Curves of genus two with maps of every degree to a fixed elliptic curve

Resumen Técnico: Curvas de Género Dos con Mapas de Todo Grado hacia una Curva Elíptica Fija

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una cuestión clásica en la teoría de las integrales hiperelípticas, planteada originalmente por Legendre en 1828: ¿Existe una curva de género 2 $C$ sobre los números complejos $\mathbb{C}$ y una curva elíptica $E$ sobre $\mathbb{C}$ tales que para cada entero $n > 1$, exista un morfismo de grado $n$ de $C$ a $E$? Las curvas de género 2 que admiten mapas hacia curvas elípticas han sido estudiadas durante casi dos siglos, pero la condición específica de admitir mapas de todo grado no se había resuelto. El artículo investiga si tales pares $(C, E)$ existen y, de ser así, los clasifica hasta su isomorfismo.

Metodología
La estrategia de prueba se basa en la relación estructural entre una curva de género 2 $C$ que admite un mapa de grado 2 a una curva elíptica $E$ y una segunda curva elíptica $F$. La metodología procede a través de los siguientes pasos lógicos:

1. Reducción a Formas Cuadráticas:
   Utilizando resultados de Kani y trabajos anteriores de Picard, los autores establecen que si $C$ tiene un mapa de grado 2 a una curva elíptica $E$, existe una única curva elíptica $F$ y un isomorfismo $\psi: E[2] \to F[2]$ tal que el Jacobiano de $C$ es isógeno al cociente de $E \times F$ por la gráfica de $\psi$.
   El conjunto de mapas de $C$ a $E$ corresponde a un retículo $\mathbb{Z}$ en el espacio vectorial $\text{Hom}(E, \text{Jac } C)$. El grado de estos mapas define una forma cuadrática definida positiva en este retículo. Para que $C$ tenga mapas de todo grado $n > 1$, esta forma cuadrática debe representar cada entero $n > 1$.

2. Restricción de los Anillos de Endomorfismos:
   Al analizar la existencia de mapas de grados 3 y 4, los autores derivan restricciones estrictas sobre los anillos de endomorfismos de $E$ y $F$. Específicamente, prueban que $E$ debe tener multiplicación compleja (CM) y que debe existir una isogenia cíclica entre $E$ y $F$ de un grado pequeño específico $p$. Esto reduce el espacio de búsqueda infinito a una lista finita de posibles pares de discriminantes $(\Delta_E, \Delta_F)$.

3. Enumeración Computacional:
   Para la lista finita de pares de discriminantes candidatos, los autores realizan una búsqueda computacional utilizando el software Magma. Ellos:

   • Construyen los cuerpos numéricos que contienen los invariantes $j$ de las curvas elípticas relevantes.
   • Determinan los conjuntos de grados posibles para los endomorfismos de $E$ y los homomorfismos de $E$ a $F$ que satisfacen las condiciones de compatibilidad de 2-torsión.
   • Computan las matrices de periodo y las formas cuadráticas asociadas para las curvas de género 2 resultantes.
   • Verifican qué formas representan todos los enteros del 2 al 31 (una condición necesaria para representar todos los enteros $n > 1$).

4. Verificación de Formas Cuadráticas:
   Los autores prueban que las formas cuadráticas supervivientes son isomórficas a una de cuatro formas cuaternarias específicas ($q_1, q_2, q_3, q_4$). Posteriormente, proporcionan una prueba numerotécnica separada (Proposición 2) demostrando que cada una de estas cuatro formas representa, de hecho, cada entero mayor que 1.

5. Resultados de No Existencia:
   Para abordar el caso general de una curva que no admite mapas de todo grado, los autores utilizan el "invariante de Humbert refinado" de Kani, una forma cuadrática ternaria asociada a cualquier curva de género 2. Prueban que para cualquier curva de este tipo, existe un entero específico $n$ (acotado por 59 en el Teorema 3, y por una constante grande $kN$ en el Teorema 4) para el cual no existe un mapa mínimo de grado $n$.

Resultados Clave

• Teorema 1 (Clasificación): Hasta su isomorfismo, existen exactamente veinte pares $(C, E)$ que satisfacen la condición de que $C$ es una curva de género 2, $E$ es una curva elíptica y, para todo $n > 1$, existe un mapa de grado $n$ de $C$ a $E$.

  • Estos pares están caracterizados por discriminantes específicos para los anillos de endomorfismos de $E$ y $F$.
  • Las formas cuadráticas asociadas en los retículos de mapeo caen exactamente en cuatro clases de isomorfismo ($q_1, q_2, q_3, q_4$).
  • La Tabla 1 en el artículo proporciona los parámetros de la matriz de periodo ($\tau, \sigma$) y los discriminantes para los veinte pares.
  • La Tabla 2 proporciona modelos polinómicos explícitos $y^2 = f(x)$ para las curvas $C$ correspondientes a estos pares.

• Teorema 3 (Cota de No Existencia): Para cualquier curva de género 2 $C$, existe un entero $n \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 19, 31, 59\}$ tal que no existe un mapa mínimo de grado $n$ desde $C$ hacia cualquier curva elíptica.

• Teorema 4 (No Existencia General): Se proporciona una cota más fuerte, aunque menos precisa, que involucra un entero grande $N$ (el producto de muchos primos hasta 1511), mostrando que para cualquier curva de género 2, la existencia de un mapa mínimo de grado $n$ falla para algún $n \in \{2, 3, 13, kN\}$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma resolver un problema que, aunque formulado en terminología moderna, podría haber sido comprendido por investigadores del siglo XIX como Legendre, Jacobi y Picard. La significancia principal reside en la sorprendente existencia de tales curvas; los autores señalan que es "quizás sorprendentemente" que tales curvas existan en absoluto.

El trabajo proporciona una clasificación completa de estas curvas excepcionales, identificando exactamente veinte clases de isomorfismo. Además, demuestra que estos veinte casos son los únicos donde existen mapas de todo grado. Para todas las demás curvas de género 2, el artículo establece que hay un "hueco" en los grados de los mapas mínimos hacia curvas elípticas, con el hueco máximo posible acotado por 59.

El artículo también nota brevemente que resultados similares se cumplen para curvas ordinarias en característica positiva vía levantamiento de Serre-Tate, pero establece explícitamente que la situación para las curvas supersingulares en característica positiva no ha sido investigada y puede dar lugar a ejemplos diferentes.

Contexto Histórico
La introducción sitúa el trabajo en una línea de investigación que abarca casi 200 años, citando contribuciones de Legendre (1828), Jacobi, Kowalevski, Poincaré, Picard y Humbert. Los autores enfatizan que su problema es una extensión natural del estudio clásico de la reducción de integrales hiperelípticas a integrales elípticas, preguntando específicamente si dicha reducción es posible mediante transformaciones de todo grado.