Wave-front tracking for a quasi-linear scalar conservation law with hysteresis II: the case of Preisach

Resumen Técnico: Seguimiento de frentes de onda para una ley de conservación escalar cuasi-lineal con histéresis II: el caso de Preisach

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de Cauchy para una ley de conservación escalar cuasi-lineal que incorpora un operador de histéresis, específicamente el operador de Preisach. La ecuación gobernante viene dada por:
$$u_t + w_t + u_x = 0, \quad w(x, t) = F[u(x, \cdot), w_0(x)](t)$$
donde $u$ es la variable de estado, $w$ es la salida del operador de histéresis $F$, y los datos iniciales $(u_0, w_0)$ son de variación acotada (BV). La presencia del término de histéresis $w$ introduce un efecto de memoria no local e independiente de la tasa, lo que hace que la ecuación sea no estándar. Mientras que los autores analizaron previamente el caso donde $F$ es el operador de Play, este trabajo extiende el análisis al operador de Preisach, el cual es ampliamente considerado como un modelo versátil para la histéresis en aplicaciones que involucran variables internas.

Metodología
La metodología principal empleada es la técnica de seguimiento de frentes de onda (wave-front tracking), adaptada para manejar las complejidades específicas introducidas por la histéresis de Preisach. El enfoque implica los siguientes pasos:

1. Análisis del Problema de Riemann: Los autores resuelven primero el problema de Riemann para datos iniciales constantes a trozos. A diferencia del caso del operador de Play (donde la función de flujo es constante a trozos), el operador de Preisach produce una función de flujo $f(u)$ que es continua a trozos y no constante. En consecuencia, la solución al problema de Riemann involucra no solo choques, sino también combinaciones de ondas de rarefacción. El análisis utiliza la representación geométrica del operador de Preisach en el "plano de Preisach", rastreando la evolución de la función de conmutación (un gráfico antimonótono) a medida que la entrada $u$ varía.
2. Esquema de Aproximación: Para manejar datos iniciales generales de BV, los autores construyen una secuencia de soluciones aproximadas $(u_n, w_n)$. Los datos iniciales se aproximan mediante funciones constantes a trozos que toman valores en una rejilla discreta $A_n$. Crucialmente, las configuraciones de histéresis iniciales se aproximan mediante elementos de un conjunto $\tilde{S}^{(n)}_L$, que consiste en configuraciones generadas por entradas Lipschitz con gráficos compuestos por segmentos que tienen vértices en una rejilla discreta.
3. Análisis de Interacción de Ondas: El artículo analiza las interacciones entre las ondas en las soluciones aproximadas. Una dificultad clave identificada es la interacción entre ondas de rarefacción, la cual no ocurre en el caso escalar clásico o en el caso del operador de Play. Los autores demuestran que el número de discontinuidades permanece finito y no creciente, y que las interacciones entre la variable de estado $u$ y las discontinuidades verticales de la configuración de histéresis $z$ son finitas.
4. Marco de Espacio Métrico: Dado que el estado del operador de Preisach es una función $z: P \to \{-1, 1\}$ (donde $P$ es el plano de Preisach), la solución $z$ toma valores en un espacio métrico de gráficos antimonótonos. Los autores utilizan las propiedades de las funciones de variación acotada con valores en espacios métricos para establecer la compacidad y la convergencia.
5. Procedimiento de Límite: Mediante la aplicación del teorema de compacidad de Helly adaptado a funciones con valores en espacios métricos, los autores extraen una subsucesión convergente de las soluciones aproximadas. Pasan rigurosamente al límite para mostrar que el par límite $(u, w)$ satisface la formulación débil de la EDP y la relación de histéresis.
6. Unicidad: La unicidad se establece dentro de la clase de soluciones de entropía. Se formula una condición de entropía que involucra una función de prueba y un estado de comparación, y los autores demuestran que la solución construida satisface esta condición y que dos soluciones de entropía cualesquiera satisfacen una propiedad de contracción $L^1$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Existencia de Soluciones Débiles: El artículo demuestra la existencia de una solución débil para el problema de Cauchy para la ley de conservación con histéresis de Preisach para datos iniciales en $BV(\mathbb{R}) \times BV(\mathbb{R}; \tilde{S}_L)$.
• Manejo de Flujo No Estándar: Los autores demuestran que la función de flujo asociada al operador de Preisach es continua a trozos y no constante, lo que requiere un procedimiento de seguimiento de frentes de onda más complejo que deba dar cuenta de la interacción de las ondas de rarefacción, una característica ausente en el caso del operador de Play.
• Compacidad en Espacios Métricos: Una contribución técnica significativa es el tratamiento riguroso del estado de la histéresis como una función con valores en un espacio métrico de gráficos antimonótonos. Los autores establecen los resultados de compacidad necesarios para pasar al límite en la relación de histéresis, abordando la naturaleza no local del operador de Preisach.
• Unicidad vía Entropía: El artículo define una condición de entropía apropiada para este sistema y demuestra que la solución de seguimiento de frentes de onda es la única solución de entropía. Esto se logra adaptando la técnica de duplicación de variables al contexto de la histéresis.
• Relajación de la Histéresis: Los autores emplean una relajación de la relación de histéresis, reescribiéndola como una desigualdad integral variacional dependiente de una medida, lo cual es esencial para manejar la regularidad de BV de la solución.

Significancia y Pretensiones
Los autores sostienen que este trabajo representa una novedad en el análisis de leyes de conservación hiperbólicas con histéresis, particularmente respecto al paso al límite en la relación de histéresis para el modelo de Preisach. Si bien trabajos previos (por ejemplo, Visintin [26]) estudiaron ecuaciones similares con diferentes operadores de histéresis (como el Relé retardado) o utilizaron enfoques distintos, este artículo adopta un enfoque constructivo centrado en las características y sus interacciones.

El artículo señala explícitamente que, aunque el seguimiento de frentes de onda se ha discutido en otros contextos (por ejemplo, Fan [13], Amadori et al. [1, 2]), los desafíos específicos planteados por el operador de Preisach —a saber, la presencia de interacciones de ondas de rarefacción y la necesidad de trabajar en un espacio métrico de gráficos— requieren un nuevo análisis. Los autores no pretenden haber descubierto nuevas aplicaciones físicas, sino que proporcionan un marco matemático riguroso para resolver el problema de Cauchy para esta clase específica de leyes de conservación no locales. Los resultados se presentan como una prueba constructiva de existencia y unicidad para la clase definida de datos iniciales.