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Exact Formulas for Coprime Representations of Even Integers Avoiding a Prime

Cet article établit des formules explicites et efficaces pour calculer le nombre de représentations copremières d'entiers pairs évitant un nombre premier $p$ , en utilisant des fonctions élémentaires et des solutions minimales de congruences pour obtenir une complexité de calcul constante par rapport à l'énumération directe.

Auteurs originaux : Andres M. Salazar

Publié 2026-04-06

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Andres M. Salazar

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Le Problème : Trouver des "Paires Amies"

Imaginez que vous avez un grand nombre pair, disons 2n (comme 100, 1000, ou 10 000). Votre mission est de trouver deux nombres positifs, h et k, qui s'additionnent pour donner exactement ce nombre (h + k = 2n).

Mais il y a des règles strictes pour que cette paire soit considérée comme "amie" (ou coprime dans le jargon mathématique) :

Les deux nombres ne doivent pas être divisibles par 2 (pas de nombres pairs).
Ils ne doivent pas être divisibles par 3.
Ils ne doivent pas être divisibles par un troisième nombre premier que vous choisissez, appelons-le p (par exemple 5, 7, 11, etc.).

En gros, vous cherchez des paires de nombres "propres" qui évitent les "mauvaises" familles (2, 3 et p).

Le Défi : Compter sans se tromper

Avant cette recherche, si quelqu'un voulait savoir combien de paires existent pour un nombre comme 10 000, il devait faire une tâche fastidieuse :

Prendre 1, vérifier si ça marche avec 9999.
Prendre 2, vérifier... (mais 2 est interdit !).
Prendre 3, vérifier... (interdit !).
Continuer jusqu'à la moitié du nombre.

C'est comme chercher une aiguille dans une botte de foin en vérifiant chaque brin un par un. Plus le nombre est grand, plus cela prend du temps. C'est ce qu'on appelle une méthode "brute-force" (force brute).

La Solution Magique : La Recette de Cuisine

L'auteur de ce papier, Andrés Salazar, a trouvé une recette mathématique (une formule exacte) pour obtenir le résultat instantanément, sans avoir à vérifier chaque nombre un par un.

Voici comment fonctionne sa magie, avec une analogie :

1. Le Tri par "Couleur" (Les restes modulo 3)

Imaginez que tous les nombres possibles sont des billes de trois couleurs différentes selon leur reste quand on les divise par 3 :

Billes Rouges (reste 0) : Elles se combinent avec d'autres billes rouges pour former des paires spécifiques.
Billes Vertes (reste 1) : Elles doivent s'associer à d'autres vertes.
Billes Bleues (reste 2) : Elles s'associent entre elles.

La première chose que la formule fait, c'est de regarder votre nombre 2n et de dire : "Ah ! C'est une bille verte. Donc je dois chercher des paires de billes vertes." Cela simplifie énormément le travail.

2. Le Filtre Invisible (Le nombre p)

Ensuite, il faut éviter le nombre p. C'est comme si vous aviez un filtre magique qui rejette certains numéros de billet.
L'auteur a découvert que pour éviter p, il suffit de connaître deux "numéros interdits" spécifiques qui dépendent de p. Il les appelle a(p) et b(p).

C'est comme si, pour un jeu de cartes avec le roi p, vous saviez d'avance que les cartes "As de Pique" et "Roi de Trèfle" sont interdites. Vous n'avez pas besoin de regarder chaque carte, vous savez juste les ignorer.

3. La Formule "Instantanée"

Au lieu de compter un par un, la formule utilise ces deux informations (la couleur de la bille et les numéros interdits) pour calculer directement le nombre de paires.

Avant : "Je vais vérifier 5 000 paires." (Prend du temps).
Maintenant : "Je regarde la couleur, je regarde les interdits, je fais un petit calcul rapide, et hop ! Le résultat est là."

Pourquoi c'est génial ?

Vitesse Éclair : Si vous voulez compter pour un nombre gigantesque (comme un milliard), la vieille méthode prendrait des années. La nouvelle formule prend une fraction de seconde. C'est passer de la marche à pied au voyage en fusée.
Précision Absolue : Ce n'est pas une estimation. C'est un compte exact. Comme si vous aviez une balance magique qui vous donne le poids exact sans peser chaque grain de sable.
Structure Cachée : Le papier révèle que ces nombres ne sont pas désordonnés. Ils suivent un motif géométrique très régulier (comme des marches d'escalier ou des vagues) qui dépend uniquement de la façon dont les nombres sont rangés par rapport à 3 et à p.

En Résumé

Ce papier nous donne un guide de navigation pour traverser une mer de nombres. Au lieu de nager à la force des bras (vérifier chaque nombre), nous avons maintenant un moteur à réaction (la formule) qui nous emmène directement à la destination, en évitant les écueils (les nombres divisibles par 2, 3 et p) grâce à une carte précise.

L'auteur a même testé cette recette sur des millions de cas et elle fonctionne parfaitement à chaque fois ! C'est un exemple magnifique de comment les mathématiques peuvent transformer un problème long et ennuyeux en une solution élégante et rapide.

1. Problématique

L'article s'intéresse à un problème classique de la théorie additive des nombres : le dénombrement exact des représentations d'un entier pair $2n$ comme somme de deux entiers positifs $h$ et $k$ ( $h + k = 2n$ , avec $h \le k$ ), soumis à des contraintes de coprimalité strictes.

Plus précisément, l'auteur définit la fonction de comptage $g(2n, p)$ pour un entier pair $2n$ et un nombre premier fixe $p \ge 5$ :
$g(2n, p) = \# \left\{ (h, k) \in \mathbb{Z}_{>0}^2 : h + k = 2n, h \le k, \gcd(h, 6p) = \gcd(k, 6p) = 1 \right\}$

L'objectif est d'éviter les facteurs premiers 2, 3 et $p$ dans les deux termes de la somme. Bien que des estimations asymptotiques soient disponibles via des méthodes de tamis (sieve methods) et l'inversion de Möbius, l'obtention de formules exactes et fermées reste un défi en raison de la complexité du contrôle des contraintes de résidus et des conditions d'ordre ( $h \le k$ ). Les méthodes traditionnelles d'inclusion-exclusion produisent des expressions périodiques mais souvent lourdes, ne révélant pas la structure affine sous-jacente de la fonction.

2. Méthodologie

L'approche proposée repose sur une analyse fine des classes de résidus modulo 6 et $p$ , combinée à l'utilisation d'opérateurs de reste canoniques et de l'algorithme d'Euclide.

A. Outils Mathématiques Clés

Opérateur de reste canonique ( $\delta_k$ ) : Défini par $\delta_k(x) = x - k\lfloor x/k \rfloor$ , cet opérateur permet de travailler directement avec les représentants standards des classes de résidus, facilitant la manipulation algébrique des conditions de congruence.
Réduction des équations affines : Le problème est ramené à la résolution d'équations de la forme $\delta_k(a_0 x + b) = c$ . L'article montre que cela se réduit à $\delta_k(a_0 x) = b_0$ grâce à la compatibilité additive.
Solutions minimales via l'algorithme d'Euclide : Un résultat central (Théorème 3.2) fournit une formule explicite pour la solution minimale d'une équation de reste linéaire $\delta_k(a_0 x) = b_0$ (où $\gcd(a_0, k)=1$ ). Cette formule est construite itérativement à partir des suites générées par l'algorithme d'Euclide, exprimées uniquement via l'opérateur $\delta_k$ .

B. Stratégie de Dénombrement

Décomposition modulo 6 : Les entiers coprimaires avec 6 sont de la forme $6x+1$ $6 x + 1$ ou $6x+5$ $6 x + 5$ . La somme de deux tels entiers dépend du résidu de $n$ $n$ modulo 3 :
- Si $n \equiv 0 \pmod 3$ , la somme est de type $(6x+1) + (6y+5)$ .
- Si $n \equiv 1 \pmod 3$ , la somme est de type $(6x+1) + (6y+1)$ .
- Si $n \equiv 2 \pmod 3$ , la somme est de type $(6x+5) + (6y+5)$ .
Exclusion des multiples de $p$ : Pour chaque cas, l'auteur identifie les classes de résidus modulo $p$ $p$ qui doivent être exclues pour garantir que $h$ $h$ et $k$ $k$ ne sont pas divisibles par $p$ $p$ . Cela conduit à la définition de deux paramètres clés, $a(p)$ $a (p)$ et $b(p)$ $b (p)$ , qui sont les solutions minimales des congruences :
- $6x \equiv -1 \pmod p$
- $6x \equiv -5 \pmod p$
Formules par cas : Le dénombrement est effectué en comptant les paires de résidus admissibles et en levant ces paires vers les entiers via des vecteurs de comptage ( $\eta, \nu, \lambda$ ) qui tiennent compte des conditions d'ordre ( $h \le k$ ) et des cas diagonaux ( $h=k$ ).

3. Contributions Principales

Formules fermées explicites : Le résultat principal (Théorème 4.13) fournit des expressions analytiques exactes pour $g(2n, p)$ en fonction de $n$ et $p$ . Ces formules utilisent uniquement des opérations arithmétiques élémentaires, l'opérateur de reste $\delta_k$ , des fonctions échelon (step functions) et les paramètres précalculés $a(p)$ et $b(p)$ .
Structure affine par morceaux : L'article démontre que $g(2n, p)$ est une fonction affine par morceaux le long des progressions arithmétiques de $n$ , gouvernée par les classes de résidus modulo 3 et $p$ . Cette structure, invisible dans les formules d'inclusion-exclusion classiques, émerge naturellement de la formulation basée sur les résidus.
Algorithme de complexité constante : Une fois les paramètres $a(p)$ et $b(p)$ précalculés (en $O(\log p)$ temps via l'algorithme d'Euclide), l'évaluation de $g(2n, p)$ pour n'importe quel $n$ ne nécessite que $O(1)$ opérations arithmétiques. Cela contraste fortement avec l'approche par énumération directe qui est de complexité $O(n)$ .
Résolution constructive des équations de reste : La section 3 offre une méthode constructive et une formule close pour la solution minimale d'équations de type $\delta_k(ax+b)=c$ , un outil potentiellement réutilisable dans d'autres problèmes de théorie des nombres combinatoire.

4. Résultats et Validation

Validation computationnelle : Les formules ont été testées contre un oracle de force brute (énumération directe) pour tous les entiers pairs $2n \le 10^5$ et pour les nombres premiers $p \in \{5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$ . Un accord parfait a été observé sur les 350 000 cas de test.
Visualisation : Les graphiques de $g(2n, p)$ montrent clairement la structure affine par morceaux, avec des familles de droites parallèles correspondant aux classes de résidus de $n$ modulo $3p$ .
Efficacité : La méthode proposée transforme un problème de comptage linéaire en un problème de calcul constant, offrant une amélioration significative pour les grands $n$ .

5. Signification et Perspectives

Ce travail apporte une contribution significative à la théorie des nombres combinatoire en passant d'estimations asymptotiques à des formules exactes et calculables pour un problème de décomposition additive sous contraintes de coprimalité.

Impact théorique : Il révèle la structure géométrique (affine par morceaux) cachée derrière des fonctions de comptage arithmétiques complexes, reliant directement les propriétés de la fonction à la résolution d'équations diophantiennes linéaires simples.
Généralisation : L'auteur note que cette approche s'étend naturellement à l'exclusion d'un ensemble fini de nombres premiers $\{2, 3, p_1, \dots, p_k\}$ , bien que cela augmente la complexité des cas à analyser (modulo $6 \prod p_i$ ).
Applications potentielles : L'efficacité algorithmique ( $O(1)$ ) rend ces formules utiles pour des applications nécessitant un calcul rapide de ces fonctions de comptage, par exemple dans l'étude de la distribution des nombres premiers ou dans des problèmes de cryptographie liés aux décompositions additives.

En résumé, l'article propose une solution élégante et computationnellement efficace à un problème de dénombrement classique, en exploitant la structure algébrique des résidus et l'algorithme d'Euclide pour obtenir des formules exactes et closes.