A Convex Route to Thermomechanics: Learning Internal Energy and Dissipation

1. Problématique et Contexte

La mécanique des milieux continus et la thermodynamique sont intrinsèquement liées : la déformation des matériaux implique le stockage d'énergie, l'échange de chaleur et la dissipation d'énergie via des mécanismes irréversibles. Bien que des formulations classiques existent (notamment basées sur l'énergie de Helmholtz), la construction de modèles constitutifs capables de capturer des réponses couplées complexes tout en restant thermodynamiquement cohérents reste un défi majeur.

Les approches récentes d'apprentissage automatique axées sur la physique (Physics-Informed Neural Networks - PINNs) se divisent en deux catégories :

1. Architectures à contraintes fortes : Les réseaux de neurones sont conçus pour respecter directement les principes physiques.
2. Architectures à contraintes faibles : Les équations gouvernantes sont intégrées dans la fonction de perte (PINNs classiques).

Le vide de recherche identifié : La plupart des travaux existants en thermomécanique utilisent l'énergie de Helmholtz, ce qui impose des conditions de convexité/concavité mixtes (convexité par rapport à la déformation, concavité par rapport à la température). Ces conditions sont difficiles à imposer dans les réseaux de neurones. De plus, l'extension à des processus thermomécaniques fully coupled (pleinement couplés) incluant la dissipation reste largement inexplorée dans un cadre général et thermodynamiquement admissible.

2. Méthodologie Proposée

Les auteurs proposent un cadre d'apprentissage basé sur la physique qui reformule le problème en termes d'énergie interne ($e$) et d'un potentiel de dissipation ($\phi$), plutôt que de l'énergie de Helmholtz.

A. Fondements Théoriques

• Variables d'état : Le modèle est formulé en fonction du gradient de déformation ($F$) et de l'entropie ($s$), bien que la température ($T$) soit la grandeur observable expérimentale. L'entropie est déduite implicitement via la loi d'état.
• Potentiels :
  • Énergie interne : $e = e(F, s)$
  • Potentiel de dissipation : $\phi = \phi(\dot{F}, \dot{s}, g; F, s)$ (où $g$ est le gradient thermique).
• Avantage clé : Cette formulation évite la nécessité de conditions de courbure mixte (convexité/concavité) et facilite l'intégration cohérente des principes thermodynamiques, notamment la deuxième loi (inégalité de Clausius-Duhem).

B. Architecture du Réseau de Neurones

Pour garantir l'admissibilité thermodynamique par construction, les auteurs utilisent des Input Convex Neural Networks (ICNN) :

1. Convexité : Les réseaux sont conçus pour être convexes par rapport à leurs entrées spécifiques.
   • L'énergie interne est représentée par des FICNN (Fully Input Convex Neural Networks) pour assurer la convexité conjointe par rapport à la déformation et l'entropie (ou la polyconvexité).
   • Le potentiel de dissipation est représenté par un PICNN (Partially Input Convex Neural Network), convexe par rapport aux taux de déformation et de flux thermique, mais paramétré par l'état actuel ($F, s$).
2. Principes Matériaux Intégrés :
   • Objectivité et Symétrie : Assurées par l'utilisation d'invariants (invariants de Cauchy-Green $C$, cofacteur, déterminant) et de normes tensorielles.
   • Normalisation : Les potentiels sont "ancrés à zéro" (zero-anchored) pour satisfaire les conditions aux limites de l'état de repos ($P=0, T=T_0$).
   • Entropie : Un MLP auxiliaire est utilisé pendant l'entraînement pour prédire l'entropie à partir de la température, accélérant ainsi le processus. Lors de l'inférence, un solveur itératif (Newton-Raphson) est réintroduit pour garantir la satisfaction exacte de la loi d'état.

C. Fonction de Perte et Entraînement

L'entraînement utilise une stratégie non supervisée basée sur les lois de conservation (quantité de mouvement et énergie) :

• Perte Physique ($L_{phys}$) : Minimisation du résidu global des équations d'équilibre discrétisées (méthode des éléments finis).
• Perte Auxiliaire ($L_{aux}$) : Assure la cohérence entre la température prédite et la dérivée de l'énergie interne par rapport à l'entropie.
• Régularisation : Termes L1/L2 pour contrôler la complexité et favoriser la parcimonie.

3. Résultats Principaux

L'approche a été validée sur quatre cas d'étude (données synthétiques et expérimentales) :

1. Diffusion thermique pure (Synthétique) :

   • Le modèle apprend correctement la loi de Fourier et la capacité thermique.
   • La dissipation domine l'activité du réseau, comme attendu pour un problème purement thermique.
   • Les prédictions de flux de chaleur correspondent parfaitement à la solution de référence.

2. Tissus de porc (Données expérimentales) :

   • Le modèle capture le comportement mécanique dépendant de la température et le ramollissement thermique.
   • Il identifie implicitement une température de référence cohérente avec les états sans contrainte, malgré l'absence de données explicites sur l'expansion thermique dans le jeu de données original.

3. Caoutchouc chargé au noir de carbone (Données expérimentales) :

   • Le modèle reproduit bien le comportement non linéaire à basse température.
   • Limitation : Il échoue à capturer le durcissement thermique observé à haute température (inversion thermoélastique), probablement dû aux hypothèses de modélisation (incompressibilité imposée vs expansion thermique réelle) et à la nature des données.

4. Structure couplée (Synthétique - Plaque avec trou elliptique et ressort) :

   • Entraînement : Utilisation de scénarios de chargement multiples (déformation pure, thermique pure, couplé) pour enrichir les données.
   • Test : Le modèle généralise correctement à une géométrie non vue (ressort) et prédit avec précision les forces de réaction et les champs de température pour des chargements couplés.
   • Limitation : Le modèle peine à capturer les effets de couplage très faibles (auto-échauffement dû à la déformation, variations de température de l'ordre de $10^{-2}$ K) car ces signaux sont noyés par les contributions thermiques dominantes lors de l'entraînement.

4. Contributions Clés

1. Changement de paradigme thermodynamique : Passage de l'énergie de Helmholtz à l'énergie interne et au potentiel de dissipation, éliminant les contraintes de convexité/concavité mixtes complexes.
2. Admissibilité par construction : L'intégration des principes thermodynamiques (deuxième loi, objectivité, symétrie) directement dans l'architecture du réseau via des ICNN et des représentations invariantes.
3. Gestion de l'entropie : Une méthode hybride utilisant un MLP auxiliaire pour l'entraînement (efficacité) et un solveur implicite pour l'inférence (rigueur thermodynamique), permettant d'utiliser la température comme variable d'entrée sans données d'entropie.
4. Démonstration de généralisation : Capacité du modèle à apprendre des lois constitutives complexes à partir de données de champ (éléments finis) et à prédire le comportement sur des géométries et des chargements non vus.

5. Signification et Conclusion

Cet article démontre que la formulation basée sur l'entropie et l'énergie interne est une voie praticable et robuste pour la découverte de modèles constitutifs en thermomécanique couplée.

• Avantages : Le cadre est thermodynamiquement cohérent par défaut, évitant les violations physiques fréquentes dans les approches purement data-driven. Il permet de découvrir des relations constitutives sans structure prédéfinie.
• Limites : La qualité du modèle découvert dépend fortement de la complétude et de la cohérence des données d'entraînement (notamment la prise en compte de l'expansion thermique). Les effets de couplage faibles (faible échelle) restent difficiles à identifier sans stratégies d'entraînement spécifiques.
• Perspectives : Ce travail ouvre la voie à l'extension vers des matériaux inélastiques et à l'amélioration des stratégies de génération de données pour capturer des interactions multiphysiques subtiles.

En résumé, les auteurs proposent une architecture de réseau de neurones structurée qui transforme la découverte de modèles thermomécaniques d'un problème de régression non contrainte en un problème de découverte de modèles structurés, garantissant la validité physique tout en apprenant à partir de données complexes.