🔢 mathematics

Exact Formulas for Coprime Representations of Even Integers Avoiding a Prime

Dit artikel presenteert exacte gesloten formules voor het aantal koppel van onderling ondeelbare positieve gehele getallen die een even getal vormen en geen veelvoud zijn van een vast priemgetal $p \ge 5$ , waarbij de berekening via restklassen en de Euclidische algoritme in constante tijd plaatsvindt in plaats van door directe enumeratie.

Oorspronkelijke auteurs: Andres M. Salazar

Gepubliceerd 2026-04-06

📖 4 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Andres M. Salazar

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een enorme puzzel hebt: je moet een even getal (zoals 100 of 1000) splitsen in twee andere positieve getallen. Maar er zijn strenge regels voor deze twee nieuwe getallen:

Ze mogen niet deelbaar zijn door 2 (dus geen even getallen).
Ze mogen niet deelbaar zijn door 3.
Ze mogen niet deelbaar zijn door een specifiek groot getal, laten we zeggen een priemgetal $p$ (zoals 5, 7 of 11).

De vraag die de auteur, Andrés Salazar, zich stelt is: "Hoeveel manieren zijn er om dat even getal te splitsen, zonder dat we tegen de regels aanlopen?"

In de wiskunde heet dit het tellen van "coprime representaties".

Het oude probleem: Tellen tot je duizelig bent

Vroeger was de enige manier om dit antwoord te vinden om gewoon alle mogelijke combinaties één voor één te proberen.

Voorbeeld: Als je het getal 1.000.000 wilt splitsen, moet je kijken bij 1, dan bij 2, dan bij 3, enzovoort, tot bij 500.000.
Dit is als het proberen van elke sleutel in een enorme sleutelbos om de juiste deur te openen. Het werkt, maar het kost ontzettend veel tijd. Hoe groter het getal, hoe langer het duurt.

De nieuwe oplossing: Een slimme formule

Salazar heeft een magische formule bedacht. In plaats van te tellen, kun je nu direct het antwoord berekenen met een paar simpele rekensommen.

Hoe werkt deze formule? Hij gebruikt een paar slimme trucjes:

1. De "Restjesspeurder" (De $\delta$ -operator)
Stel je voor dat je een getal deelt door 6. Je bent niet geïnteresseerd in het hele getal, maar alleen in wat er overblijft (de rest).

Als je een getal deelt door 6 en er blijft 1 over, dan is het getal "veilig" (niet deelbaar door 2 of 3).
Als er 2, 3, 4 of 0 overblijft, is het "gevaarlijk".
De formule kijkt alleen naar deze restjes. Het is alsof je alleen naar de kleur van de auto's kijkt in een file, en niet naar het merk of het bouwjaar.

2. De "Sleutelkast" (De priemgetallen $p$ )
Elk priemgetal $p$ (zoals 5, 7, 11) heeft zijn eigen unieke "verboden zone".
Salazar heeft ontdekt dat je voor elk priemgetal $p$ twee specifieke "sleutels" kunt vinden (noem ze $a(p)$ en $b(p)$ ). Deze sleutels vertellen je precies welke restjes je moet vermijden als je door $p$ deelt.

Analogie: Stel je voor dat je een dansfeest organiseert. Voor elke gast (priemgetal $p$ ) is er een specifieke danspas die ze niet mogen doen. Salazar's formule berekent direct welke pas dat is, zodat je die gasten niet hoeft uit te nodigen.

3. De "Trap" (De stuksgewijze structuur)
De formule is niet één grote, ingewikkelde vergelijking. Het is meer als een trap.

Als je getal $n$ een bepaalde rest geeft als je het door 3 deelt, dan gebruik je de "linker trap".
Als je een andere rest geeft, gebruik je de "rechter trap".
Binnen elke trap is de relatie heel simpel en lineair (zoals een rechte lijn). Dit betekent dat als je het getal $n$ met een vast aantal vergroot, het aantal mogelijke splitsingen ook met een vast aantal toeneemt.

Waarom is dit zo cool?

Snelheid: De oude methode (tellen) kost tijd die groeit met het getal zelf ( $O(n)$ ). Als je het getal 10 keer groter maakt, duurt het 10 keer langer.
De nieuwe formule kost altijd evenveel tijd ( $O(1)$ ), of je nu het getal 100 of 10 miljard hebt. Het is alsof je van het tellen van elke steen in een muur overgaat naar het meten van de muur met een laser.
Voorbereiding: Je moet wel even twee kleine getallen berekenen (de "sleutels" $a(p)$ en $b(p)$ ) voordat je begint. Dit duurt heel kort (zoals het zoeken van een telefoonnummer). Eenmaal gevonden, kun je ze oneindig vaak gebruiken.
Betrouwbaarheid: De auteur heeft de formule getest tegen de "oude methode" voor duizenden getallen en alle priemgetallen tot 23. Het antwoord was altijd perfect hetzelfde.

Samenvatting in één zin

In plaats van te tellen hoeveel manieren er zijn om een getal te splitsen zonder dat je tegen de regels van 2, 3 en een priemgetal $p$ aanloopt, heeft deze wiskundige een slimme "rekenmachine" bedacht die direct het antwoord geeft door te kijken naar de restjes van delingen, waardoor het proces van uren naar een fractie van een seconde gaat.

Technische Samenvatting: Exacte Formules voor Coprieme Representaties van Even Getallen

1. Het Probleem

Het paper adresseert een klassiek probleem in de additieve getaltheorie: het tellen van het aantal manieren waarop een even geheel getal $2n$ kan worden geschreven als de som van twee positieve gehele getallen $h$ en $k$ (waarbij $h \le k$ ), onder de strikte voorwaarde dat beide getallen copriem zijn met $6p$ . Hierbij is $p \ge 5$ een vast priemgetal.

De te tellen functie is gedefinieerd als:
$g(2n, p) = \#\{(h, k) \in \mathbb{Z}_{>0}^2 : h + k = 2n, h \le k, \gcd(h, 6p) = \gcd(k, 6p) = 1\}$

Dit betekent dat $h$ en $k$ geen delers mogen hebben van 2, 3 of $p$ . Traditionele methoden, zoals het gebruik van de inclusie-exclusieprincipe of de Möbius-inversie, leveren vaak asymptotische schattingen of formules die wisselende sommen over delers bevatten. Deze benaderingen onthullen echter niet de onderliggende lineaire structuur van de functie en zijn computationally inefficiënt ( $O(n)$ ) voor grote waarden van $n$ .

2. Methodologie

De auteur ontwikkelt een nieuwe, exacte aanpak die de tellende functie uitdrukt in termen van elementaire operatoren en residuele eigenschappen. De kern van de methodologie bestaat uit drie pijlers:

De Restoperator $\delta_k(x)$ :
De auteur maakt gebruik van de canonieke restoperator gedefinieerd als $\delta_k(x) = x - k\lfloor x/k \rfloor$ . Dit stelt de auteur in staat om congruentievoorwaarden direct te manipuleren zonder resorteren tot complexe algebraïsche structuren. Belangrijke eigenschappen zoals compatibiliteit met optelling en vermenigvuldiging worden gebruikt om de problemen te reduceren.
Expliciete Oplossing van Lineaire Restvergelijkingen:
Een cruciaal technisch onderdeel is het afleiden van een expliciete, gesloten formule voor de minimale oplossing van vergelijkingen van de vorm $\delta_k(a_0 x) = b_0$ wanneer $\gcd(a_0, k) = 1$ .
- Dit wordt bereikt door het uitgebreide Euclidisch algoritme volledig te vertalen naar de restoperator $\delta_k$ .
- De oplossing wordt uitgedrukt als een som die afhangt van de sequenties gegenereerd door het algoritme, wat een directe berekening mogelijk maakt in $O(\log p)$ tijd.
Residuele Decompositie en Afhankelijkheid van $n \pmod 3$ :
De auteur analyseert de structuur van getallen copriem met 6. Deze vallen in twee klassen: $6x+1$ en $6x+5$ .
- Afhankelijk van de waarde van $\delta_3(n)$ $δ_{3} (n)$ (de rest van $n$ $n$ bij deling door 3), worden de mogelijke combinaties van $h$ $h$ en $k$ $k$ bepaald:
  - $n \equiv 0 \pmod 3$ : Eén term is van de vorm $6x+1$ , de andere $6y+5$ .
  - $n \equiv 1 \pmod 3$ : Beide termen zijn van de vorm $6x+1$ .
  - $n \equiv 2 \pmod 3$ : Beide termen zijn van de vorm $6x+5$ .
- Voor elke casus worden de uitsluitingsvoorwaarden voor het priemgetal $p$ geanalyseerd. Dit leidt tot het vinden van minimale oplossingen $a(p)$ en $b(p)$ voor de congruenties $6x \equiv -1 \pmod p$ en $6x \equiv -5 \pmod p$ .

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

De Hoofdstelling (Theorema 4.13):
Het paper presenteert een expliciete, gesloten formule voor $g(2n, p)$ . De formule is "stuksgewijs affien" (piecewise affine) langs rekenkundige rijen van $n$ . De formule is afhankelijk van:
1. De restklasse van $n$ modulo 3 (bepaalt het type decompositie).
2. De restklasse van $n$ modulo $p$ (bepaalt welke residueklassen worden uitgesloten).
3. De parameters $a(p)$ en $b(p)$ , die de minimale oplossingen zijn van de specifieke congruenties.
Complexiteitsverbetering:
- Directe enumeratie: Vereist $O(n)$ operaties om alle paren te controleren.
- Nieuwe formule: Vereist na een eenmalige voorbereiding (precomputation) van $a(p)$ en $b(p)$ in $O(\log p)$ tijd, slechts $O(1)$ rekenoperaties per evaluatie van $g(2n, p)$ . Dit is een aanzienlijke verbetering, vooral voor grote $n$ .
Validatie:
De formules zijn computationally gevalideerd voor alle even getallen $2n \le 10^5$ en voor priemgetallen $p \in \{5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$ . Er werd perfecte overeenstemming gevonden met een brute-force "oracle" (directe enumeratie) in alle 350.000 testgevallen.

4. Significatie en Toekomstperspectief

Structuur van de Telfunctie:
Het paper onthult dat $g(2n, p)$ niet willekeurig gedraagt, maar een duidelijke affiene structuur volgt die wordt bepaald door residueklassen modulo 3 en $p$ . Deze structuur was niet direct zichtbaar in eerdere inclusie-exclusie formules of asymptotische schattingen.
Efficiëntie:
De methode biedt een praktische oplossing voor het exact tellen van coprieme representaties zonder de noodzaak van dure iteraties. Dit is relevant voor toepassingen in cryptografie, combinatoriek en het analyseren van verdelingsproblemen.
Generaliseerbaarheid:
De auteur stelt dat de aanpak natuurlijk uitbreidt naar uitsluitingsverzamelingen van de vorm $\{2, 3, p_1, \dots, p_k\}$ voor een eindige collectie priemgetallen. Hoewel dit leidt tot meer casus-analyse (governed by residues modulo $6p_1 \cdots p_k$ ), blijft de fundamentele methode van het reduceren naar minimale oplossingen van lineaire restvergelijkingen geldig.

Conclusie:
Andrés M. Salazar levert een doorbraak door een complexe tellende functie te reduceren tot een efficiënt berekenbare, gesloten formule. Door gebruik te maken van de eigenschappen van de restoperator en het Euclidisch algoritme, wordt de afhankelijkheid van $n$ van een lineaire complexiteit naar een constante complexiteit gebracht, terwijl tegelijkertijd de onderliggende wiskundige structuur van het probleem wordt geïllumineerd.