Geometry of weak contact conics to irreducible quartics with 2 nodes and 1 cusp via rational elliptic surfaces and Zariski pairs

技術的概要：2 個のノードと 1 個の尖点を持つ既約な四次曲線への弱接触二次曲線の幾何学

問題設定
本論文は、特異点として正確に 2 個のノード（$x_1, x_2$）と 1 個の尖点（$y$）を持つ既約な平面四次曲線 $Q$ に対する弱接触二次曲線の幾何学を調査する。二次曲線 $C$ が $Q$ に対する弱接触二次曲線であるとは、任意の点 $x \in Q \cap C$ に対して、交叉多重度 $I_x(Q, C)$ が偶数となることをいう。本研究は特に、$Q \cap C$ が $Q$ の少なくとも 1 つの滑らかな点 $z_0$ を含む場合に限定して検討を行う。主要な目的は、$C$ に含まれる $Q$ の特異点の配置（6 種類に分類される）および $z_0$ における接線 $l_{z_0}$ の局所的な振る舞いに基づき、そのような弱接触二次曲線すべてを分類し、数え上げることである。

手法
著者らは、有理楕円曲面の理論を用いて、接触二次曲線を見つけるという幾何学的な問題を、これらの曲面の切断に関する代数的な問題へと変換する。

1. 曲面の構成: 与えられた四次曲線 $Q$ と滑らかな点 $z_0 \in Q$ に対して、著者らは有理楕円曲面 $S_{Q, z_0}$ を構成する。これは、$Q$（および補助曲線）を分岐軌道とする $\mathbb{P}^2$ の二重被覆を構成し、その後、特異点を解消するための一連のブローアップを行うことによって達成される。
2. モルデール・ウィル群: 弱接触二次曲線を見つける問題は、ファイバー束 $\phi: S_{Q, z_0} \to \mathbb{P}^1$ の切断を研究することに帰着される。切断の集合 $MW(S_{Q, z_0})$ はモルデール・ウィル群を形成し、これは一般ファイバー上の有理点の群 $E(\mathbb{C}(t))$ と同一視される。
3. 高さペアリング: 著者らは、モルデール・ウィル群上のシオダの高さペアリング $\langle \cdot, \cdot \rangle$ を利用する。$S_{Q, z_0}$ の特異ファイバー（接線 $l_{z_0}$ と $Q$ の交叉によって決定される）を解析することにより、$Q$ の特異点を通る直線に対応する特定の切断によって生成される格子のグラム行列を計算する。
4. 分類: 高さペアリングの値を用いて、著者らは基底切断のどの線形結合が「弱接触」条件（偶数の交叉多重度）を満たす二次曲線に対応するかを決定する。

主要な貢献と結果
本論文は、接線 $l_{z_0}$ の位置と、二次曲線が通る特異点のタイプによって分類された、指定された四次曲線 $Q$ に対する弱接触二次曲線の完全な数え上げを提供する。

• 場合の分類: 解析は、$l_{z_0}$ と $Q$ の交叉に基づき 4 つの場合に分割される。
  • (I) $l_{z_0}$ が他の点で $Q$ と横断的に交わる場合（一般的な場合）。
  • (II) $l_{z_0}$ が 2 重接線であるか、4 点接触を持つ場合。
  • (III) $l_{z_0}$ が尖点を通る場合。
  • (IV) $l_{z_0}$ がノードを通る場合。
• 数え上げ表: 各場合について、著者らは 6 種類のタイプ（$C$ 上に $\{x_1, x_2, y\}$ のどの部分集合が存在するかによって定義される）ごとの弱接触二次曲線の数 ($n_i$) を導出する。例えば、場合 (I) においては、タイプ 1（尖点のみを通る）が 3 個、タイプ 2 が 4 個、タイプ 3 が 4 個、タイプ 4 が 1 個、タイプ 5 が 1 個、タイプ 6 が 1 個存在する。
• 明示的な構成: 本論文は、これらの二次曲線に対応するモルデール・ウィル群内の切断を明示的に構成する。場合 (I) において、二次曲線は $[2]P_1$, $[2]P_2$, $[2]P_0$ などの要素に対応し、ここで $P_i$ は特異点を結ぶ直線から導かれた基底要素である。
• ザリスキー対: 重要な応用として、著者らは次数 7 および次数 8 のザリスキー対を構成する。ザリスキー対とは、同じ組み合わせ的タイプ（同じ特異点と交叉パターン）を持つが、$\mathbb{P}^2$ における埋め込みが同相ではない 2 つの平面曲線からなる対である。
  • 構成された対は、四次曲線 $Q$、ノードと尖点を通る直線 $L_i$、および弱接触二次曲線 $C_j$ からなる。
  • モルデール・ウィル群から導かれた特定の二次曲線 $C_0, C_1, C_2$ を選択することにより、著者らは $(Q + L_1 + C_1, Q + L_2 + C_1)$ などの対が同じ組み合わせ論的性質を持つが同相ではないことを示す。この非同相性は、四次曲線成分を保存する同相写像に関する定理 2.1 および 2.2 を利用して、モルデール・ウィル群内の対応する切断の線形従属・独立の性質を用いて証明される。

意義
本論文は、3 個のノードを持つ四次曲線および 3 個の尖点を持つ四次曲線に関する接触二次曲線に関する先行研究を、混合特異点（2 個のノード、1 個の尖点）を持つより複雑な場合へと拡張する。滑らかな交叉点を持つという制限の下であっても、非自明なザリスキー対の例を生成できることを示している。この研究は、有理楕円曲面のモルデール・ウィル群の算術と、平面曲線配置の位相的分類との間に厳密なリンクを確立し、これらの幾何学的対象に対する明示的な代数方程式を提供する。次数 7 および 8 のザリスキー対の構成は、代数幾何学におけるそのような位相的に異なる対の既知のカタログを豊かにするものである。