Brauer group of moduli of parabolic symplectic bundles

Resumo Técnico: Grupo de Brauer de Móduli de Feixes Simpléticos Parabólicos

Enunciado do Problema
O artigo aborda o cálculo do grupo de Brauer cohomológico, denotado por $Br(Y) \cong H^2_{\text{ét}}(Y, \mathbb{G}_m)_{\text{tor}}$, para o locus suave do espaço de módulos de feixes simpléticos parabólicos estáveis. Seja $X$ uma curva projetiva complexa suave e conexa de gênero $g \geq 3$. Os autores fixam um posto par $r \geq 2$, um conjunto finito de pontos parabólicos $D \subset X$, e um feixe de linha $L$ em $X$. Os objetos de estudo são feixes simpléticos parabólicos $(E_*, \phi_*, L(D))$, onde a forma simplética toma valores em $L(D)$ (equipado de uma estrutura parabólica especial), e os dados parabólicos em $D$ satisfazem condições de simetria específicas sobre as multiplicidades e pesos. O objetivo é determinar o grupo de Brauer do locus suave do espaço de módulos, denotado por $(M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}$, tanto para sistemas de pesos concentrados quanto para sistemas genéricos arbitrários.

Metodologia e Configuração
Os autores empregam uma combinação de teoria de invariantes geométricos (GIT), a teoria de feixes filtrados e técnicas de wall-crossing.

1. Estruturas Simpléticas Parabólicas: O artigo utiliza o arcabouço de feixes vetoriais parabólicos como feixes filtrados (seguindo Maruyama e Yokogaya) para definir feixes simpléticos parabólicos. Uma configuração chave envolve um sistema de multiplicidades $m$ e pesos $\alpha$ que são "de tipo simétrico". Esta simetria exige que, para cada ponto parabólico $p$, as multiplicidades satisfaçam $m_{p,j} = m_{p, \ell(p)+1-j}$ e os pesos satisfaçam $\alpha_{p,j} = 1 - \alpha_{p, \ell(p)+1-j}$. Sob estas condições, uma forma simplética parabólica $\phi_*$ induz uma forma simplética não degenerada $\phi$ no feixe vetorial subjacente $E$ tomando valores em $L$.

2. Redução a Pesos Concentrados: A estratégia de prova começa com o caso onde o sistema de pesos $\alpha$ é "concentrado" (Definição 3.7), o que significa que os pesos estão suficientemente próximos de $1/2$ para que desigualdades específicas se mantenham. Neste regime, o Lema 3.8 estabelece uma correspondência entre a estabilidade simplética parabólica e a estabilidade simplética padrão. Isso permite a construção de um morfismo $\pi_0$ do espaço de módulos parabólico $M^{m,\alpha}_{L(D)}$ para o espaço de módulos $M_L$ de feixes simpléticos semiestáveis (feixes $Sp(r, \mathbb{C})$-torcidos).

3. Fibragem e Sequências Espectrais: Para pesos concentrados, a aplicação $\pi$ restrita ao locus estável é mostrada como uma fibragem com fibras isomórficas a um produto de variedades de bandeiras $\prod Sp(r, \mathbb{C})/P_i$. Os autores utilizam a sequência espectral de Leray para o feixe $\mathbb{G}_m$ associado a esta fibragem. Isso resulta em uma sequência exata de 5 termos relacionando os grupos de Picard das fibras, o grupo de Brauer da base (o módulo de feixes simpléticos) e o grupo de Brauer do espaço total.

4. Wall-Crossing para Pesos Genéricos: Para estender o resultado dos pesos concentrados para pesos genéricos arbitrários, os autores invocam os princípios de variação de GIT (Teoria de Invariantes Geométricos), especificamente referenciando o trabalho de Thaddeus sobre wall-crossing. Eles demonstram que cruzar uma única parede no cone amplo de pesos induz um isomorfismo entre os loci suaves dos espaços de módulos até subconjuntos de codimensão pelo menos 2. Como o grupo de Brauer é invariante sob a remoção de subconjuntos de codimensão $\geq 2$, o grupo de Brauer permanece invariante através das câmaras de pesos genéricos.

Principais Contribuições e Resultados
A principal contribuição é o cálculo explícito do grupo de Brauer para o locus suave do espaço de módulos de feixes simpléticos parabólicos sob condições de peso simétricas. O resultado principal, Teorema 1.1 (detalhado no Teorema 4.3 e Corolário 4.6), afirma:

Seja $M^{m,\alpha}_{L(D)}$ o módulo com multiplicidades $m$ e pesos $\alpha$ simétricos. O grupo de Brauer de seu locus suave é:

1. Se $\deg(L)$ é par:
   $$Br((M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}) \simeq \mathbb{Z} / \gcd(2, m_{p_1,1}, \dots, m_{p_n, \ell(p_n)})\mathbb{Z}$$

2. Se $\deg(L)$ é ímpar:
   $$Br((M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{se } r/2 \geq 3 \text{ é ímpar}, \\ \mathbb{Z} / \gcd(2, m_{p_1,1}, \dots, m_{p_n, \ell(p_n)})\mathbb{Z} & \text{se } r/2 \geq 3 \text{ é par}. \end{cases}$$

Os autores observam que o gerador do grupo de Brauer nos casos não triviais está relacionado à classe de um feixe de Poincaré projetivo restrito a um ponto na curva, analogamente aos resultados para o módulo de feixes simpléticos sem estrutura parabólica (citando [BHl]).

Significância e Escopo
O artigo afirma generalizar resultados anteriores sobre o grupo de Brauer de espaços de módulos de feixes simpléticos (especificamente o trabalho de [BHl]) para o cenário parabólico. A significância reside em:

• Estabelecer a relação entre a estabilidade simplética parabólica e a estabilidade simplética padrão sob condições de peso simétrico.
• Fornecer um cálculo completo do grupo de Brauer para estes espaços de módulos, mostrando que ele depende da paridade do grau do feixe de linha $L$, do posto $r$ e do máximo divisor comum de 2 e das multiplicidades parabólicas.
• Demonstrar a invariância do grupo de Brauer sob a variação de pesos dentro do cone amplo, desde que os pesos permaneçam genéricos.

Os autores restringem explicitamente seus resultados ao caso em que o sistema de pesos e multiplicidades é de "tipo simétrico" e não contém 0. Eles não pretendem apresentar resultados para pesos não simétricos ou para o locus singular do espaço de módulos. O trabalho depende fortemente da natureza simplesmente conexa do grupo simplético $Sp(r, \mathbb{C})$ e da estrutura conhecida do grupo de Brauer para o espaço de módulos simplético subjacente.