Wave-front tracking for a quasi-linear scalar conservation law with hysteresis II: the case of Preisach

Resumo Técnico: Rastreamento de frente de onda para uma lei de conservação escalar quase-linear com histerese II: o caso de Preisach

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de Cauchy para uma lei de conservação escalar quase-linear que incorpora um operador de histerese, especificamente o operador de Preisach. A equação governante é dada por:
$$u_t + w_t + u_x = 0, \quad w(x, t) = F[u(x, \cdot), w_0(x)](t)$$
onde $u$ é a variável de estado, $w$ é a saída do operador de histerese $F$, e os dados iniciais $(u_0, w_0)$ são de variação limitada (BV). A presença do termo de histerese $w$ introduz um efeito de memória não local e independente da taxa, tornando a equação não padrão. Embora os autores tenham analisado anteriormente o caso onde $F$ é o operador de Play, este trabalho estende a análise para o operador de Preisach, que é amplamente considerado um modelo versátil para histerese em aplicações envolvendo variáveis internas.

Metodologia
A metodologia principal empregada é a técnica de rastreamento de frente de onda (wave-front tracking), adaptada para lidar com as complexidades específicas introduzidas pela histerese de Preisach. A abordagem envolve as seguintes etapas:

1. Análise do Problema de Riemann: Os autores primeiro resolvem o problema de Riemann para dados iniciais constantes por partes. Diferente do caso do operador de Play (onde a função de fluxo é constante por partes), o operador de Preisach produz uma função de fluxo $f(u)$ que é contínua por partes e não constante. Consequentemente, a solução do problema de Riemann envolve não apenas choques, mas também combinações de ondas de rarefação. A análise utiliza a representação geométrica do operador de Preisach no "plano de Preisach", rastreando a evolução da função de comutação (um gráfico antimonotônico) conforme a entrada $u$ varia.
2. Esquema de Aproximação: Para lidar com dados iniciais gerais em BV, os autores constroem uma sequência de soluções aproximadas $(u_n, w_n)$. Os dados iniciais são aproximados por funções constantes por partes tomando valores em uma grade discreta $A_n$. Crucialmente, as configurações de histerese iniciais são aproximadas por elementos de um conjunto $\tilde{S}^{(n)}_L$, consistindo de configurações geradas por entradas Lipschitz com gráficos compostos por segmentos tendo vértices na grade discreta.
3. Análise de Interação de Ondas: O artigo analisa as interações entre as ondas nas soluções aproximadas. Uma dificuldade fundamental identificada é a interação entre ondas de rarefação, que não ocorre no caso escalar clássico ou no caso do operador de Play. Os autores provam que o número de descontinuidades permanece finito e não crescente, e que as interações entre a variável de estado $u$ e as descontinuidades verticais da configuração de histerese $z$ são finitas.
4. Estrutura de Espaço Métrico: Como o estado de Preisach é uma função $z: P \to \{-1, 1\}$ (onde $P$ é o plano de Preisach), a solução $z$ toma valores em um espaço métrico de gráficos antimonotônicos. Os autores utilizam propriedades de funções BV com valores em espaços métricos para estabelecer compacidade e convergência.
5. Procedimento de Limite: Ao aplicar o teorema de compacidade de Helly adaptado para funções com valores em espaços métricos, os autores extraem uma subsequência convergente das soluções aproximadas. Eles passam rigorosamente para o limite para mostrar que o par limite $(u, w)$ satisfaz a formulação fraca da PDE e a relação de histerese.
6. Unicidade: A unicidade é estabelecida dentro da classe das soluções de entropia. Uma condição de entropia é formulada envolvendo uma função de teste e um estado de comparação, e os autores provam que a solução construída satisfaz essa condição e que quaisquer duas soluções de entropia satisfazem uma propriedade de contração $L^1$.

Contribuições Principais e Resultados

• Existência de Soluções Fracas: O artigo prova a existência de uma solução fraca para o problema de Cauchy para a lei de conservação com histerese de Preisach para dados iniciais em $BV(\mathbb{R}) \times BV(\mathbb{R}; \tilde{S}_L)$.
• Tratamento de Fluxo Não-Padrão: Os autores demonstram que a função de fluxo associada ao operador de Preisach é contínua por partes e não constante, exigindo um procedimento de rastreamento de frente de onda mais complexo que considere a interação de ondas de rarefação, uma característica ausente no caso do operador de Play.
• Compacidade de Espaço Métrico: Uma contribuição técnica significativa é o tratamento rigoroso do estado de histerese como uma função com valores em um espaço métrico de gráficos antimonotônicos. Os autores estabelecem os resultados de compacidade necessários para passar ao limite na relação de histerese, abordando a natureza não local do operador de Preisach.
• Unicidade via Entropia: O artigo define uma condição de entropia apropriada para este sistema e prova que a solução de rastreamento de frente de onda é a única solução de entropia. Isso é alcançado adaptando a técnica de duplicação de variáveis ao contexto de histerese.
• Relaxação de Histerese: Os autores empregam uma relaxação da relação de histerese, reescrevendo-a como uma desigualdade integral variacional dependente de medida, o que é essencial para lidar com a regularidade BV da solução.

Significância e Alegações
Os autores alegam que este trabalho representa uma novidade na análise de leis de conservação hiperbólicas com histerese, particularmente no que diz respeito à passagem ao limite na relação de histerese para o modelo de Preisach. Embora trabalhos anteriores (por exemplo, Visintin [26]) tenham estudado equações semelhantes com diferentes operadores de histerese (como o Relay atrasado) ou utilizado abordas diferentes, este artigo adota uma abordagem construtiva focada em características e suas interações.

O artigo observa explicitamente que, embora o rastreamento de frente de onda tenha sido discutido em outros contextos (por exemplo, Fan [13], Amadori et al. [1, 2]), os desafios específicos impostos pelo operador de Preisach — a saber, a presença de interações de ondas de rarefação e a necessidade de trabalhar em um espaço métrico de gráficos — requerem uma nova análise. Os autores não alegam ter descoberto novas aplicações físicas, mas sim fornecem um arcabouço matemático rigoroso para resolver o problema de Cauchy para esta classe específica de leis de conservação não locais, estendendo o escopo do operador de Play para o mais geral e versátil operador de Preisach. Os resultados são apresentados como uma prova construtiva de existência e unicidade para a classe definida de dados iniciais.