Curves of genus two with maps of every degree to a fixed elliptic curve

Résumé technique : Courbes de genre deux avec des applications de tout degré vers une courbe elliptique fixée

Énoncé du problème
L'article traite d'une question classique de la théorie des intégrales hyperelliptiques, formulée initialement par Legendre en 1828 : existe-t-il une courbe de genre 2 $C$ sur les nombres complexes $\mathbb{C}$ et une courbe elliptique $E$ sur $\mathbb{C}$ telles que pour tout entier $n > 1$, il existe un morphisme de degré $n$ de $C$ vers $E$ ? Les courbes de genre 2 admettant des applications vers des courbes elliptiques ont été étudiées depuis près de deux siècles, mais la condition spécifique d'admettre des applications de tout degré n'avait pas été résolue. L'article examine si de tels couples $(C, E)$ existent et, le cas échéant, les classifie à isomorphisme près.

Méthodologie
La stratégie de preuve repose sur la relation structurelle entre une courbe de genre 2 $C$ admettant une application de degré 2 vers une courbe elliptique $E$ et une seconde courbe elliptique $F$. La méthodologie procède selon les étapes logiques suivantes :

1. Réduction aux formes quadratiques :
   En utilisant les résultats de Kani et les travaux antérieurs de Picard, les auteurs établissent que si $C$ possède une application de degré 2 vers $E$, il existe une courbe elliptique $F$ unique et un isomorphisme $\psi: E[2] \to F[2]$ tels que le jacobien de $C$ est isogène au quotient de $E \times F$ par le graphe de $\psi$.
   L'ensemble des applications de $C$ vers $E$ correspond à un réseau $\mathbb{Z}$ dans l'espace vectoriel $\text{Hom}(E, \text{Jac } C)$. Le degré de ces applications définit une forme quadratique définie positive sur ce réseau. Pour que $C$ possède des applications de tout degré $n > 1$, cette forme quadratique doit représenter tout entier $n > 1$.

2. Restriction des anneaux de endomorphismes :
   En analysant l'existence d'applications de degrés 3 et 4, les auteurs dérivent des contraintes strictes sur les anneaux de endomorphismes de $E$ et $F$. Plus précisément, ils prouvent que $E$ doit posséder une multiplication complexe (CM) et qu'il doit exister un isogénie cyclique entre $E$ et $F$ d'un degré petit spécifique $p$. Cela réduit l'espace de recherche infini à une liste finie de couples de discriminants possibles $(\Delta_E, \Delta_F)$.

3. Énumération computationnelle :
   Pour la liste finie de couples de discriminants candidats, les auteurs effectuent une recherche computationnelle en utilisant le logiciel Magma. Ils :

   • Construisent les corps de nombres contenant les invariants $j$ des courbes elliptiques pertinentes.
   • Déterminent les ensembles de degrés possibles des endomorphismes de $E$ et des homomorphismes de $E$ vers $F$ qui satisfont les conditions de compatibilité de la 2-torsion.
   • Calculent les matrices de périodes et les formes quadratiques associées pour les courbes de genre 2 résultantes.
   • Vérifient quelles formes représentent tous les entiers de 2 à 31 (une condition nécessaire pour représenter tout entier $n > 1$).

4. Vérification des formes quadratiques :
   Les auteurs prouvent que les formes quadratiques survivantes sont isomorphes à l'une des quatre formes quaternaires spécifiques ($q_1, q_2, q_3, q_4$). Ils fournissent ensuite une preuve de théorie des nombres distincte (Proposition 2) démontrant que chacune de ces quatre formes représente effectivement tout entier supérieur à 1.

5. Résultats de non-existence :
   Pour traiter le cas général d'une courbe qui n'admet pas d'applications de tout degré, les auteurs utilisent l'« invariant de Humbert raffiné » de Kani, une forme quadratique ternaire associée à toute courbe de genre 2. Ils prouvent que pour toute courbe de ce type, il existe un entier spécifique $n$ (borné par 59 dans le Théorème 3, et par une grande constante $kN$ dans le Théorème 4) pour lequel aucune application minimale de degré $n$ n'existe.

Résultats clés

• Théorème 1 (Classification) : À isomorphisme près, il existe exactement vingt couples $(C, E)$ satisfaisant la condition que $C$ est une courbe de genre 2, $E$ est une courbe elliptique, et pour tout $n > 1$, il existe une application de degré $n$ de $C$ vers $E$.

  • Ces couples sont caractérisés par des discriminants spécifiques pour les anneaux de endomorphismes de $E$ et $F$.
  • Les formes quadratiques associées tombent exactement dans quatre classes d'isomorphisme ($q_1, q_2, q_3, q_4$).
  • Le Tableau 1 de l'article fournit les paramètres de la matrice de période ($\tau, \sigma$) et les discriminants pour les vingt couples.
  • Le Tableau 2 fournit des modèles polynomiaux explicites $y^2 = f(x)$ pour les courbes $C$ correspondant à ces couples.

• Théorème 3 (Borne de non-existence) : Pour toute courbe de genre 2 $C$, il existe un entier $n \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 19, 31, 59\}$ tel qu'il n'existe pas d'application minimale de degré $n$ de $C$ vers une courbe elliptique quelconque.

• Théorème 4 (Non-existence générale) : Une borne plus forte, bien que moins précise, est fournie impliquant un grand entier $N$ (le produit de nombreux nombres premiers jusqu'à 1511), montrant que pour toute courbe de genre 2, l'existence d'une application minimale de degré $n$ échoue pour certains $n \in \{2, 3, 13, kN\}$.

Signification et revendications
L'article prétend résoudre un problème qui, bien que formulé en termes modernes, aurait pu être compris par des chercheurs du XIXe siècle comme Legendre, Jacobi et Picard. La principale signification réside dans l'existence surprenante de telles courbes ; les auteurs notent qu'il est « peut-être surprenant » que de telles courbes existent du tout.

Le travail fournit une classification complète de ces courbes exceptionnelles, identifiant exactement vingt classes d'isomorphisme. Il démontre en outre que ces vingt cas sont les seuls cas où des applications de tout degré existent. Pour toutes les autres courbes de genre 2, l'article établit qu'il existe un « écart » dans les degrés des applications minimales vers les courbes elliptiques, l'écart maximal étant borné par 59.

L'article note également brièvement que des résultats similaires sont valables pour les courbes ordinaires en caractéristique positive via le relèvement de Serre-Tate, mais précise explicitement que la situation pour les courbes supersingulières en caractéristique positive n'a pas été étudiée et pourrait donner des exemples différents.

Contexte historique
L'introduction situe le travail dans une lignée de recherche s'étendant sur près de 200 ans, citant les contributions de Legendre (1828), Jacobi, Kowalevski, Poincaré, Picard et Humbert. Les auteurs soulignent que leur problème est une extension naturelle de l'étude classique de la réduction des intégrales hyperelliptiques en intégrales elliptiques, demandant spécifiquement si cette réduction est possible via des transformations de tout degré.