🔢 mathematics

Integer parts of real powers in two Erd\H{o}s problems of Romanoff type

Cet article résout deux problèmes additifs de type Erdős en prouvant une borne inférieure métrique quantitative pour la densité des entiers représentables comme une somme d'un nombre premier et de la partie entière d'une puissance réelle, et en établissant un analogue de densité un pour les entiers sans facteur carré plus une puissance réelle, tout en démontrant qu'une densité inférieure positive d'exceptions persiste pour des bases spécifiques comme le nombre d'or.

Auteurs originaux : Yuchen Ding

Publié 2026-07-21

📖 6 min de lecture🧠 Analyse approfondie

CC BY 4.0

Auteurs originaux : Yuchen Ding

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous êtes un détective essayant de résoudre un puzzle massif impliquant des nombres. Dans le monde des mathématiques, il existe un jeu célèbre appelé « théorie additive des nombres », où l'objectif est de voir si l'on peut construire chaque nombre en additionnant deux types d'ingrédients spécifiques. L'un de ces ingrédients est généralement un « nombre premier » (des nombres comme 2, 3, 5, 7 qui ne peuvent être divisés que par 1 et eux-mêmes) ou un « nombre sans carré » (des nombres qui ne sont pas divisibles par aucun carré parfait comme 4, 9 ou 16). L'autre ingrédient est une « suite creuse », c'est-à-dire une liste de nombres qui s'amincit très rapidement, comme les puissances de 2 (2, 4, 8, 16...).

La question est de savoir : si vous prenez un nombre premier et que vous ajoutez un nombre de cette liste mince, pouvez-vous construire presque tous les nombres ? C'est comme demander si vous pouvez construire une maison en utilisant un type spécifique de brique et un type spécifique de bois. Parfois, la réponse est « oui, vous pouvez construire presque n'importe quelle maison », et parfois la réponse est « non, il existe certaines formes de maisons que vous ne pouvez tout simplement pas construire ». Le document que vous allez lire plonge dans cette question, mais avec une nuance : au lieu d'utiliser des nombres entiers pour la liste mince, l'auteur utilise les « parties entières » de puissances de nombres réels (comme 1,5, 2,7, ou le nombre d'or). C'est comme demander si nous pouvons construire des maisons en utilisant des briques découpées à partir d'un flux continu de bois plutôt qu'à partir de planches pré-découpées.

L'histoire de deux puzzles

Ce document, écrit par Yuchen Ding, s'attaque à deux versions différentes de ce puzzle des « blocs de construction ». L'auteur cherche à savoir si nous pouvons couvrir l'ensemble de la droite numérique (ou du moins la majeure partie d'elle) en ajoutant des nombres premiers ou des nombres sans carré à ces séquences spéciales de « puissances réelles ».

Puzzle 1 : Les nombres premiers et la règle du « presque toujours »

Le premier problème demande : si vous choisissez un nombre aléatoire supérieur à 1 (appelons-le $y$ ) et que vous créez une liste de nombres en prenant la partie entière de $y^1, y^2, y^3$ , et ainsi de suite, pouvez-vous ajouter ces nombres à des nombres premiers pour obtenir presque tous les autres nombres ?

L'auteur prouve un résultat très fort ici : pour presque tout nombre choisi, la réponse est un « oui » retentissant. Si vous choisissez un nombre $y$ au hasard, il est mathématiquement garanti que l'ensemble des nombres que vous pouvez construire (Premier + Partie entière de $y^k$ ) possède une densité asymptotique inférieure positive. En langage courant, cela signifie que vous ne pourrez pas seulement construire quelques maisons ; vous pourrez construire un quartier massif et infini, garantissant que peu importe l'endroit où vous regardez, vous trouverez toujours une part significative de nombres que vous pouvez construire. Le document donne même une formule précise pour la taille minimale de cette part, montrant que plus vos puissances sont « dispersées » (plus $y$ est grand), moins vous pouvez construire de nombres, mais que vous construirez toujours une portion significative.

Cependant, le document révèle également une « exception » fascinante. Le fait que cela fonctionne pour presque tout nombre ne signifie pas que cela fonctionne pour chaque nombre. L'auteur construit un exemple spécifique et complexe utilisant le Nombre d'Or (ce fameux nombre $\phi \approx 1,618$ que l'on trouve souvent dans la nature et l'art). Lorsque vous utilisez le Nombre d'Or, les « parties entières » de ses puissances se comportent d'une manière très spéciale, rythmée (elles sont étroitement liées aux nombres de Lucas). L'auteur prouve que si vous utilisez ce nombre spécifique, il existe une proportion positive d'entiers qui ne peuvent tout simplement pas être construits. C'est comme trouver un type de bois spécifique qui, peu importe la façon dont vous l'utilisez, laisse une lacune dans votre mur que vous ne pourrez jamais combler. C'est une preuve concrète que le « Nombre d'Or » est un « mauvais acteur » dans ce jeu, laissant un trou permanent dans la couverture.

Puzzle 2 : Les nombres sans carré et le « nombre magique »

Le second problème remplace les nombres premiers par des « nombres sans carré » (des nombres non divisibles par 4, 9, 16, etc.). Un mathématicien célèbre nommé Erdős avait supposé que si l'on ajoutait des puissances de 2 aux nombres sans carré, on pourrait construire tous les grands nombres impairs. Cette version spécifique du puzzle est toujours non résolue et considérée comme très difficile.

Au lieu de résoudre la version difficile avec les puissances de 2, l'auteur pose une question légèrement différente : pouvons-nous trouver un nombre réel $a$ (compris entre 2 et 3) tel que si nous utilisons ses puissances, nous puissions construire presque tous les entiers positifs ?

La réponse est oui. L'auteur prouve qu'il existe au moins un « nombre magique » $a$ dans cet intervalle. En choisissant soigneusement ce nombre, l'auteur montre que les « parties entières » de ses puissances peuvent être forcées de tomber exactement aux bons endroits pour combler les lacunes laissées par les nombres sans carré. C'est comme trouver une clé secrète qui, lorsqu'elle est tournée, permet de construire presque toutes les maisons de la ville. Le document ne nous dit pas exactement quel est ce nombre (il prouve qu'il existe mais ne l'écrit pas sous la forme d'un simple nombre décimal), mais il prouve qu'un tel nombre existe et attend d'être trouvé.

La vue d'ensemble

En résumé, ce document est un coup de maître de travail de détective mathématique. Il montre que :

Généralement, cela fonctionne : Si vous choisissez une base aléatoire pour vos puissances, vous pouvez presque toujours construire une vaste collection de nombres en les ajoutant aux nombres premiers, garantissant une densité inférieure positive.
Mais attention au Nombre d'Or : Il existe un nombre célèbre spécifique où le motif se brise, laissant un vide permanent.
Une solution magique existe : Pour le problème des nombres sans carré, bien que nous ne puissions pas encore résoudre la version originale des « puissances de 2 », nous savons qu'il existe un nombre réel « magique » qui résout une version similaire du problème avec une densité égale à un.

L'auteur utilise un mélange d'arguments « métriques » (observant ce qui se passe en moyenne pour des nombres aléatoires) et d'arguments « constructifs » (construisant des exemples spécifiques pour prouver des lacunes ou des solutions). Ces résultats ne sont pas des suppositions ou des simulations informatiques ; ce sont des preuves mathématiques rigoureuses. Le document confirme que, bien que l'univers des nombres soit vaste et parfois complexe, il existe des règles sous-jacentes profondes qui nous permettent de presque tout couvrir, à condition de choisir nos ingrédients avec précision.

Résumé technique : Parties entières de puissances réelles dans deux problèmes d'Erdős de type Romanoff

Vue d'ensemble et énoncé du problème
Cet article étudie deux problèmes additifs s'inscrivant dans le cadre de la lignée de recherche d'Erdős–Romanoff. Le thème central est le remplacement des séquences rigides de puissances entières ( $a^k$ ) par les parties entières de puissances d'une base réelle ( $\lfloor y^k \rfloor$ ). Cette modification préserve la rareté logarithmique du terme additif tout en introduisant un paramètre réel qui permet des approches à la fois métriques (probabilistes) et constructives. L'article traite de deux questions spécifiques :

Le problème des nombres premiers (Erdős–Kalmár) : L'ensemble $S_y = \{p + \lfloor y^k \rfloor : p \in \mathbb{P}, k \ge 1\}$ possède-t-il une densité asymptotique inférieure positive pour tout réel $y > 1$ ?
Le problème des nombres sans carré parfait : Tout entier suffisamment grand peut-il être représenté comme la somme d'un entier sans carré parfait et d'une puissance de deux ( $n = q + 2^k$ ) ? Alors que la version à base fixe demeure ouverte, l'article cherche un analogue à base variable où $2^k$ est remplacé par $\lfloor a^m \rfloor$ .

Méthodologie
L'article emploie trois approches méthodologiques distinctes correspondant à ses trois principaux théorèmes :

Théorie métrique des nombres et analyse du second moment (Théorème 1.1) :
Pour établir une densité positive pour presque toutes les bases réelles, l'auteur combine un critère déterministe du second moment de Romanoff avec des estimations métriques.

Critère du second moment : Un lemme quantitatif (Lemme 3.1) est dérivé, liant la densité inférieure de $P+A$ à la fonction de comptage de $A$ et aux corrélations de paires pondérées des différences dans $A$ . Le poids $W(h) = \prod_{p|h}(1+1/p)$ rend compte de la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques via le crible de Selberg.
Contrôle métrique : La contribution technique centrale consiste à prouver que pour presque tout $y$ , la séquence $\lfloor y^k \rfloor$ satisfait les estimations de corrélation de paires nécessaires. Cela implique l'analyse de la distribution de $\lfloor y^k \rfloor \pmod d$ . La preuve utilise l'inégalité d'Erdős–Turán et des estimations de sommes exponentielles $\sum e(h y^k / d)$ . En séparant les diviseurs en « petits » (traités par des arguments d'équidistribution) et « grands » (traités par des estimations de dérivées de $y^\ell - y^k$ ), l'auteur montre que les corrélations de paires pondérées correspondent à l'attente du modèle aléatoire $\zeta(2)/2\zeta(4)$ pour presque tout $y$ .

Congruences de recouvrement et nombres de Lucas (Théorème 1.2) :
Pour démontrer que le recouvrement de densité un n'est pas garanti, même dans le cadre de la base réelle, l'article construit une « base exceptionnelle ».

Connexion avec le nombre d'or : L'auteur exploite l'identité entre $\lfloor \phi^k \rfloor$ (où $\phi$ est le nombre d'or) et les nombres de Lucas ( $L_k$ ). Plus précisément, $\lfloor \phi^k \rfloor$ est égal à $L_k$ ou $L_k - 1$ selon la parité de $k$ .
Recouvrement fini : Un ensemble fini de congruences est construit pour couvrir tous les exposants $k$ . En sélectionnant une progression arithmétique spécifique pour les entiers cibles $n$ , l'auteur garantit que pour toute représentation $n = p + \lfloor \phi^k \rfloor$ , le nombre premier $p$ doit être divisible par l'un des petits nombres premiers de l'ensemble. Cela limite le nombre d'entiers représentables dans la progression à $O(\log x)$ , prouvant ainsi qu'une proportion positive d'entiers est omise.

Construction par intervalles emboîtés et recouvrement de résidus (Théorème 1.3) :
Pour le problème des nombres sans carré parfait, l'article prouve l'existence d'une base réelle $a \in (2,3)$ telle que $\lfloor a^m \rfloor$ agisse comme un complément additif des nombres sans carré parfait de densité un.

Recouvrement de résidus : La preuve construit un ensemble fini de décalages modulo $Q_z = \prod_{p \le z} p^2$ qui intersectent l'ensemble des résidus sans carré parfait $R_z$ avec une multiplicité élevée.
Intervalles emboîtés : Un argument constructif (Lemme 5.2) est utilisé pour réaliser une séquence dénombrable de classes de congruence prescrites comme étant des valeurs de $\lfloor a^m \rfloor$ pour un nombre réel $a$ unique. Ceci est réalisé en définissant une séquence emboîtée d'intervalles fermés $I_0 \supset I_1 \supset \dots$ où chaque étape fixe un exposant $m$ et une valeur $t = \lfloor a^m \rfloor$ pour satisfaire une congruence requise.
Argument de densité : La construction garantit que pour $x$ grand, les entiers « exceptionnels » (ceux qui ne sont pas représentables) sont dominés par ceux qui ne sont pas sans carré modulo de grands nombres premiers, un ensemble de densité zéro.

Résultats clés

Théorème 1.1 (Théorème premier métrique) : Pour presque tout $y > 1$ au sens de la mesure de Lebesgue, l'ensemble $S_y = \{p + \lfloor y^k \rfloor\}$ possède une densité asymptotique inférieure $\delta_y$ satisfaisant :
$\delta_y \ge \frac{1}{\log y + C_{sv} \zeta(2)/\zeta(4)}$
où $C_{sv}$ est la constante absolue du crible de Selberg. L'ordre en $1/\log y$ est montré comme étant optimal quand $y \to \infty$ .
Théorème 1.2 (Base exceptionnelle pour les nombres premiers) : Pour la base spécifique $y = \phi = (1+\sqrt{5})/2$ , l'ensemble des entiers non représentables comme $p + \lfloor \phi^k \rfloor$ possède une densité inférieure positive. Spécifiquement :
$\#\{n \le x : n \notin P + \{\lfloor \phi^k \rfloor\}\} \ge \frac{x}{7845692610} - O(\log x)$
Théorème 1.3 (Complément de densité un pour les nombres sans carré parfait) : Il existe un nombre réel $a \in (2, 3)$ tel que l'ensemble des entiers non représentables comme $q + \lfloor a^m \rfloor$ (où $q$ est sans carré parfait) a une densité nulle :
$\#\{n \le x : n \notin Q + \{\lfloor a^m \rfloor\}\} = o(x)$
Ce résultat est étendu dans le Corollaire 5.3 aux entiers sans $r$ -ième puissance pour tout $r \ge 2$ .

Signification et affirmations
L'article prétend résoudre la conjecture d'Erdős–Kalmár pour presque toutes les bases réelles, en fournissant une borne inférieure quantitative précise qui dépend de la base $y$ . Il clarifie la limite du phénomène de Romanoff en montrant que, bien que la densité positive soit générique, le recouvrement complet (densité un) n'est pas garanti pour toutes les bases réelles, comme le démontre le contre-exemple du nombre d'or.

Concernant le problème des nombres sans carré parfait, l'article ne résout pas la conjecture à base fixe ( $2^k + q$ ) mais fournit un « analogue de densité un » dans le cadre de la base variable. La signification réside dans le fait que la flexibilité d'un paramètre réel permet d'imposer des conditions de congruence indisponibles pour les bases fixes, contournant ainsi les obstructions qui rendent difficile le problème à base fixe. Le travail unifie la théorie métrique des nombres, les méthodes de crible et les arguments de recouvrement constructifs pour aborder des problèmes additifs de longue date impliquant des séquences creuses.

Articles similaires