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Integer parts of real powers in two Erd\H{o}s problems of Romanoff type

Este artículo resuelve dos problemas aditivos de tipo Erdős al probar un límite inferior métrico cuantitativo para la densidad de los enteros representables como un primo más la parte entera de una potencia real, y al establecer un análogo de densidad uno para los enteros libres de cuadrados más una potencia real, al tiempo que demuestra que la persistencia de una densidad inferior positiva de excepciones se mantiene para bases específicas como la razón áurea.

Autores originales: Yuchen Ding

Publicado 2026-07-21

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CC BY 4.0

Autores originales: Yuchen Ding

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que eres un detective tratando de resolver un rompecabezas masivo que involucra números. En el mundo de las matemáticas, existe un juego famoso llamado "teoría aditiva de números", donde el objetivo es ver si puedes construir cada número sumando dos tipos específicos de ingredientes juntos. Un ingrediente suele ser un "número primo" (números como 2, 3, 5, 7 que solo pueden dividirse por 1 y por sí mismos) o un "número libre de cuadrados" (números que no son divisibles por ningún cuadrado perfecto como 4, 9 o 16). El otro ingrediente es una "secuencia dispersa", una lista de números que se vuelve muy delgada, muy rápido, como las potencias de 2 (2, 4, 8, 16...). Es como preguntar si puedes construir una casa usando un tipo específico de ladrillo y un tipo específico de madera. A veces la respuesta es "sí, puedes construir casi cualquier casa", y otras veces la respuesta es "no, hay ciertas formas de casas que simplemente no puedes construir". El artículo que estás a punto de leer profundiza en esta pregunta, pero con un giro: en lugar de usar números enteros para la lista delgada, el autor usa las "partes enteras" de las potencias de números reales (como 1.5, 2.7 o la proporción áurea). Es como preguntar si puedes construir casas usando ladrillos que son cortados de un flujo continuo de madera en lugar de tablones pre-cortados.

La historia de dos rompecabezas

Este artículo, escrito por Yuchen Ding, aborda dos versiones diferentes de este rompecabezas de "bloques de construcción". El autor intenta averiguar si podemos cubrir toda la recta numérica (o al menos la mayor parte de ella) sumando primos o números libres de cuadrados a estas secuencias especiales de "potencias reales".

Rompecabezas 1: Los números primos y la regla del "casi siempre"

El primer problema pregunta: Si eliges un número aleatorio mayor que 1 (llamémoslo $y$ ) y creas una lista de números tomando la parte entera de $y^1, y^2, y^3$ , y así sucesivamente, ¿puedes sumar estos a los números primos para obtener casi todos los demás números?

El autor demuestra un resultado muy sólido aquí: Para casi cualquier número que elijas, la respuesta es un rotundo "sí". Si eliges un número $y$ al azar, está matemáticamente garantizado que el conjunto de números que puedes construir (Primo + Parte Entera de $y^k$ ) tendrá una densidad asintótica inferior positiva. En lenguaje sencillo, esto significa que no solo podrás construir unas pocas casas; podrás construir un vecindario masivo e infinito de ellas, asegurando que sin importar qué tan lejos mires, siempre encontrarás una cantidad significativa de números que puedes construir. El artículo incluso da una fórmula precisa para el tamaño mínimo de este fragmento, mostrando que cuanto más "dispersas" sean tus potencias (cuanto mayor sea $y$ ), menos números podrás construir, pero siempre construirás una parte significativa.

Sin embargo, el artículo también revela una "excepción" fascinante. El hecho de que funcione para casi todos los números no significa que funcione para todos los números. El autor construye un ejemplo específico y complicado utilizando la Proporción Áurea (ese famoso número $\phi \approx 1.618$ que se encuentra a menudo en la naturaleza y el arte). Cuando usas la Proporción Áurea, las "partes enteras" de sus potencias se comportan de una manera muy especial y rítmica (están estrechamente relacionadas con los números de Lucas). El autor demuestra que si usas este número específico, hay una proporción positiva de enteros que simplemente no pueden ser construidos. Es como encontrar un tipo específico de madera que, sin importar cómo lo intentes, deja un hueco en tu pared que nunca podrás llenar. Esta es una prueba concreta de que la "Proporción Áurea" es un "mal actor" en este juego, dejando un agujero permanente en la cobertura.

Rompecabezas 2: Los números libres de cuadrados y el "número mágico"

El segundo problema cambia los primos por "números libres de cuadrados" (números no divisibles por 4, 9, 16, etc.). Un famoso matemático llamado Erdős sugirió una vez que si sumas las potencias de 2 a los números libres de cuadrados, podrías construir cada número impar grande. Esta versión específica del rompecabezas sigue sin resolverse y se considera muy difícil.

En lugar de resolver la versión difícil con las potencias de 2, el autor hace una pregunta ligeramente diferente: ¿Podemos encontrar algún número real $a$ (entre 2 y 3) tal que, si usamos sus potencias, podamos construir casi todos los enteros positivos?

La respuesta es sí. El autor demuestra que existe al menos un "número mágico" $a$ en ese rango. Al elegir cuidadosamente este número, el autor muestra que las "partes enteras" de sus potencias pueden forzarse a caer justo en los lugares correctos para llenar los huecos dejados por los números libres de cuadrados. Es como encontrar una llave secreta que, al girarla, desbloquea la capacidad de construir casi todas las casas de la ciudad. El artículo no nos dice exactamente cuál es este número (demuestra que existe, pero no lo escribe como un decimal simple), pero demuestra que tal número está ahí fuera, esperando ser encontrado.

El panorama general

En resumen, este artículo es una obra maestra de la investigación detectivesca matemática. Muestra que:

Generalmente, funciona: Si eliges una base aleatoria para tus potencias, casi siempre puedes construir una gran colección de números sumándolos a los primos, garantizando una densidad inferior positiva.
Pero cuidado con la Proporción Áurea: Existe un número específico y famoso donde el patrón se rompe, dejando un hueco permanente.
Existe una solución mágica: Para el problema de los números libres de cuadrados, aunque no podemos resolver la versión original de las "potencias de 2" todavía, sabemos que existe un número real "mágico" que resuelve una versión muy similar del problema de densidad uno.

El autor utiliza una mezcla de argumentos "métricos" (observando qué sucede en promedio para números aleatorios) y argumentos "constructivos" (construyendo ejemplos específicos para probar huecos o soluciones). Los resultados no son meras conjeturas o simulaciones computacionales; son pruebas matemáticas rigurosas. El artículo confirma que, aunque el universo de los números es vasto y a veces complicado, existen reglas subyacentes profundas que nos permiten cubrir casi todo, siempre que elijamos nuestros ingredientes de la manera correcta.

Resumen Técnico: Partes Enteras de Potencias Reales en Dos Problemas de Erdős de Tipo Romanoff

Visión General y Planteamiento del Problema
Este artículo investiga dos problemas aditivos dentro del marco de la investigación de la línea de Erdős–Romanoff. El tema central es la sustitución de secuencias rígidas de potencias integrales ( $a^k$ ) por las partes enteras de potencias de una base real ( $\lfloor y^k \rfloor$ ). Esta modificación preserva la dispersión logarítmica del sumando al tiempo que introduce un parámetro real que permite tanto enfoques métricos (probabilísticos) como constructivos. El artículo aborda dos cuestiones específicas:

El Problema de los Primos (Erdős–Kalmár): ¿Tiene el conjunto $S_y = \{p + \lfloor y^k \rfloor : p \in \mathbb{P}, k \ge 1\}$ una densidad asintótica inferior positiva para cada $y > 1$ real?
El Problema de los Números Libres de Cuadrados: ¿Puede todo entero suficientemente grande ser representado como la suma de un entero libre de cuadrados y una potencia de dos ( $n = q + 2^k$ )? Si bien la versión de base fija permanece abierta, el artículo busca un análogo de base variable donde $2^k$ sea reemplazado por $\lfloor a^m \rfloor$ .

Metodología
El artículo emplea tres enfoques metodológicos distintos correspondientes a sus tres teoremas principales:

Teoría de Números Métrica y Análisis de Segundo Momento (Teorema 1.1):
Para establecer una densidad positiva para casi todos los reales de base, el autor combina un criterio determinista de segundo momento de Romanoff con estimaciones métricas.
- Criterio de Segundo Momento: Se deriva un lema cuantitativo (Lema 3.1) que vincula la densidad inferior de $P+A$ con la función de conteo de $A$ y las correlaciones de pares ponderadas de las diferencias en $A$ . El peso $W(h) = \prod_{p|h}(1+1/p)$ da cuenta de la distribución de los primos en progresiones aritméticas mediante la criba de Selberg.
- Control Métrico: La contribución técnica central es demostrar que para casi todo $y$ , la secuencia $\lfloor y^k \rfloor$ satisface las estimaciones necesarias de correlación de pares. Esto implica analizar la distribución de $\lfloor y^k \rfloor \pmod d$ . La prueba utiliza la desigualdad de Erdős–Turán y estimaciones de sumas exponenciales $\sum e(h y^k / d)$ . Al separar los divisores en "pequeños" (manejados por argumentos de equidistribución) y "grandes" (manejados por estimaciones de la derivada de $y^\ell - y^k$ ), el autor muestra que las correlaciones de pares ponderadas coinciden con la expectativa del modelo aleatorio $\zeta(2)/2\zeta(4)$ para casi todo $y$ .
Congruencias de Cobertura y Números de Lucas (Teorema 1.2):
Para demostrar que la cobertura de densidad uno no está garantizada incluso en el entorno de base real, el artículo construye una "base excepcional".
- Conexión con la Razón Áurea: El autor explota la identidad entre $\lfloor \phi^k \rfloor$ (donde $\phi$ es la razón áurea) y los números de Lucas ( $L_k$ ). Específicamente, $\lfloor \phi^k \rfloor$ es igual a $L_k$ o $L_k - 1$ dependiendo de la paridad de $k$ .
- Cobertura Finita: Se construye un conjunto finito de congruencias para cubrir todos los exponentes $k$ . Al seleccionar una progresión aritmética específica para los enteros objetivo $n$ , el autor asegura que para cualquier representación $n = p + \lfloor \phi^k \rfloor$ , el primo $p$ debe ser divisible por uno de un conjunto finito de primos pequeños. Esto fuerza a que $p$ sea uno de esos primos pequeños, limitando el número de enteros representables en la progresión a $O(\log x)$ , demostiendo así que una proporción positiva de enteros es omitida.
Construcción de Intervalos Anidados y Cobertura de Residuos (Teorema 1.3):
Para el problema de los libres de cuadrados, el artículo demuestra la existencia de una base real $a \in (2,3)$ tal que $\lfloor a^m \rfloor$ actúa como un complemento aditivo de los enteros libres de cuadrados con densidad uno.
- Cobertura de Residuos: La prueba construye un conjunto finito de desplazamientos módulo $Q_z = \prod_{p \le z} p^2$ que intersectan el conjunto de residuos libres de cuadrados $R_z$ con alta multiplicidad.
- Intervalos Anidados: Se utiliza un argumento constructivo (Lema 5.2) para realizar una secuencia contable de clases de congruencia como valores de $\lfloor a^m \rfloor$ para un único número real $a$ . Esto se logra definiendo una secuencia anidada de intervalos cerrados $I_0 \supset I_1 \supset \dots$ donde cada paso fija un exponente $m$ específico y un valor $t = \lfloor a^m \rfloor$ para satisfacer una congruencia requerida.
- Argumento de Densidad: La construcción asegura que para $x$ grande, los enteros "excepcionales" (aquellos no representables) están dominados por aquellos que no son libres de cuadrados módulo primos grandes, un conjunto de densidad cero.

Resultados Clave

Teorema 1.1 (Teorema Métrico de Primos): Para casi todo $y > 1$ de Lebesgue, el conjunto $S_y = \{p + \lfloor y^k \rfloor\}$ tiene una densidad asintótica inferior $\delta_y$ que satisface:
$\delta_y \ge \frac{1}{\log y + C_{sv} \zeta(2)/\zeta(4)}$
donde $C_{sv}$ es la constante absoluta de la criba de Selberg. Se muestra que el orden $1/\log y$ es óptimo cuando $y \to \infty$ .
Teorema 1.2 (Base Excepcional para Primos): Para la base específica $y = \phi = (1+\sqrt{5})/2$ , el conjunto de enteros no representables como $p + \lfloor \phi^k \rfloor$ tiene densidad inferior positiva. Específicamente:
$\#\{n \le x : n \notin P + \{\lfloor \phi^k \rfloor\}\} \ge \frac{x}{7845692610} - O(\log x)$
Teorema 1.3 (Complemento de Densidad Uno de Libres de Cuadrados): Existe un número real $a \in (2, 3)$ tal que el conjunto de enteros no representables como $q + \lfloor a^m \rfloor$ (donde $q$ es libre de cuadrados) tiene densidad cero:
$\#\{n \le x : n \notin Q + \{\lfloor a^m \rfloor\}\} = o(x)$
Este resultado se extiende en el Corolario 5.3 a enteros libres de $r$ para cualquier $r \ge 2$ .

Significado y Pretensiones
El artículo afirma resolver la conjetura de Erdős–Kalmár para casi todas las bases reales, proporcionando un límite inferior cuantitativo preciso que depende de la base $y$ . Clarifica el límite del fenómeno de Romanoff al mostrar que, si bien la densidad positiva es genérica, la cobertura total (densidad uno) no está garantizada para todas las bases reales, como demuestra el contraejemplo de la razón áurea.

Respecto al problema de los libres de cuadrados, el artículo no resuelve la conjetura de base fija ( $2^k + q$ ), sino que proporciona un "análogo de densidad uno" en el entorno de base variable. La importancia radica en demostrar que la flexibilidad de un parámetro real permite imponer condiciones de congruencia que no están disponibles para las bases fijas, superando así los obstáculos que hacen difícil el problema de base fija. El trabajo unifica la teoría de números métrica, los métodos de criba y los argumentos constructivos de cobertura para abordar problemas aditivos de larga data que involucran secuencias dispersas.

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