Geometry of weak contact conics to irreducible quartics with 2 nodes and 1 cusp via rational elliptic surfaces and Zariski pairs

Resumo Técnico: Geometria das Cônicas de Contato Fraco a Quarticas Irredutíveis com 2 Nós e 1 Cúspide

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a geometria das cônicas de contato fraco a uma curva quartica plana irredutível $Q$ que possui exatamente dois nós ($x_1, x_2$) e uma cúspide ($y$) como suas singularidades. Uma cônica $C$ é definida como uma cônica de contato fraco a $Q$ se a multiplicidade de interseção $I_x(Q, C)$ for par para todo ponto $x \in Q \cap C$. O estudo restringe-se especificamente aos casos em que $Q \cap C$ contém pelo menos um ponto regular $z_0$ de $Q$. O objetivo principal é classificar e enumerar todas essas cônicas de contato fraco com base na configuração dos pontos singulares de $Q$ contidos em $C$ (categorizados em seis tipos) e no comportamento local da reta tangente $l_{z_0}$ em $z_0$.

Metodologia
Os autores empregam a teoria das superfícies elípticas racionais para traduzir o problema geométrico de encontrar cônicas de contato em um problema algébrico concernente às seções dessas superfícies.

1. Construção da Superfície: Para uma dada quartica $Q$ e um ponto regular $z_0 \in Q$, os autores constroem uma superfície elíptica racional $S_{Q, z_0}$. Isso é alcançado por meio de uma cobertura dupla de $\mathbb{P}^2$ ramificada sobre $Q$ (e uma curva auxiliar), seguida de uma sequência de explosões para resolver as singularidades.
2. Grupo de Mordell-Weil: O problema de encontrar cônicas de contato fraco é reduzido ao estudo das seções da fibrificação $\phi: S_{Q, z_0} \to \mathbb{P}^1$. O conjunto de seções, $MW(S_{Q, z_0})$, forma o grupo de Mordell-Weil, que é identificado com o grupo de pontos racionais na fibra genérica $E(\mathbb{C}(t))$.
3. Emparelhamento de Altura: Os autores utilizam o emparelhamento de altura de Shioda $\langle \cdot, \cdot \rangle$ no grupo de Mordell-Weil. Ao analisar as fibras singulares de $S_{Q, z_0}$ (determinadas pela interseção da reta tangente $l_{z_0}$ com $Q$), eles calculam as matrizes de Gram do reticulado gerado por seções específicas correspondentes a retas que passam pelas singularidades de $Q$.
4. Classificação: Usando os valores do emparelhamento de altura, os autores determinam quais combinações lineares de seções de base correspondem a cônicas que satisfazem a condição de "contato fraco" (multiplicidades de interseção pares).

Principais Contribuições e Resultados
O artigo fornece uma enumeração completa das cônicas de contato fraco para a quartica $Q$ especificada, categorizada pela posição da reta tangente $l_{z_0}$ e pelo tipo de pontos singulares pelos quais a cônica passa.

• Classificação dos Casos: A análise é dividida em quatro casos com base na interseção de $l_{z_0}$ com $Q$:
  • (I) $l_{z_0}$ encontra $Q$ transversalmente em outros pontos (caso genérico).
  • (II) $l_{z_0}$ é uma bitangente ou tem contato de ordem 4.
  • (III) $l_{z_0}$ passa pela cúspide.
  • (IV) $l_{z_0}$ passa por um nó.
• Tabelas de Enumeração: Para cada caso, os autores derivam o número de cônicas de contato fraco ($n_i$) para cada um dos seis tipos (definidos por qual subconjunto de $\{x_1, x_2, y\}$ está contido em $C$). Por exemplo, no Caso (I), há 3 cônicas do Tipo 1 (passando apenas pela cúspide), 4 do Tipo 2, 4 do Tipo 3, 1 do Tipo 4, 1 do Tipo 5 e 1 do Tipo 6.
• Construção Explícita: O artigo constrói explicitamente as seções no grupo de Mordell-Weil correspondentes a essas cônicas. Para o Caso (I), as cônicas correspondem a elementos como $[2]P_1$, $[2]P_2$ e $[2]P_0$, onde $P_i$ são elementos de base derivados de retas que conectam os pontos singulares.
• Pares de Zariski: Como uma aplicação significativa, os autores constroem pares de Zariski de grau 7 e grau 8. Um par de Zariski consiste em duas curvas planas com o mesmo tipo combinatório (mesmas singularidades e padrões de interseção), mas com mergulhos não homeomórficos em $\mathbb{P}^2$.
  • Os pares construídos consistem na quartica $Q$, uma reta $L_i$ passando por um nó e pela cúspide, e uma cônica de contato fraco $C_j$.
  • Ao selecionar cônicas específicas $C_0, C_1, C_2$ derivadas do grupo de Mordell-Weil, os autores demonstram que pares como $(Q + L_1 + C_1, Q + L_2 + C_1)$ compartilham a mesma combinatória, mas não são homeomórficos. Essa não homeomorfia é provada usando as propriedades de dependência/independência linear das seções correspondentes no grupo de Mordell-Weil (utilizando especificamente os Teoremas 2.1 e 2.2 sobre homeomorfismos que preservam o componente quartico).

Significância
O artigo estende trabalhos anteriores sobre cônicas de contato para quarticas com 3 nós e 3 cúspides ao caso mais complexo de quarticas com singularidades mistas (2 nós, 1 cúspide). Ele demonstra que, mesmo sob a restrição de ter um ponto de interseção regular, exemplos não triviais de pares de Zariski podem ser gerados. O trabalho estabelece um vínculo rigoroso entre a aritmética do grupo de Mordell-Weil de superfícies elípticas racionais e a classificação topológica de arranjos de curvas planas, fornecendo equações algébricas explícitas para esses objetos geométricos. A construção de pares de Zariski de grau 7 e 8 enriquece o catálogo conhecido de tais pares topologicamente distintos na geometria algébrica.