A Convex Route to Thermomechanics: Learning Internal Energy and Dissipation

Probleemstelling

De constructie van constitutieve modellen voor volledig gekoppelde thermomechanica (de interactie tussen mechanische vervorming en thermische effecten) blijft een uitdagende taak. Traditionele data-gedreven benaderingen in de mechanica kampen vaak met het probleem dat ze thermodynamische principes (zoals de tweede hoofdwet) niet inherent garanderen.

• Bestaande beperkingen: Veel recente methoden baseren zich op de Helmholtz vrije energie ($\psi$). Hoewel dit handig is omdat temperatuur ($T$) een meetbare grootheid is, vereist thermodynamische stabiliteit dat $\psi$ convex is in vervorming en concave is in temperatuur. Het opleggen van deze gemengde convexiteit-concaviteit-condities binnen een neurale netwerkarchitectuur is complex en numeriek onstabiel.
• Het gat in de literatuur: Er ontbreekt een algemeen raamwerk dat irreversibele thermische effecten (dissipatie) integreert, thermodynamische principes "by construction" (door ontwerp) respecteert, en toch compatibel blijft met de meetbare temperatuur als onafhankelijke variabele.

Methodologie

De auteurs presenteren een fysica-gedreven neurale netwerkkader (Physics-Based Neural Networks) dat constitutieve modellen ontdekt door gebruik te maken van inwendige energie ($e$) en een dissipatiepotentiaal ($\phi$), in plaats van de Helmholtz energie.

1. Theoretisch Fundament:

• Variabelen: De toestand wordt beschreven door de vervormingsgradiënt ($F$) en de entropiedichtheid ($s$). De temperatuur ($T$) wordt behandeld als een onafhankelijk waarneembaar, terwijl de entropie intern wordt afgeleid via de constitutieve relatie $T = \partial e / \partial s$.
• Thermodynamische consistentie: De Clausius-Duhem ongelijkheid wordt gebruikt om de constitutieve wetten af te leiden. De spanning ($P$) en warmtestroom ($q$) worden direct gedefinieerd als afgeleiden van de potentiële functies:
  • $P = \partial e / \partial F$
  • $T = \partial e / \partial s$
  • $q = \partial \phi / \partial g$ (waarbij $g$ de temperatuurgradiënt is).
• Convexiteit: In plaats van gemengde convexiteit/concaviteit, eist het model dat de inwendige energie $e$ convex is in zowel $F$ als $s$, en dat de dissipatiepotentiaal $\phi$ convex is in de stroomvariabelen. Dit is veel makkelijker te implementeren in neurale netwerken.

2. Neurale Netwerk Architectuur:

• Input Convex Neural Networks (ICNN): Er worden speciaal ontworpen netwerken gebruikt (FICNN en PICNN) die convexiteit garanderen door beperkingen op de gewichten (niet-negatief) en activatiefuncties (convex en monotoon stijgend).
• Symmetrie en Objectiviteit: De netwerken gebruiken invariante grootheden (zoals de invariants van de Cauchy-Green tensor en temperatuurgradiënten) om objectiviteit en materiaalsymmetrie (isotropie) direct in de architectuur te verankeren.
• Zero-Anchoring: De netwerken zijn zo ontworpen dat ze nul opleveren bij een rusttoestand (geen vervorming, referentietemperatuur), wat normalisatie en stabiliteit bevordert.
• Hulpnetwerk voor Entropie: Omdat entropie niet direct meetbaar is, wordt een hulp-Multilayer Perceptron (MLP) gebruikt tijdens het trainen om $s$ te voorspellen op basis van $F$ en $T$. Na training wordt dit vervangen door een iteratieve solver (Newton-Raphson) om de exacte thermodynamische relatie te handhaven.

3. Trainingsstrategie:

• Verliesfunctie: Het trainingsdoel bestaat uit een fysica-gedreven verlies (basierend op de zwakke vormen van de balanswetten voor impuls en energie), een regularisatieterm (voor stabiliteit en sparsiteit) en een hulplijst voor consistentie tussen de voorspelde entropie en de temperatuur.
• Data: De methode wordt getest op zowel synthetische data (gegenereerd met bekende modellen) als experimentele data (varkensweefsel en koolstofgevuld rubber).

Belangrijkste Bijdragen

1. Nieuw Raamwerk: Introductie van een raamwerk voor thermomechanica dat gebaseerd is op inwendige energie en dissipatie, wat de noodzaak van gemengde convexiteit-concaviteit-condities elimineert.
2. Architecturale Garantie: Thermodynamische toelaatbaarheid (inclusief de tweede hoofdwet) is gegarandeerd door het ontwerp van het neurale netwerk, niet door straffen in de verliesfunctie.
3. Omgaan met Entropie: Een innovatieve aanpak waarbij entropie als interne variabele wordt behandeld, terwijl temperatuur de input blijft, waardoor het model direct toepasbaar is op experimentele data zonder entropiemetingen.
4. Universele Toepasbaarheid: Het kader is succesvol toegepast op pure thermische problemen, temperatuurafhankelijke mechanica, en volledig gekoppelde structurele problemen.

Resultaten

De auteurs testen het model op vier scenario's:

1. Synthetisch: Warmtediffusie: Het model leert succesvol de Fourier-wet en de tijdsafhankelijke warmtestroom uit data, waarbij de dissipatiepotentiaal de dominante rol speelt.
2. Experimenteel: Varkensweefsel: Het model herkent de temperatuurafhankelijke mechanische respons en zachtwording bij hogere temperaturen. Het kan de referentietemperatuur impliciet identificeren, ondanks dat deze niet expliciet in de data staat.
3. Experimenteel: Koolstofgevuld Rubber: Het model reproduceert de niet-lineaire mechanische respons. Hoewel het de "thermo-elastische inversie" (verharding bij zeer hoge temperaturen) niet volledig kon reproduceren (mogelijk door beperkingen in de data of het model van de referentieconfiguratie), presteerde het goed in het lagere temperatuurbereik.
4. Synthetisch: Volledig gekoppeld structuurprobleem (Plaat met gat en veer-achtige structuur):
   • Het model leert een model dat generaliseert naar ongezette randvoorwaarden.
   • Het voorspelt nauwkeurig de mechanische reactiekrachten en warmtestromen bij gekoppelde belasting.
   • Beperking: Het model had moeite om zeer zwakke effecten te detecteren, zoals zelfverwarming door elastische vervorming (orde $10^{-2}$ K), omdat deze signalen te klein zijn vergeleken met dominante thermische effecten in de trainingsdata.

Significantie en Conclusie

Dit werk biedt een robuust en thermodynamisch consistent pad voor het ontdekken van constitutieve modellen in de thermomechanica.

• Theoretische doorbraak: Door te schakelen van Helmholtz-energie naar inwendige energie, wordt de complexiteit van het opleggen van convexiteit/concaviteit opgelost, wat leidt tot stabielere training en betere generalisatie.
• Praktische toepasbaarheid: Het kader is in staat om complexe, gekoppelde fysische gedragingen te leren zonder vooraf gedefinieerde modelstructuren, terwijl het strikt voldoet aan de fundamentele wetten van de thermodynamica.
• Toekomstperspectief: De studie benadrukt dat de kwaliteit van data-gedreven ontdekking sterk afhankelijk is van de kwaliteit en volledigheid van de trainingsdata (bijv. noodzaak van data die thermische uitzetting omvat) en dat zeer zwakke koppelingseffecten mogelijk gerichte trainingsstrategieën vereisen.

Kortom, de auteurs tonen aan dat entropie-gebaseerde formuleringen, ondersteund door Input Convex Neural Networks, een veelbelovende en structureel consistente route zijn voor geautomatiseerd modelontdekking in de thermomechanica.