A Convex Route to Thermomechanics: Learning Internal Energy and Dissipation

Título do Artigo

Uma Rota Convexa para Termomecânica: Aprendizado de Energia Interna e Dissipação

1. Problema e Motivação

A mecânica e a termodinâmica estão intrinsecamente ligadas: quando materiais se deformam, eles armazenam energia, trocam calor e dissipam potência através de mecanismos irreversíveis. Embora a formulação clássica de termomecânica seja bem estabelecida, a construção de modelos constitutivos que sejam simultaneamente termodinamicamente consistentes e capazes de capturar respostas acopladas complexas (deformação e temperatura) permanece um desafio.

A maioria das abordagens recentes de aprendizado de máquina baseado em física para termomecânica utiliza a Energia de Helmholtz como potencial energético primário. No entanto, essa abordagem exige a imposição de condições mistas de convexidade-concavidade (convexidade em relação à deformação e concavidade em relação à temperatura) dentro das arquiteturas de redes neurais, o que é matematicamente complexo e difícil de implementar rigorosamente. Além disso, a extensão dessas formulações para processos termomecânicos totalmente acoplados com dissipação (não apenas termoelásticos) ainda é uma lacuna significativa na literatura.

2. Metodologia

O artigo propõe um novo framework baseado em redes neurais que formula o comportamento constitutivo em termos de Energia Interna ($e$) e um Potencial de Dissipação ($\phi$), em vez da Energia de Helmholtz.

Formulação Termodinâmica

• Variáveis Primárias: O estado do material é descrito pelo par (gradiente de deformação $F$, entropia referencial $s$). A temperatura ($T$) é tratada como uma variável observável independente, enquanto a entropia é inferida internamente através da relação constitutiva.
• Potenciais:
  • Energia Interna ($e$): Função de $F$ e $s$.
  • Potencial de Dissipação ($\phi$): Função do gradiente térmico ($g$), parametrizada por $F$ e $s$.
• Vantagem: Esta escolha elimina a necessidade de impor concavidade em relação à temperatura, substituindo-a por requisitos de convexidade mais diretos e tratáveis.

Arquitetura de Rede Neural

A consistência termodinâmica é garantida "por construção" através de restrições arquiteturais rigorosas:

1. Redes Neurais Convexas de Entrada (ICNNs): São utilizadas para representar os potenciais, garantindo que a energia interna seja convexa em relação à entropia e que o potencial de dissipação seja convexo em relação ao gradiente térmico. Isso assegura a satisfação da Segunda Lei da Termodinâmica (desigualdade de Clausius-Duhem).
2. Invariância e Simetria: A objetividade e a simetria material (para materiais isotrópicos) são incorporadas diretamente na arquitetura utilizando invariantes do tensor de Cauchy-Green direito ($C$) e do gradiente de deformação.
3. Ancoragem Zero: As redes são projetadas para que a saída seja zero quando as entradas são zero (estado de repouso), facilitando a normalização e a estabilidade.
4. Rede Auxiliar de Entropia: Durante o treinamento, uma Rede Neural Perceptron Multicamada (MLP) auxiliar é usada para prever a entropia diretamente a partir da temperatura e deformação, acelerando o processo. Durante a inferência, um solver iterativo (Newton-Raphson) é reutilizado para garantir a precisão termodinâmica exata.

Função de Perda

O treinamento utiliza uma estratégia de aprendizado não supervisionado baseada em física, minimizando:

• Perda Física ($L_{phys}$): O resíduo das equações de balanço (momento linear e energia interna) discretizadas via Método dos Elementos Finitos.
• Regularização: Termos $L_1$ e $L_2$ para promover esparsidade e estabilidade.
• Perda Auxiliar: Garante a consistência entre a lei de estado termodinâmica ($T = \partial e / \partial s$) e a previsão da rede auxiliar.

3. Principais Contribuições

1. Mudança de Paradigma Potencial: Introdução de uma formulação baseada em Energia Interna e Entropia para descoberta de modelos em termomecânica acoplada, evitando as complexidades da concavidade da Energia de Helmholtz.
2. Garantia de Admissibilidade Termodinâmica: Desenvolvimento de arquiteturas de redes neurais onde a convexidade, a objetividade e a segunda lei da termodinâmica são garantidas estruturalmente, não apenas penalizadas na função de perda.
3. Descoberta de Modelos sem Dados de Entropia: O framework permite aprender modelos usando apenas dados de temperatura (observável experimental), inferindo a entropia internamente de forma consistente.
4. Validação em Múltiplas Escalas: Demonstração da eficácia do método em problemas puramente térmicos, comportamentos mecânicos dependentes da temperatura (tecidos biológicos e borrachas) e problemas estruturais totalmente acoplados.

4. Resultados

O framework foi testado em quatro cenários distintos:

• Difusão de Calor Transiente (Dados Sintéticos): O modelo aprendeu com sucesso a lei de Fourier e a capacidade térmica, capturando perfis de temperatura não lineares e fluxos de calor em um condutor rígido. A rede de dissipação dominou a atividade, conforme o esperado.
• Tecido Suíno (Dados Experimentais): O modelo descobriu o comportamento mecânico dependente da temperatura de tecidos moles. Apesar de inconsistências nos dados originais (como a falta de consideração da expansão térmica no estado de repouso), a rede aprendeu uma estrutura energética termodinamicamente consistente e capturou o amolecimento do material com o aumento da temperatura.
• Borracha Carregada com Carbono (Dados Experimentais): O modelo capturou a resposta não linear e dependente da temperatura. Embora tenha falhado em reproduzir o "endurecimento térmico" em altas temperaturas (um fenômeno complexo de inversão termoelástica), o desempenho foi comparável a abordagens baseadas em Helmholtz em outras faixas de temperatura.
• Estrutura Acoplada (Dados Sintéticos): Em um problema estrutural com um furo elíptico e um espécime tipo mola, o modelo foi capaz de generalizar para condições de contorno não vistas.
  • Desempenho: O modelo previu com alta precisão as forças de reação e campos de temperatura em cenários de carregamento acoplado.
  • Limitação: O modelo teve dificuldade em capturar efeitos de acoplamento fraco, especificamente o aquecimento induzido por deformação (auto-aquecimento), devido à magnitude extremamente pequena dessas variações de temperatura ($10^{-2}$ K) em comparação com os efeitos térmicos dominantes, o que torna a identificação difícil durante o treinamento.

5. Significado e Conclusão

Este trabalho estabelece uma rota viável e robusta para a descoberta de modelos constitutivos em termomecânica totalmente acoplada. Ao substituir a Energia de Helmholtz pela Energia Interna e utilizar redes neurais convexas de entrada (ICNNs), os autores superam as barreiras de implementação de restrições de concavidade mista.

Pontos Chave de Impacto:

• Consistência Estrutural: A termodinâmica não é uma pós-verificação, mas uma parte intrínseca da arquitetura da rede.
• Interpretabilidade: A análise de atividade das sub-redes mostra que o framework aprende papéis físicos distintos (armazenamento de energia vs. dissipação) de forma interpretável.
• Dependência de Dados: O estudo destaca que a qualidade da descoberta de modelos é limitada pela consistência e completude dos dados experimentais (ex: necessidade de considerar expansão térmica nos dados de referência) e pela escala relativa dos efeitos físicos acoplados.

O código, dados e modelos treinados foram disponibilizados publicamente, facilitando a reprodutibilidade e o avanço futuro na área de aprendizado de máquina para mecânica dos sólidos e termodinâmica.