ (bornés par $Z^2(t)$) est remplacé par un ensemble déconnecté d'impulsions rectangulaires isolées $B(n)$ sous l'Hypothèse de Riemann. L'auteur affirme que cette transformation préserve la mesure (l'aire) des signaux.

Signification et Revendications
L'article prétend fournir une « forme plus stable (ou codée) » de l'intégrale de Hardy-Littlewood en la convertissant en une somme d'impulsions élémentaires. L'auteur postule que ces variantes de sommes offrent une nouvelle perspective analytique sur la relation entre la fonction zeta de Riemann et le théorème de Fermat-Wiles.

La signification est formulée comme suit :

• Nouveaux Points de Contact : Le travail établit de nouveaux « points de contact » entre les incréments presque linéaires de l'intégrale de Hardy-Littlewood et le dernier théorème de Fermat, étendant les travaux précédents cités dans l'introduction.
• Rôle de RH : L'article démontre que l'Hypothèse de Riemann permet une simplification structurelle spécifique du fonctionnel $\zeta$, remplaçant les signaux curvilignes continus par des impulsions rectangulaires discrètes et isolées tout en maintenant la limite fonctionnelle.
• Lois de Conservation : L'auteur identifie une « loi de conservation globale » (Propriété 6) sur l'Hypothèse de Riemann qui relie la valeur maximale de $Z^2(t)$, la valeur moyenne et les longueurs des intervalles correspondants.

L'auteur déclare explicitement que les résultats sont dérivés sur la base d'« incréments presque linéaires » prouvés dans des travaux antérieurs et que la construction de l'équivalent-$\zeta$ pour les rationnels de Fermat repose sur les conséquences de l'Hypothèse de Riemann utilisées dans les modèles cosmologiques précédents par le même auteur. Le papier ne propose pas d'applications expérimentales ou d'implications futures au-delà de la dérivation mathématique de ces équivalents.