Curves of genus two with maps of every degree to a fixed elliptic curve

Resumo Técnico: Curvas de Gênero Dois com Mapas de Todo Grau para uma Curva Elíptica Fixa

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma questão clássica na teoria das integrais hiperelípticas, originalmente formulada por Legendre em 1828: Existe uma curva de gênero 2 $C$ sobre os números complexos $\mathbb{C}$ e uma curva elíptica $E$ sobre $\mathbb{C}$ tais que, para todo inteiro $n > 1$, existe um morfismo de grau $n$ de $C$ para $E$? Embora curvas de gênero 2 que admitem mapas para curvas elípticas tenham sido estudadas por quase dois séculos, a condição específica de admitir mapas de todo grau não havia sido resolvida. O artigo investiga se tais pares $(C, E)$ existem e, se sim, classifica-os até o isomorfismo.

Metodologia
A estratégia de prova baseia-se na relação estrutural entre uma curva de gênero 2 $C$ que admite um mapa de grau 2 para uma curva elíptica $E$ e uma segunda curva elíptica $F$. A metodologia procede através dos seguintes passos lógicos:

1. Redução a Formas Quadráticas:
   Utilizando resultados de Kani e trabalhos anteriores de Picard, os autores estabelecem que, se $C$ possui um mapa de grau 2 para uma curva elíptica $E$, existe uma única curva elíptica $F$ e um isomorfismo $\psi: E[2] \to F[2]$ tal que o jacobiano de $C$ é isógeno ao quociente de $E \times F$ pelo grafo de $\psi$.
   O conjunto de mapas de $C$ para $E$ corresponde a um reticulado $\mathbb{Z}$ no espaço vetorial $\text{Hom}(E, \text{Jac } C)$. O grau desses mapas define uma forma quadrática definida positiva neste reticulado. Para que $C$ tenha mapas de todo grau $n > 1$, esta forma quadrática deve representar todo inteiro $n > 1$.

2. Restrição dos Anéis de Endomorfismos:
   Ao analisar a existência de mapas de graus 3 e 4, os autores derivam restrições estritas sobre os anéis de endomorfismos de $E$ e $F$. Especificamente, eles provam que $E$ deve possuir multiplicação complexa (CM) e que deve existir uma isogenia cíclica entre $E$ e $F$ de um grau pequeno específico $p$. Isso reduz o espaço de busca infinito para uma lista finita de possíveis pares de discriminantes $(\Delta_E, \Delta_F)$.

3. Enumeração Computacional:
   Para a lista finita de pares de discriminantes candidatos, os autores realizam uma busca computacional usando o software Magma. Eles:

   • Constroem os corpos numéricos que contêm os invariantes $j$ das curvas elípticas relevantes.
   • Determinam os conjuntos de graus possíveis para endomorfismos de $E$ e homomorfismos de $E$ para $F$ que satisfazem as condições de compatibilidade de 2-torção.
   • Computam as matrizes de período e as formas quadráticas associadas para as curvas de gênero 2 resultantes.
   • Verificam quais formas representam todos os inteiros de 2 a 31 (uma condição necessária para representar todo inteiro $n > 1$).

4. Verificação de Formas Quadráticas:
   Os autores provam que as formas quadráticas sobreviventes são isomórficas a uma de quatro formas quaternárias específicas ($q_1, q_2, q_3, q_4$). Eles então fornecem uma prova de teoria dos números separada (Proposição 2) demonstrando que cada uma dessas quatro formas representa, de fato, todo inteiro maior que 1.

5. Resultados de Não-Existência:
   Para abordar o caso geral de uma curva que não admite mapas de todo grau, os autores utilizam o "invariante de Humbert refinado" de Kani, uma forma quadrática ternária associada a qualquer curva de gênero 2. Eles provam que, para qualquer curva tal, existe um inteiro específico $n$ (limitado por 59 no Teorema 3, e por uma constante grande $kN$ no Teorema 4) para o qual nenhum mapa minimal de grau $n$ existe.

Principais Resultados

• Teorema 1 (Classificação): Até o isomorfismo, existem exatamente vinte pares $(C, E)$ satisfazendo a condição de que $C$ é uma curva de gênero 2, $E$ é uma curva elíptica e, para todo $n > 1$, existe um mapa de grau $n$ de $C$ para $E$.

  • Esses pares são caracterizados por discriminantes específicos para os anéis de endomorfismos de $E$ e $F$.
  • As formas quadráticas associadas caem em exatamente quatro classes de isomorfismo ($q_1, q_2, q_3, q_4$).
  • A Tabela 1 no artigo fornece os parâmetros da matriz de período ($\tau, \sigma$) e os discriminantes para todos os vinte pares.
  • A Tabela 2 fornece modelos polinomiais explícitos $y^2 = f(x)$ para as curvas $C$ correspondentes a esses pares.

• Teorema 3 (Limite de Não-Existência): Para qualquer curva de gênero 2 $C$, existe um inteiro $n \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 19, 31, 59\}$ tal que não existe um mapa minimal de grau $n$ de $C$ para qualquer curva elíptica.

• Teorema 4 (Não-Existência Geral): Um limite mais forte, embora menos preciso, é fornecido envolvendo um grande inteiro $N$ (o produto de muitos primos até 1511), mostrando que para qualquer curva de gênero 2, a existência de um mapa minimal de grau $n$ falha para algum $n \in \{2, 3, 13, kN\}$.

Significância e Alegações
O artigo afirma resolver um problema que, embora formulado em terminologia moderna, poderia ter sido compreendido por pesquisadores do século XIX como Legendre, Jacobi e Picard. A principal significância reside na existência surpreendente de tais curvas; os autores observam que é "talvez surpreendente" que tais curvas existam de fato.

O trabalho fornece uma classificação completa destas curvas excepcionais, identificando exatamente vinte classes de isomorfismo. Ele demonstra também que estes vinte casos são os únicos onde mapas de todo grau existem. Para todas as outras curvas de gênero 2, o artigo estabelece que há um "vão" nos graus de mapas minimais para curvas elípticas, com o máximo possível de tal vão limitado por 59.

O artigo também nota brevemente que resultados semelhantes ocorrem para curvas ordinárias em característica positiva via levantamento de Serre-Tate, mas afirma explicitamente que a situação para curvas supersingulares em característica positiva não foi investigada e pode produzir exemplos diferentes.

Contexto Histórico
A introdução situa o trabalho em uma linhagem de pesquisa que abrange quase 200 anos, citando contribuições de Legendre (1828), Jacobi, Kowalevski, Poincaré, Picard e Humbert. Os autores enfatizam que seu problema é uma extensão natural do estudo clássico da redução de integrais hiperelípticas para integrais elípticas, especificamente perguntando se tal redução é possível através de transformações de todo grau.