Exact Formulas for Coprime Representations of Even Integers Avoiding a Prime

Resumen Técnico

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda un problema clásico en la teoría de números aditiva: la enumeración exacta de las representaciones de un entero par $2n$ como la suma de dos enteros positivos $h$ y $k$ ($h + k = 2n, h \le k$) que satisfacen condiciones de coprimalidad específicas.

Se define la función de conteo $g(2n, p)$ para un primo fijo $p \ge 5$:
$$g(2n, p) = \# \left\{ (h, k) \in \mathbb{Z}_{>0}^2 : h + k = 2n, h \le k, \gcd(h, 6p) = \gcd(k, 6p) = 1 \right\}$$

El objetivo es contar pares que eviten los factores primos 2, 3 y $p$. Mientras que los métodos tradicionales (como el tamiz o la inversión de Möbius) proporcionan estimaciones asintóticas o fórmulas periódicas complejas basadas en inclusiones-exclusiones, este trabajo busca fórmulas cerradas explícitas que revelen la estructura afín subyacente de la función de conteo.

2. Metodología

La metodología se basa en el análisis de las restricciones de residuos módulo 6 y módulo $p$, utilizando operadores de resto canónicos y el algoritmo de Euclides.

• Descomposición Modular: Los enteros coprimos con 6 son de la forma $6x+1$ o $6x+5$. La suma $h+k=2n$ impone restricciones sobre la clase de residuo de $n$ módulo 3:

  • Si $n \equiv 0 \pmod 3$, la suma es de un término de la forma $6x+1$ y otro de $6y+5$.
  • Si $n \equiv 1 \pmod 3$, ambos términos son de la forma $6x+1$.
  • Si $n \equiv 2 \pmod 3$, ambos términos son de la forma $6x+5$.

• Resolución de Ecuaciones de Residuos: El problema se reduce a encontrar soluciones mínimas para ecuaciones de la forma $\delta_p(6x + c) = 0$, donde $\delta_k(x)$ es el operador de resto canónico ($x - k\lfloor x/k \rfloor$). Esto determina qué clases de residuos módulo $p$ deben ser excluidas.

• Algoritmo de Euclides Expanso: El autor deriva una fórmula cerrada para la solución mínima de ecuaciones lineales de residuos $\delta_k(a_0 x) = b_0$ utilizando una secuencia generada por el algoritmo de Euclides, expresada enteramente mediante el operador de resto $\delta_k$.

• Conteo Combinatorio: Se utilizan funciones indicadoras y vectores de conteo para separar los casos en pares estrictamente ordenados ($h < k$) y pares diagonales ($h = k$), combinando las soluciones de residuos con las restricciones de acotación.

3. Contribuciones Clave

1. Fórmulas Cerradas Explícitas (Teorema 4.13):
   Se proporciona una expresión matemática exacta para $g(2n, p)$ que no requiere sumas alternadas sobre divisores. La fórmula depende de:

   • El operador de resto $\delta_k$.
   • Funciones escalón elementales.
   • Dos parámetros de residuo mínimos, $a(p)$ y $b(p)$, que son las soluciones mínimas de:
     $$6x \equiv -1 \pmod p \quad \text{y} \quad 6x \equiv -5 \pmod p$$

2. Algoritmo de Solución Mínima (Sección 3):
   Se presenta un método eficiente (Teorema 3.2) para calcular la solución única de $\delta_k(a_0 x) = b_0$ en el conjunto $\{0, \dots, k-1\}$ mediante una secuencia recursiva derivada del algoritmo de Euclides, evitando la búsqueda exhaustiva.

3. Estructura Afín por Partes:
   El trabajo demuestra que $g(2n, p)$ es una función afín por partes a lo largo de progresiones aritméticas de $n$. La estructura está gobernada por las clases de residuo de $n$ módulo 3 y módulo $p$. Esta estructura no es evidente en las fórmulas de inclusión-exclusión tradicionales.

4. Eficiencia Computacional:

   • Precomputación: Los parámetros $a(p)$ y $b(p)$ se calculan una sola vez en tiempo $O(\log p)$.
   • Evaluación: Una vez precalculados, cada evaluación de $g(2n, p)$ requiere solo $O(1)$ operaciones aritméticas.
   • Comparación: Esto representa una mejora drástica frente a la enumeración directa (fuerza bruta), que requiere $O(n)$ operaciones.

4. Resultados y Validación

• Validación Computacional: Las fórmulas se validaron exhaustivamente contra un oráculo de fuerza bruta para todos los enteros pares $2n \le 10^5$ y para los primos $p \in \{5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$. Se observó un acuerdo perfecto en los 350,000 casos de prueba.
• Visualización: Los gráficos generados (Figura 1) muestran claramente la estructura de "familias afines paralelas" correspondientes a las clases de residuo de $n$ módulo $3p$.
• Código: El código fuente para la implementación de las fórmulas cerradas y el oráculo de fuerza bruta está disponible públicamente.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es significativo por varias razones:

• Precisión Teórica: Transforma un problema de conteo que generalmente se aborda con estimaciones asintóticas o fórmulas periódicas complejas en una solución algebraica cerrada y manejable.
• Eficiencia Práctica: Permite calcular el número de representaciones coprimas para enteros muy grandes instantáneamente, lo cual es crucial en aplicaciones de criptografía o teoría de números computacional donde la enumeración directa es inviable.
• Generalización: El enfoque basado en residuos y el algoritmo de Euclides para resolver ecuaciones de residuos sugiere que el método puede extenderse a conjuntos de exclusión más grandes (evitando múltiples primos), aunque esto requeriría un análisis de casos más complejo.

En conclusión, Salazar logra descomponer la complejidad combinatoria del problema en una estructura algebraica simple y eficiente, proporcionando una herramienta poderosa para el conteo exacto en teoría de números aditiva.