Brauer group of moduli of parabolic symplectic bundles

Technische Samenvatting: Brauer-groep van Moduli van Parabolische Symplectische Bundels

Probleemstelling
Het artikel behandelt de berekening van de cohomologische Brauer-groep, aangeduid als $Br(Y) \cong H^2_{\text{ét}}(Y, \mathbb{G}_m)_{\text{tor}}$, voor de gladde locus van de moduli-ruimte van parabolische symplectische stabiele bundels. Laat $X$ een glad verbonden complexe projectieve curve zijn van genus $g \geq 3$. De auteurs fixeren een even rang $r \geq 2$, een eindige verzameling parabolische punten $D \subset X$, en een lijnbundel $L$ op $X$. De objecten die worden bestudeerd zijn parabolische symplectische bundels $(E_*, \phi_*, L(D))$, waarbij de symplectische vorm waarden heeft in $L(D)$ (uitgerust met een speciale parabolische structuur), en de parabolische data bij $D$ voldoet aan specifieke symmetrievoorwaarden op veelvouden en gewichten. Het doel is om de Brauer-groep van de gladde locus van de moduli-ruimte te bepalen, genoteerd als $(M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}$, voor zowel geconcentreerde als willekeurige generieke gewichtssystemen.

Methodologie en Opzet
De auteurs maken gebruik van een combinatie van geometrische invariantietheorie (GIT), de theorie van gefilterde sheaves en wall-crossing technieken.

1. Parabolische Symplectische Structuren: Het artikel maakt gebruik van het kader van parabolische vectorbundels als gefilterde sheaves (volgens Maruyama en Yokogaya) om parabolische symplectische bundels te definiëren. Een sleutelopzet betreft een systeem van veelvouden $m$ en gewichten $\alpha$ die "van symmetrisch type" zijn. Deze symmetrie vereist dat voor elk parabolisch punt $p$ de veelvouden voldoen aan $m_{p,j} = m_{p, \ell(p)+1-j}$ en de gewichten voldoen aan $\alpha_{p,j} = 1 - \alpha_{p, \ell(p)+1-j}$. Onder deze voorwaarden induceert een parabolische symplectische vorm $\phi_*$ een niet-degeneratieve symplectische vorm $\phi$ op de onderliggende vectorbundel $E$ met waarden in $L$.

2. Reductie naar Geconcentreerde Gewichten: De bewijsstrategie begint met het geval waarbij het systeem van gewichten $\alpha$ "geconcentreerd" is (Definitie 3.7), wat betekent dat de gewichten voldoende dicht bij $1/2$ liggen zodat specifieke ongelijkheden gelden. In dit regime vestigt Lemma 3.8 een correspondentie tussen parabolische symplectische stabiliteit en standaard symplectische stabiliteit. Dit maakt de constructie van een morfisme $\pi_0$ mogelijk van de parabolische moduli-ruimte $M^{m,\alpha}_{L(D)}$ naar de moduli-ruimte $M_L$ van semistabiele symplectische bundels (getwiste $Sp(r, \mathbb{C})$-bundels).

3. Fibratie en Spectrale Sequenties: Voor geconcentreerde gewichten wordt aangetoond dat de afbeelding $\pi$ beperkt tot de stabiele locus een vezelbundel is met vezels isomorf aan een product van flag-variëteiten $\prod Sp(r, \mathbb{C})/P_i$. De auteurs maken gebruik van de Leray-spectrale sequentie voor de sheaf $\mathbb{G}_m$ geassocieerd met deze fibratie. Dit levert een 5-term exacte sequentie op die de Picard-groepen van de vezels, de Brauer-groep van de basis (de moduli van symplectische bundels) en de Brauer-groep van de totale ruimte relateert.

4. Wall-Crossing voor Generieke Gewichten: Om het resultaat uit te breiden van geconcentreerde gewichten naar willekeurige generieke gewichten, roepen de auteurs principes van variatie van GIT (Geometrische Invariantietheorie) aan, specifiek refererend aan het werk van Thaddeus over wall-crossing. Zij tonen aan dat het oversteken van een enkele wand in de ample kegel van gewichten een isomorfisme induceert tussen de gladde loci van de moduli-ruimten tot aan deelverzamelingen van codimensie $\geq 2$. Aangezien de Brauer-groep invariant is onder het verwijderen van deelverzamelingen van codimensie $\geq 2$, blijft de Brauer-groep invariant over de kamers van generieke gewichten.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
De primaire bijdrage is de expliciete berekening van de Brauer-groep voor de gladde locus van de moduli-ruimte van parabolische symplectische bundels onder symmetrische gewichtsvoorwaarden. Het hoofdbestanddeel, Theorem 1.1 (gedetailleerd in Theorem 4.3 en Corollary 4.6), stelt:

Laat $M^{m,\alpha}_{L(D)}$ de moduli-ruimte zijn met symmetrische veelvouden $m$ en gewichten $\alpha$. De Brauer-groep van de gladde locus is:

1. Indien $\deg(L)$ even is:
   $$Br((M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}) \simeq \mathbb{Z} / \gcd(2, m_{p_1,1}, \dots, m_{p_n, \ell(p_n)})\mathbb{Z}$$

2. Indien $\deg(L)$ oneven is:
   $$Br((M^{m,\alpha}_{L(D)})^{\text{sm}}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{indien } r/2 \geq 3 \text{ oneven is}, \\ \mathbb{Z} / \gcd(2, m_{p_1,1}, \dots, m_{p_n, \ell(p_n)})\mathbb{Z} & \text{indien } r/2 \geq 3 \text{ even is}. \end{cases}$$

De auteurs merken op dat de generator van de Brauer-groep in de niet-triviale gevallen gerelateerd is aan de klasse van een projectieve Poincaré-bundel beperkt tot een punt op de curve, analoog aan resultaten voor de moduli van symplectische bundels zonder parabolische structuur (refererend aan [BHl]).

Betekenis en Reikwijdte
Het artikel beweert eerdere resultaten over de Brauer-groep van moduli van symplectische bundels (specifiek het werk in [BHl]) te generaliseren naar de parabolische setting. De betekenis ligt in:

• Het vaststellen van de relatie tussen parabolische symplectische stabiliteit en standaard symplectische stabiliteit onder symmetrische gewichtsvoorwaarden.
• Het bieden van een volledige berekening van de Brauer-groep voor deze moduli-ruimten, waarbij getoond wordt dat deze afhangt van de pariteit van de graad van de lijnbundel $L$, de rang $r$, en de grootste gemeenschappelijke deler van 2 en de parabolische veelvouden.
• Het aantonen van de invariantie van de Brauer-groep onder variatie van gewichten binnen de ample kegel, mits de gewichten generiek blijven.

De auteurs beperken hun resultaten expliciet tot het geval waar het systeem van gewichten en veelvouden van "symmetrisch type" is en geen 0 bevat. Zij beweren geen resultaten te hebben voor niet-symmetrische gewichten of voor de singuliere locus van de moduli-ruimte. Het werk leunt zwaar op de simpel verbonden aard van de symplectische groep $Sp(r, \mathbb{C})$ en de bekende structuur van de Brauer-groep voor de onderliggende symplectische moduli-ruimte.