A Convex Route to Thermomechanics: Learning Internal Energy and Dissipation

Título: Una Ruta Convexa hacia la Termomecánica: Aprendizaje de Energía Interna y Disipación

1. El Problema

La mecánica de medios continuos y la termodinámica están intrínsecamente vinculadas, especialmente en materiales que experimentan deformaciones grandes, almacenamiento de energía, intercambio de calor y disipación irreversible. Aunque existen formulaciones clásicas basadas en la energía de Helmholtz, estas presentan desafíos significativos cuando se intenta combinarlas con el aprendizaje automático (Machine Learning) para el descubrimiento de modelos constitutivos:

• Restricciones de Convexidad Mixta: Las formulaciones basadas en la energía de Helmholtz requieren condiciones de convexidad en la deformación y concavidad en la temperatura. Imponer estas restricciones mixtas dentro de arquitecturas de redes neuronales es complejo y no trivial.
• Falta de Marcos Unificados: Existe una carencia de marcos de datos que puedan manejar procesos termomecánicos completamente acoplados (donde la disipación y los efectos térmicos son inseparables) manteniendo la consistencia termodinámica por construcción.
• Variables Observables vs. Internas: La mayoría de los enfoques requieren datos de entropía, la cual no es medible directamente en experimentos; solo la temperatura es observable.

2. Metodología

Los autores proponen un marco de redes neuronales basado en la física que descubre modelos constitutivos utilizando la energía interna ($e$) y un potencial de disipación ($\phi$) como funciones primarias, en lugar de la energía de Helmholtz.

• Formulación Termodinámica:

  • Se define el estado del material en términos del gradiente de deformación ($F$) y la densidad de entropía referencial ($s$).
  • La temperatura ($T$) se trata como una variable observable independiente, mientras que la entropía se infiere internamente a través de la ley de estado termodinámica ($T = \partial e / \partial s$).
  • Se utilizan las desigualdades de Clausius-Duhem para garantizar la admisibilidad termodinámica.

• Arquitectura de Red Neuronales (ICNNs):

  • Redes Neuronales de Entrada Convexa (ICNNs): Se emplean para representar tanto la energía interna como el potencial de disipación. Esto garantiza matemáticamente que las funciones sean convexas, cumpliendo así con la segunda ley de la termodinámica por diseño.
  • Invariancia y Simetría: Se incorporan principios de objetividad y simetría material (isotropía) utilizando invariantes del tensor de Cauchy-Green derecho ($C$) y del gradiente térmico ($g$).
  • Anclaje a Cero: Las redes están diseñadas para que la salida sea cero cuando la entrada es cero (estado de reposo), asegurando condiciones de normalización correctas.
  • Red Auxiliar de Entropía: Durante el entrenamiento, se utiliza un Perceptrón Multicapa (MLP) auxiliar para predecir la entropía y acelerar el proceso, evitando la necesidad de resolver iterativamente la ley de estado implícita en cada paso. En la fase de inferencia, se reintroduce el solver iterativo (Newton-Raphson) para garantizar la precisión física.

• Función de Pérdida:

  • Se utiliza una estrategia de aprendizaje no supervisado donde la función de pérdida se basa en los residuos de las ecuaciones de balance (momento lineal y energía) discretizadas mediante el Método de Elementos Finitos (FEM).
  • Incluye términos de regularización para controlar la complejidad y una pérdida auxiliar para asegurar la consistencia entre la temperatura predicha y la derivada de la energía interna respecto a la entropía.

3. Contribuciones Clave

• Nueva Formulación Termodinámica: El trabajo introduce el uso de la energía interna y la entropía como variables primarias en el aprendizaje de modelos constitutivos, evitando las dificultades de las formulaciones basadas en Helmholtz.
• Consistencia por Construcción: La arquitectura de la red garantiza que el modelo aprenda sea termodinámicamente admisible (cumple la segunda ley) sin necesidad de penalizaciones externas, gracias al uso de ICNNs.
• Compatibilidad con Datos Experimentales: El marco permite entrenar modelos utilizando únicamente datos de temperatura y deformación, sin requerir mediciones directas de entropía, inferiéndola internamente de manera consistente.
• Descubrimiento de Modelos Estructurados: El enfoque no solo ajusta parámetros, sino que descubre la estructura constitutiva subyacente, capaz de capturar comportamientos no lineales y acoplamientos complejos.

4. Resultados

Los autores validaron el marco en cuatro casos de estudio utilizando datos sintéticos y experimentales:

1. Difusión de Calor Transitoria (Datos Sintéticos): El modelo aprendió con éxito la ley de Fourier y la capacidad calorífica, capturando la evolución temporal de la temperatura y el flujo de calor en un conductor rígido.
2. Tejido Porcino (Datos Experimentales): Se descubrió el comportamiento mecánico dependiente de la temperatura. El modelo capturó cualitativamente el ablandamiento térmico, aunque destacó la dificultad de manejar la expansión térmica no medida en los datos experimentales originales.
3. Goma Cargada con Negro de Carbono (Datos Experimentales): Similar al caso anterior, el modelo replicó la respuesta mecánica no lineal. Se observó una discrepancia en el rango de altas temperaturas donde el modelo no pudo capturar el endurecimiento térmico (inversión termoelástica), posiblemente debido a limitaciones en los datos o suposiciones de incompresibilidad.
4. Ejemplo Estructural Acoplado (Datos Sintéticos): Se entrenó un modelo para una placa con un agujero elíptico bajo cargas combinadas. El modelo generalizó exitosamente a un problema de prueba no visto (una estructura tipo resorte), prediciendo con precisión las fuerzas de reacción y los campos de temperatura en condiciones de carga acoplada. Sin embargo, en el caso de calentamiento inducido por deformación (efectos muy pequeños), el modelo tuvo dificultades para resolver los cambios de temperatura de orden $10^{-2}$ K, evidenciando limitaciones en la resolución de efectos de acoplamiento débil.

5. Significado e Impacto

Este trabajo representa un avance significativo en la mecánica computacional y el aprendizaje automático científico:

• Viabilidad Práctica: Demuestra que las formulaciones basadas en entropía, aunque teóricamente sólidas, son viables y robustas para el descubrimiento de modelos en la práctica, superando las barreras de implementación de las formulaciones de Helmholtz.
• Robustez Termodinámica: Establece un nuevo estándar para la creación de modelos constitutivos que respetan las leyes de la física por diseño, reduciendo el riesgo de predicciones no físicas.
• Guía para la Generación de Datos: Los resultados subrayan que la calidad y la completitud de los datos son críticas. Para descubrir efectos de acoplamiento débil (como el calentamiento por deformación), se requieren estrategias de entrenamiento específicas y datos que exciten adecuadamente estos mecanismos.
• Aplicabilidad General: El marco es aplicable a una amplia gama de materiales y problemas, desde la conducción de calor pura hasta la termomecánica no lineal de grandes deformaciones, ofreciendo una ruta prometedora para la modelación de materiales complejos como tejidos biológicos y polímeros.

En resumen, el artículo presenta un marco unificado que combina la rigurosidad de la termodinámica clásica con la flexibilidad del aprendizaje profundo, permitiendo la descubrimiento de modelos constitutivos precisos y físicamente consistentes para problemas termomecánicos acoplados.