Wave-front tracking for a quasi-linear scalar conservation law with hysteresis II: the case of Preisach

技術要約：ヒステリシスを伴う準線形スカラー保存則における波面追跡法 II：Preisachのケース

問題設定
本論文は、Preisach（プライザッハ）演算子、具体的にはヒステリシス演算子を組み込んだ準線形スカラー保存則のコーシー問題を扱っている。支配方程式は次のように与えられる：
$$u_t + w_t + u_x = 0, \quad w(x, t) = F[u(x, \cdot), w_0(x)](t)$$
ここで、$u$ は状態変数であり、$w$ はヒステリシス演算子 $F$ の出力である。初期データ $(u_0, w_0)$ は有界変動（BV）である。ヒステリシス項 $w$ の存在は、非局所的で速度に依存しないメモリ効果を導入し、方程式を非標準的なものにしている。著者らは以前、$F$ がPlay演算子のケースを分析したが、本研究では、内部変数に関連するアプリケーションにおいて汎用性が高いとされるPreisach演算子へと分析を拡張している。

手法
主要な手法として、Preisachヒステリシスの特有の複雑さを処理するために適応させた**波面追跡（wave-front tracking）**法を用いている。このアプローチは以下のステップを含む：

1. リーマン問題の解析： 著者らはまず、区分定数な初期データに対するリーマン問題を解く。Play演算子のケース（フラックス関数が区分定数である）とは異なり、Preisach演算子は、フラックス関数 $f(u)$ が区分連続かつ非定数となる。その結果、リーマン問題の解には、衝撃波（shocks）だけでなく、希薄波（rarefaction waves）の組み合わせも含まれることになる。解析には、Preisach平面上におけるPreisach演算子の幾何学的表現を利用し、入力 $u$ が変化する際のスイッチング関数（単調減少グラフ）の進化を追跡する。
2. 近似スキーム： 一般的なBV初期データを扱うために、著者らは近似解の列 $(u_n, w_n)$ を構成する。初期データは、離散格子 $A_n$ 内の値をとる区分定数関数によって近似される。決定的なのは、初期ヒステリシス構成が、離散格子上に頂点を持つセグメントからなるグラフを持つリプシッツ連続な入力によって生成された構成の集合 $\tilde{S}^{(n)}_L$ の要素によって近似されることである。
3. 波の相互作用解析： 著者らは、近似解における波の相互作用を解析する。ここで特定された主要な困難は、古典的なスカラーの場合やPlay演算子のケースでは発生しない、希薄波同士の相互作用である。著者らは、不連続点の数が有限であり、かつ非増加であることを証明し、さらに状態変数 $u$ とヒステリシス構成の垂直方向の不連続性との間の相互作用が有限であることを証明する。
4. 距離空間フレームワーク： Preisach演算子の状態は、関数 $z: P \to \{-1, 1\}$ （ここで $P$ はPreisach平面）であるため、解 $z$ は反単調グラフの距離空間の値をとる。著者らは、距離空間に値を持つBV関数の性質を利用して、コンパクト性と収束性を確立する。
5. 極限手続き： 適応されたヘリーのコンパクト性定理を用いて、近似解の収束部分列を抽出する。近似解の極限への移行を厳密に行い、極限のペア $(u, w)$ が偏微分方程式の弱形式およびヒステリシス関係を満たすことを示す。
6. 一意性： エントロピー解のクラス内で一意性が確立される。テスト関数と比較状態を用いたエントロピー条件が定式化され、構築された解がこの条件を満たすこと、および任意の二つのエントロピー解が $L^1$ 縮小性を満たすことを証明する。

主要な貢献と結果

• 弱解の存在： 本論文は、初期データ $BV(\mathbb{R}) \times BV(\mathbb{R}; \tilde{S}_L)$ に対する、Preisachヒステリシスを伴う保存則のコーシー問題の弱解の存在を証明している。
• 非標準的フラックスの処理： 著者らは、Preisach演算子に関連するフラックス関数が区分連続かつ非定数であることを示し、Play演算子のケースには存在しなかった希薄波の相互作用を考慮する必要がある、より複雑な波面追跡手順を実証した。
• 距離空間のコンパクト性： ヒステリシス状態を、グラフの距離空間に値を持つ関数として扱うことは、重要な技術的貢献である。著者らは、Preisach演算子の非局所的な性質に対処するため、極限への移行に必要なコンパクト性の結果を確立した。
• エントロピーによる一一意性： 著者らはこの系に対して適切なエントロシ条件を定義し、波面追跡解が唯一のエントロピー解であることを証明した。これは、ヒステリシス・コンテキストに「変数の二重化（doubling of variables）」の手法を適応させることで達成される。
• ヒステリシスの緩和： 著者らは、ヒステリシス関係の緩和を用い、それを測度依存の変分積分不等式として書き換えている。これは、解のBV正則性を扱うために不可欠である。

意義と主張
著者らは、本研究が、特にPreisachモデルにおけるヒステリシス関係への極限移行に関して、ヒステリシスを伴う双曲型保存則の分析における新規性を有すると主張している。先行研究（例：Visintin [26]）は、異なるヒステリシス演算子（遅延リレーなど）を用いたり、異なるアプローチを用いたりしたが、本論文は特性曲線とその相互作用に焦点を当てた構成的なアプローチを採用している。

論文内では、波面追跡法が他の文脈（例：Fan [13], Amadoriら [1, 2]）でも議論されてきたことが明記されているが、Preisach演算子がもたらす特有の課題（すなわち、希薄波の相互作用の存在、およびグラフの距離空間内で扱う必要性）には、新たな解析が必要であるとしている。著者らは新しい物理的応用を発見したと主張しているのではなく、この特定のクラスの非局所的保存則に対して、コーシー問題を解くための厳密な数学的枠組みを提供しており、Play演算子からより一般的で汎用性の高いPreisach演算子へと範囲を拡張している。結果は、定義された初期データのクラスに対する構成的な存在および一意性の証明として提示されている。