🔢 mathematics

Integer parts of real powers in two Erd\H{o}s problems of Romanoff type

Dit artikel lost twee Erdős-achtige additieve problemen op door een kwantitatieve metrische ondergrens te bewijzen voor de dichtheid van gehele getallen die representeerbaar zijn als een priemgetal plus een geheel deel van een reële macht, en een analoog met dichtheid één vast te stellen voor vrijwel vierkante gehele getallen plus een reële macht, terwijl het tegelijkertijd aantoont dat een positieve ondergrens van dichtheid voor uitzonderingen voortduurt voor specifieke bases zoals de gulden snede.

Oorspronkelijke auteurs: Yuchen Ding

Gepubliceerd 2026-07-21

📖 6 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Yuchen Ding

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een detective bent die probeert een enorme puzzel op te lossen met behulp van getallen. In de wereld van de wiskunde is er een beroemd spel genaamd "additieve gethheorie", waarbij het doel is om te zien of je elk getal kunt bouwen door twee specifieke soorten ingrediënten bij elkaar op te tellen. Eén ingrediënt is meestal een "priemgetal" (getallen zoals 2, 3, 5, 7 die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf) of een "vierkantvrij getal" (getallen die niet deelbaar zijn door een perfect kwadraat zoals 4, 9 of 16). Het andere ingrediënt is een "ijle sequentie", wat een lijst met getallen is die heel snel heel dun wordt, zoals machten van 2 (2, 4, 8, 16...).

Decennialang hebben wiskundigen zich afgevraagd: als je een priemgetal neemt en een getal uit deze dunne lijst optelt, kun je dan elk groot getal maken? Of, kun je tenminste bijna elk getal maken? Dit is als vragen of je een huis kunt bouwen met een specifiek type baksteen en een specifend type hout. Soms is het antwoord "ja, je kunt bijna elk huis bouteren," en soms is het antwoord "nee, er zijn bepaalde huisvormen die je simpelweg niet kunt bouwen." Het artikel dat je nu gaat lezen, duikt in deze vraag, maar met een twist: in plaats van hele getallen te gebruiken voor de dunne lijst, gebruikt de auteur de "gehele delen" van machten van reële getallen (zoals 1,5, 2,7, of de gulden snede). Het is also려 vragen of je huizen kunt bouwen met bakstenen die uit een continue stroom hout zijn gesneden in plaats van uit vooraf gezaagde planken.

Het Verhaal van Twee Puzzels

Dit artikel, geschreven door Yuchen Ding, pakt twee verschillende versies van deze "bouwstenen"-puzzel aan. De auteur probeert te achterhalen of we de hele getallenlijn (of in ieder geval het grootste deel ervan) kunnen dekken door priemgetallen of vierkantvrije getallen op te tellen bij deze speciale "reële macht"-sequenties.

Puzzel 1: De Priemgetallen en de "Bijna Altijd"-regel

Het eerste probleem vraagt: als je een willekeurig getal groter dan 1 kiest (laten we het $y$ noemen) en een lijst met getallen maakt door het gehele deel van $y^1, y^2, y^3$ , enzovoort te nemen, kun je deze dan bij priemgetallen optellen om bijna elk ander getal te krijgen?

De auteur bewijst hier een zeer sterk resultaat: Voor bijna elk getal dat je kiest, is het antwoord een luidruchtig "ja". Als je willekeurig een getal $y$ kiest, is het wiskundig gegarandeerd dat de verzameling getallen die je kunt bouwen (Priem + Geheel deel van $y^k$ ) een positieve lagere asymptotische dichtheid heeft. In gewone taal betekent dit dat je niet alleen een paar huizen zult kunnen bouwen; je zult een enorme, oneindige buurt van ze kunnen bouwen, wat ervoor zorgt dat je, hoe ver je ook kijkt, altijd een aanzienlijk deel van de getallen zult vinden dat je kunt construeren. Het artikel geeft zelfs een precieze formule voor de minimale grootte van dit deel, die laat zien dat hoe meer "uitgespreid" je machten zijn (hoe groter $y$ is), hoe minder getallen je kunt bouwen, maar je zult altijd een aanzienlijk deel bouwen.

Echter, het artikel onthult ook een fascinerende "uitzondering". Alleen omdat het werkt voor bijna elk getal, betekent het niet dat het voor elk getal werkt. De auteur construeert een specifiek, lastig voorbeeld met de Gulden Snede (dat beroemde getal $\phi \approx 1,618$ dat vaak in de natuur en kunst voorkomt). Wanneer je de Gulden Snede gebruikt, gedragen de "gehele delen" van de machten ervan zich op een zeer speciale, ritmische manier (ze zijn nauw verwant aan Lucas-getallen). De auteur bewijst dat als je dit specifieke getal gebruikt, er een positief aandeel aan gehele getallen is die simpelweg niet gebouwd kunnen worden. Het is als het vinden van een specifiek type hout dat, hoe je het ook probeert, een gat in je muur achterlaat dat je nooit kunt vullen. Dit is een concreet bewijs dat de "Gulden Snede" een "slechte actor" is in dit spel, die een permanente opening in de dekking achterlaat.

Puzzel 2: De Vierkantvrije Getallen en het "Magische Getal"

Het tweede probleem vervangt priemgetallen door "vierkantvrije getallen" (getallen die niet deelbaar zijn door 4, 9, 16, etc.). Een beroemde wiskundige genaamd Erdős vermoedde ooit dat als je machten van 2 bij vierkantvrije getallen optelt, je elk groot oneven getal kunt bouwen. Deze specifieke versie van de puzzel is nog steeds onopgelost en wordt als zeer moeilijk beschouwd.

In plaats van de moeilijke versie met machten van 2 op te lossen, vraagt de auteur een iets andere vraag: Kunnen we sommige reële getallen $a$ (tussen 2 en 3) vinden zodanig dat als we de machten daarvan gebruiken, we bijna elk positief geheel getal kunnen bouwen?

Het antwoord is ja. De auteur bewijst dat er ten minste één "magisch getal" $a$ bestaat in dat bereik. Door dit getal zorgvuldig te kiezen, laat de auteur zien dat de "gehele delen" van de machten ervan gedwongen kunnen worden om precies op de juiste plekken te landen om de gaten die de vierkantvrije getallen achterlaten op te vullen. Het is als het vinden van een geheime sleutel die, wanneer deze wordt omgedraaid, de mogelijkheid ontgrendelt om bijna elk huis in de stad te bouwen. Het artikel vertelt ons niet precies welk getal dit is (het bewijst dat het bestaat, maar schrijft het niet op als een eenvoudig decimaal getal), maar het bewijst dat een dergelijk getal daar is, wachtend om gevonden te worden.

Het Grote Plaatje

Samenvattend is dit artikel een meesterwerk van wiskundig detectivewerk. Het laat zien dat:

Over het algelijk werkt het: Als je een willekeurige basis voor je machten kiest, kun je bijna altijd een enorme verzameling getallen bouwen door ze op te tellen bij priemgetallen, wat een positieve lagere dichtheid garandeert.
Maar pas op voor de Gulden Snede: Er is één specifiek, beroemd getal waar het patroon breekt, waardoor er een permanente kloof ontstaat.
Een magische oplossing bestaat: Voor het vierkantvrije probleem, hoewel we de oorspronkelijke "machten van 2"-versie nog niet hebben opgelost, weten we dat er een "magisch" reëel getal is dat een zeer vergelijkbare, dichtheid-één versie van het probleem oplost.

De auteur gebruikt een mix van "metrische" argumenten (kijken naar wat er gemiddeld gebeurt voor willekeurige getallen) en "constructieve" argumenten (specifieke voorbeelden bouwen om gaten of oplossingen te bewijzen). De resultaten zijn geen gissingen of computersimulaties; het zijn rigoureuze wiskundige bewijzen. Het artikel bevestigt dat hoewel het universum van getallen uitgestrekt en soms verraderlijk is, er diepe, onderliggende regels zijn die ons in staat stellen bijna alles te dekken, mits we onze ingrediënten precies goed kiezen.

Technische Samenvatting: Gehele delen van reële machten in twee Erdős-problemen van Romanoff-type

Overzicht en Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt twee additieve problemen binnen het kader van de Erdős–Romanoff-zoektocht. Het centrale thema is de vervanging van rigide reeksen van gehele machten ( $a^k$ ) door de gehele delen van machten van een reëel grondtal ( $\lfloor y^k \rfloor$ ). Deze modificatie behoudt de logaritmische schaarste van de sommand terwijl een reële parameter wordt geïntroduceerd die zowel metrische (probabilistische) als constructieve benaderingen mogelijk maakt. Het artikel behandelt twee specifieke vragen:

Het priemgetalprobleem (Erdős–Kalmár): Heeft de verzameling $S_y = \{p + \lfloor y^k \rfloor : p \in \mathbb{P}, k \ge 1\}$ een positieve lagere asymptotische dichtheid voor elke reële $y > 1$ ?
Het kwadraatvrije probleem: Kan elk voldoende groot geheel getal worden weergegeven als de som van een kwadraatvrij geheel getal en een macht van twee ( $n = q + 2^k$ )? Hoewel de versie met een vast grondtal open blijft, zoekt het artikel naar een analoog met een variabel grondtal waarbij $2^k$ wordt vervangen door $\lfloor a^m \rfloor$ .

Methodologie
Het artikel hanteert drie verschillende methodologische benaderingen die overeenkomen met de drie hoofdtheorema's:

Metrische Getaltheorie en Tweede-moment-analyse (Theorema 1.1):
Om een positieve dichtheid voor bijna alle reële grondtallen vast te stellen, combineert de auteur een deterministische Romanoff tweede-moment-criterium met metrische schattingen.

Tweede-moment-criterium: Een kwantitatieve lemma (Lemma 3.1) wordt afgeleid, die de lagere dichtheid van $P+A$ koppelt aan de telfunctie van $A$ en de gewogen paarcorrelaties van verschillen in $A$ . Het gewicht $W(h) = \prod_{p|h}(1+1/p)$ houdt rekening met de verdeling van priemgetallen in rekenkundige progressies via de Selberg-siever.
Metrische Controle: De kern van de technische bijdrage is het bewijzen dat voor bijna alle $y$ , de reeks $\lfloor y^k \rfloor$ voldoet aan de noodzakelijke paarcorrelatie-schattingen. Dit omvat het analyseren van de verdeling van $\lfloor y^k \rfloor \pmod d$ . Het bewijs maakt gebruik van de Erdős–Turán-ongelijkheid en schattingen van exponentiële sommen $\sum e(h y^k / d)$ . Door de delers te scheiden in "kleine" (behandeld via equidistributie-argumenten) en "grote" (behandeld via afgeleide-schattingen van $y^\ell - y^k$ ), laat de auteur zien dat de gewogen paarcorrelaties overeenkomen met de verwachting van het willekeurige model $\zeta(2)/2\zeta(4)$ voor bijna alle $y$ .

Dekking van Congruenties en Lucas-getallen (Theorema 1.2):
Om aan te tonen dat een dekking met dichtheid één niet gegarandeerd is, zelfs niet in de setting met een reëel grondtal, construeert de auteur een "uitzonderlijk grondtal".

Verbinding met de Gulden Snede: De auteur maakt gebruik van de identiteit tussen $\lfloor \phi^k \rfloor$ (waarbij $\phi$ de gulden snede is) en Lucas-getallen ( $L_k$ ). Specifiek is $\lfloor \phi^k \rfloor$ gelijk aan $L_k$ of $L_k - 1$ , afhankelijk van de pariteit van $k$ .
Eindige Dekking: Een eindige verzameling congruenties wordt geconstrueerd om alle exponenten $k$ te dekken. Door een specifieke rekenkundige progressie voor de doelgetallen $n$ te kiezen, zorgt de auteur ervoor dat voor elke representatie $n = p + \lfloor \phi^k \rfloor$ , het priemgetal $p$ deelbaar moet zijn door een van een eindige verzameling kleine priemgetallen. Dit dwingt $p$ om een van die kleine priemgetallen te zijn, waardoor het aantal weergegeven gehele getallen in de progressie beperkt wordt tot $O(\log x)$ , waarmee wordt bewezen dat een positie deel van de gehele getallen wordt gemist.

Geneste Intervallen Constructie en Residu-dekking (Theorema 1.3):
Voor het kwadraatvrije probleem bewijst het artikel het bestaan van een reëel grondtal $a \in (2,3)$ zodanig dat $\lfloor a^m \rfloor$ fungeert als een additief complement voor de kwadraatvrije getallen met dichtheid één.

Residu-dekking: Het bewijs construeert een eindige verzameling verschuivingen modulo $Q_z = \prod_{p \le z} p^2$ die de verzameling van kwadraatvrije residuen $R_z$ met een hoge multipliciteit snijden.
Geneste Intervallen: Een constructief argument (Lemma 5.2) wordt gebruikt om een aftelbare reeks voorgeschreven congruentieklassen te realiseren als waarden van $\lfloor a^m \rfloor$ voor een enkel reëel getal $a$ . Dit wordt bereikt door een geneste reeks gesloten intervallen $I_0 \supset I_1 \supset \dots$ te definiëren waarbij elke stap een specifieke exponent $m$ en waarde $t = \lfloor a^m \rfloor$ vastlegt om aan een vereiste congruentie te voldoen.
Dichtheidsargument: De constructie zorgt ervoor dat voor grote $x$ , de "uitzonderlijke" gehele getallen (die niet weergegeven kunnen worden) gedomineerd worden door diegenen die niet kwadraatvrij zijn modulo grote priemgetallen, een verzameling van dichtheid nul.

Belangrijkste Resultaten

Theorema 1.1 (Metrisch Priemtheorema): Voor Lebesgue-bijna alle $y > 1$ , heeft de verzameling $S_y = \{p + \lfloor y^k \rfloor\}$ een lagere asymptotische dichtheid $\delta_y$ die voldoet aan:
$\delta_y \ge \frac{1}{\log y + C_{sv} \zeta(2)/\zeta(4)}$
waarbij $C_{sv}$ de absolute Selberg-siever-constante is. De orde $1/\log y$ wordt getoond als optimaal wanneer $y \to \infty$ .
Theorema 1.2 (Uitzonderlijk Grondtal voor Priemgetallen): Voor het specifieke grondtal $y = \phi = (1+\sqrt{5})/2$ , heeft de verzameling gehele getallen die niet weergegeven kunnen worden als $p + \lfloor \phi^k \rfloor$ een positieve lagere dichtheid. Specifiek:
$\#\{n \le x : n \notin P + \{\lfloor \phi^k \rfloor\}\} \ge \frac{x}{7845692610} - O(\log x)$
Theorema 1.3 (Kwadraatvrije Dichtheid-één Complement): Er bestaat een reëel getal $a \in (2, 3)$ zodanig dat de verzameling gehele getallen die niet weergegeven kunnen worden als $q + \lfloor a^m \rfloor$ (waarbij $q$ kwadraatvrij is) een dichtheid nul heeft:
$\#\{n \le x : n \notin Q + \{\lfloor a^m \rfloor\}\} = o(x)$
Dit resultaat wordt uitgebreid in Corollary 5.3 naar $r$ -vrije gehele getallen voor elke $r \ge 2$ .

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de Erdős–Kalmár-conjectuur voor bijna alle reële grondtallen te hebben opgelost, waarbij een precieze kwantitatieve ondergrens wordt gegeven die afhangt van het grondtal $y$ . Het verheldert de grens van het Romanoff-fenomeen door aan te tonen dat hoewel positieve dichtheid generiek is, volledige dekking (dichtheid één) niet gegarandeerd is voor alle reële grondtallen, zoals het tegenvoorbeeld van de gulden snede aantoont.

Wat betreft het kwadraatvrije probleem lost het artikel niet het vaste-grondtal-conjectuur ( $2^k + q$ ) op, maar biedt het een "dichtheid-één analoog" in de setting met een variabel grondtal. De betekenis ligt in het feit dat de flexibiliteit van een reële parameter het mogelijk maakt om congruentievoorwaarden op te leggen die niet beschikbaar zijn voor vaste grondtallen, waardoor de obstructies die het vaste-grondtal probleem moeilijk maken, worden overwonnen. Het werk verenigt metrische getaltheorie, siever-methoden en constructieve dekking-argumenten om langlopende additieve problemen met betrekking tot ijle reeksen aan te pakken.

Meer zoals dit