Geometry of weak contact conics to irreducible quartics with 2 nodes and 1 cusp via rational elliptic surfaces and Zariski pairs

Resumen Técnico: Geometría de las cónicas de contacto débil a cuárticas irreducibles con 2 nodos y 1 cúspide

Enunciado del Problema
Este artículo investiga la geometría de las cónicas de contacto débil a una curva cuártica plana irreducible $Q$ que posee exactamente dos nodos ($x_1, x_2$) y una cúspide ($y$) como sus singularidades. Una cónica $C$ se define como una cónica de contacto débil a $Q$ si la multiplicidad de intersección $I_x(Q, C)$ es par para cada punto $x \in Q \cap C$. El estudio restringe específicamente la atención a los casos donde $Q \cap C$ contiene al menos un punto regular $z_0$ de $Q$. El objetivo principal es clasificar y enumerar todas tales cónicas de contacto débil basándose en la configuración de los puntos singulares de $Q$ contenidos dentro de $C$ (categorizados en seis tipos) y en el comportamiento local de la recta tangente $l_{z_0}$ en $z_0$.

Metodología
Los autores emplean la teoría de superficies elípticas racionales para traducir el problema geométrico de encontrar cónicas de contacto en un problema algebraico concerniente a las secciones de dichas superficies.

1. Construcción de la Superficie: Para una cuártica dada $Q$ y un punto regular $z_0 \in Q$, los autores construyen una superficie elíptica racional $S_{Q, z_0}$. Esto se logra mediante una cubierta doble de $\mathbb{P}^2$ ramificada sobre $Q$ (y una curva auxiliar), seguida de una secuencia de explosiones para resolver las singularidades.
2. Grupo de Mordell-Weil: El problema de encontrar cónicas de contacto débil se reduce al estudio de las secciones de la fibración $\phi: S_{Q, z_0} \to \mathbb{P}^1$. El conjunto de secciones, $MW(S_{Q, z_0})$, forma el grupo de Mordell-Weil, el cual se identifica con el grupo de puntos racionales en la fibra genérica $E(\mathbb{C}(t))$.
3. Emparejamiento de Altura: Los autores utilizan el emparejamiento de altura de Shioda $\langle \cdot, \cdot \rangle$ en el grupo de Mordell-Weil. Mediante el análisis de las fibras singulares de $S_{Q, z_0}$ (determinadas por la intersección de la recta tangente $l_{z_0}$ con $Q$), calculan las matrices de Gram del retículo generado por secciones específicas correspondientes a rectas que pasan por las singularidades de $Q$.
4. Clasificación: Utilizando los valores del emparejamiento de altura, los autores determinan qué combinaciones lineales de secciones de base corresponden a cónicas que satisfacen la condición de "contacto débil" (multiplicidades de intersección pares).

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo proporciona una enumeración completa de las cónicas de contacto débil para la cuártica especificada $Q$, categorizadas por la posición de la recta tangente $l_{z_0}$ y el tipo de puntos singulares por los que pasa la cónica.

• Clasificación de Casos: El análisis se divide en cuatro casos basados en la intersección de $l_{z_0}$ con $Q$:
  • (I) $l_{z_0}$ corta a $Q$ transversalmente en otros puntos (caso genérico).
  • (II) $l_{z_0}$ es una bitangente o tiene contacto de orden 4.
  • (III) $l_{z_0}$ pasa por la cúspide.
  • (IV) $l_{z_0}$ pasa por un nodo.
• Tablas de Enumeración: Para cada caso, los autores derivan el número de cónicas de contacto débil ($n_i$) para cada uno de los seis tipos (definidos por qué subconjunto de $\{x_1, x_2, y\}$ yace en $C$). Por ejemplo, en el Caso (I), hay 3 cónicas del Tipo 1 (pasando solo por la cúspide), 4 del Tipo 2, 4 del Tipo 3, 1 del Tipo 4, 1 del Tipo 5 y 1 del Tipo 6.
• Construcción Explícita: El artículo construye explícitamente las secciones en el grupo de Mordell-Weil correspondientes a estas cónicas. Para el Caso (I), las cónicas corresponden a elementos tales como $[2]P_1$, $[2]P_2$ y $[2]P_0$, donde $P_i$ son elementos de base derivados de rectas que conectan los puntos singulares.
• Pares de Zariski: Como una aplicación significativa, los autores construyen pares de Zariski de grado 7 y grado 8. Un par de Zariski consiste en dos curvas planas con el mismo tipo combinatorio (mismas singularidades y patrones de intersección) pero incrustaciones no homeomorfas en $\mathbb{P}^2$.
  • Los pares construidos consisten en la cuártica $Q$, una recta $L_i$ que pasa por un nodo y la cúspide, y una cónica de contacto débil $C_j$.
  • Mediante la selección de cónicas específicas $C_0, C_1, C_2$ derivadas del grupo de Mordell-Weil, los autores demuestran que pares como $(Q + L_1 + C_1, Q + L_2 + C_1)$ comparten la misma combinatoria pero no son homeomorfos. Esta no homeomorfía se prueba utilizando las propiedades de dependencia/independencia lineal de las secciones correspondientes en el grupo de Mordell-Weil (utilizando específicamente los Teoremas 2.1 y 2.2 con respecto a homeomorfismos que preservan el componente cuártico).

Significado
El artículo extiende el trabajo previo sobre cónicas de contacto para cuárticas con 3 nodos y 3 cúspides al caso más complejo de cuárticas con singularidades mixtas (2 nodos, 1 cúspide). Demuestra que incluso bajo la restricción de tener un punto de intersección regular, pueden generarse ejemplos no triviales de pares de Zariski. El trabajo establece un vínculo riguroso entre la aritmética del grupo de Mordell-Weil de superficies elípticas racionales y la clasificación topológica de arreglos de curvas planas, proporcionando ecuaciones algebraicas explícitas para estos objetos geométricos. La construcción de pares de Zariski de grado 7 y 8 enriquece el catálogo conocido de tales pares topológicamente distintos en geometría algebraica.