Brauer group of moduli of parabolic symplectic bundles

Resumen Técnico: Grupo de Brauer de los Móduli de Pares de Bundles Simplécticos Parabólicos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el cálculo del grupo de Brauer cohomológico, denotado como $Br(Y) \cong H^2_{\text{ét}}(Y, \mathbb{G}_m)_{\text{tor}}$, para el lóbulo suave del espacio de módulos de bundles simplécticos parabólicos estables. Sea $X$ una curva proyectiva compleja conexa y suave de género $g \geq 3$. Los autores fijan un rango par $r \geq 2$, un conjunto finito de puntos parabólicos $D \subset X$, y un bundle de línea $L$ sobre $X$. Los objetos de estudio son los bundles simplécticos parabólicos $(E_*, \phi_*, L(D))$, donde la forma simpléctica toma valores en $L(D)$ (equipado con una estructura parabólica especial), y los datos parabólicos en $D$ satisfacen condiciones de simetría específicas sobre las multiplicidades y los pesos. El objetivo es determinar el grupo de Brauer del lóbulo suave del espacio de módulos, denotado como $(M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}$, tanto para sistemas de pesos concentrados como para sistemas genéricos arbitrarios.

Metodología y Configuración
Los autores emplean una combinación de teoría de invariantes geométricos (GIT), la teoría de sheaves filtradas y técnicas de cruce de muros (wall-crossing).

1. Estructuras Simplécticas Parabólicas: El artículo utiliza el marco de los bundles vectoriales parabólicos como sheaves filtradas (siguiendo a Maruyama y Yokogaya) para definir bundles simplécticos parabólicos. Una configuración clave involucra un sistema de multiplicidades $m$ y pesos $\alpha$ que son "de tipo simétrico". Esta simetría requiere que para cada punto parabólico $p$, las multiplicidades satisfagan $m_{p,j} = m_{p, \ell(p)+1-j}$ y los pesos satisfagan $\alpha_{p,j} = 1 - \alpha_{p, \ell(p)+1-j}$. Bajo estas condiciones, una forma simpléctica parabólica $\phi_*$ induce una forma simpléctica no degenerada $\phi$ en el bundle vectorial subyacente $E$ que toma valores en $L$.

2. Reducción a Pesos Concentrados: La estrategia de la prueba comienza con el caso donde el sistema de pesos $\alpha$ es "concentrado" (Definición 3.7), lo que significa que los pesos están suficientemente cerca de $1/2$ como para que se cumplan ciertas desigualdades. En este régimen, el Lema 3.8 establece una correspondencia entre la estabilidad simpléctica parabólica y la estabilidad simpléctica estándar. Esto permite la construcción de un morfismo $\pi_0$ desde el espacio de módulos parabólico $M^{m,\alpha}_{L(D)}$ hacia el espacio de módulos $M_L$ de bundles simplécticos semiestables (bundles de $Sp(r, \mathbb{C})$ torcidos).

3. Fibración y Sucesiones Espectrales: Para los pesos concentrados, se muestra que la aplicación $\pi$ restringida al lóbulo estable es un fibrado con fibras isomorfas a un producto de variedades de banderas $\prod Sp(r, \mathbb{C})/P_i$. Los autores utilizan la sucesión espectral de Leray para la sheaf $\mathbb{G}_m$ asociada a esta fibración. Esto produce una sucesión exacta de 5 términos que relaciona los grupos de Picard de las fibras, el grupo de Brauer de la base (el de los módulos de bundles simplécticos) y el grupo de Brauer del espacio total.

4. Cruce de Muros para Pesos Genéricos: Para extender el resultado de los pesos concentrados a pesos genéricos arbitrarios, los autores invocan los principios de la variación de GIT (Teoría de Invariantes Geométricos), refiriéndose específicamente al trabajo de Thaddeus sobre el cruce de muros. Demuestran que el cruce de un solo muro en el cono amplitud de los pesos induce un isomorfismo entre los lóbulos suaves de los espacios de módulos hasta subconjuntos de codimensión al menos 2. Dado que el grupo de Brauer es invariante bajo la eliminación de subconjuntos de codimensión $\geq 2$, el grupo de Brauer permanece invariante a través de las cámaras de pesos genéricos.

Contribuciones Clave y Resultados
La contribución principal es el cálculo explícito del grupo de Brauer para el lóbulo suave del espacio de módulos de bundles simplécticos parabólicos bajo condiciones de peso simétrico. El resultado principal, Teorema 1.1 (detallado en el Teorema 4.3 y el Corolario 4.6), establece:

Sea $M^{m,\alpha}_{L(D)}$ el espacio de módulos con multiplicidades $m$ y pesos $\alpha$ simétricos. El grupo de Brauer de su lóbulo suave es:

1. Si $\deg(L)$ es par:
   $$Br((M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}) \simeq \mathbb{Z} / \gcd(2, m_{p_1,1}, \dots, m_{p_n, \ell(p_n)})\mathbb{Z}$$

2. Si $\deg(L)$ es impar:
   $$Br((M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } r/2 \geq 3 \text{ es impar}, \\ \mathbb{Z} / \gcd(2, m_{p_1,1}, \dots, m_{p_n, \ell(p_n)})\mathbb{Z} & \text{si } r/2 \geq 3 \text{ es par}. \end{cases}$$

Los autores señalan que el generador del grupo de Brauer en los casos no triviales está relacionado con la clase del bundle de Poincaré proyectivo restringido a un punto de la curva, de forma análoga a los resultados para los módulos de bundles simplécticos sin estructura parabólica (citando a [BHl]).

Significancia y Alcance
El artículo afirma generalizar los resultados previos sobre el grupo de Brauer de los espacios de módulos de bundles simplécticos (específicamente el trabajo de [BHl]) al entorno parabólico. La significancia radica en:

• Establecer la relación entre la estabilidad simpléctica parabólica y la estabilidad simpléctica estándar bajo condiciones de peso simétrico.
• Proporcionar un cálculo completo del grupo de Brauer para estos espacios de módulos, mostrando que depende de la paridad del grado del bundle de línea $L$, el rango $r$ y el máximo común divisor de 2 y las multiplicidades parabólicas.
• Demostrar la invariancia del grupo de Brauer bajo la variación de pesos dentro del cono amplitud, siempre que los pesos permanezcan genéricos.

Los autores restringen explícitamente sus resultados al caso donde el sistema de pesos y multiplicidades es de "tipo simétrico" y no contiene 0. No pretenden obtener resultados para pesos no simétricos o para el lóbulo singular del espacio de módulos. El trabajo depende fuertemente de la naturaleza simplemente conexa del grupo simpléctico $Sp(r, \mathbb{C})$ y de la estructura conocida del grupo de Brauer para el espacio de módulos simpléctico subyacente.