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Lower bounds for the Hausdorff dimension of expressible sets

Este trabajo establece cotas inferiores positivas para la dimensión de Hausdorff de conjuntos de números reales definidos por expansiones en series específicas, un resultado que implica que ciertos números irracionales de la construcción de Erdős de 1976 no son números de Liouville.

Autores originales: Maiken Gravgaard, Simon Kristensen, Jaroslav Hančl

Publicado 2026-05-27

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CC BY 4.0

Autores originales: Maiken Gravgaard, Simon Kristensen, Jaroslav Hančl

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que estás construyendo un número muy extraño y muy específico. Lo haces sumando una lista infinita de fracciones diminutas.

La fórmula se ve así:
$\text{Número} = \frac{1}{d_1 a_1} + \frac{1}{d_2 a_2} + \frac{1}{d_3 a_3} + \dots$

En este artículo, los autores están jugando con dos ingredientes principales:

La "Base" ( $a_n$ ): Son números que crecen enormemente, muy rápido. Piensa en ellos como los denominadores de tus fracciones. Crecen tan rápido que las fracciones se vuelven microscópicas casi instantáneamente.
Los "Dígitos" ( $d_n$ ): Son los números que eliges para multiplicar la base. En la versión más simple, puedes elegir cualquier número natural (1, 2, 3...). Pero en este artículo, los autores te restringen. Quizás solo puedas elegir números entre 1 y 10, o quizás solo puedas elegir números pares.

La Gran Pregunta: ¿Qué tipo de número obtienes?

Cuando sumas estas fracciones infinitas, obtienes un número real. Los autores quieren saber dos cosas sobre la colección de todos los números posibles que puedes crear con estas reglas:

¿Es "Irracional"? (¿Puede escribirse como una fracción simple como 1/2?)
¿Es un "Número de Liouville"? Este es un tipo especial y extraño de número irracional. Los números de Liouville son "demasiado fáciles" de aproximar con fracciones simples. Están tan cerca de los números racionales que se consideran "transcendentales" (no son la raíz de ninguna ecuación polinómica).

Durante mucho tiempo, los matemáticos sabían que si tus números de "Base" ( $a_n$ ) crecían lo suficientemente rápido, el número resultante sería irracional. Pero había una trampa: si crecían demasiado rápido, el número se convertiría en un número de Liouville.

El Descubrimiento de los Autores: La Estrategia del "Espacio"

Los autores querían encontrar un "punto dulce". Querían demostrar que si restringes tus elecciones de "Dígitos" ( $d_n$ ) justo lo necesario, puedes crear un conjunto de números que sean:

Irracionales (no fracciones simples).
NO números de Liouville (no son "demasiado fáciles" de aproximar).
Transcendentales (matemáticamente complejos).

Para lograrlo, utilizaron un truco visual ingenioso que involucra Conjuntos de Cantor.

La Analogía: La Esponja que se Aprieta
Imagina que tienes un palo largo (que representa todos los números posibles).

Nivel 0: Tienes el palo entero.
Nivel 1: Cortas las partes del medio, dejando solo unos pocos palos más pequeños.
Nivel 2: Tomas esos palos más pequeños y cortas más partes del medio, dejando palos aún más diminutos.
Repite para siempre.

El "Conjunto Expresable" es el polvo que queda después de hacer esto para siempre.

La tarea principal de los autores fue demostrar que cuando cortan las partes del medio (los "espacios"), los palos restantes son suficientemente gruesos para tener una "Dimensión de Hausdorff" distinta de cero.

La Dimensión de Hausdorff es una forma de medir el "tamaño" o la "rugosidad" de una forma. Una línea tiene dimensión 1. Un punto tiene dimensión 0. Un fractal (como el polvo en nuestra esponja) podría tener una dimensión de 0.5.
Si la dimensión es mayor que 0, significa que el conjunto es "grande" en un sentido matemático.
Si la dimensión es 0, el conjunto es "pequeño" (como el conjunto de todos los números de Liouville, que es tan pequeño que tiene dimensión 0).

Los Tres Resultados Principales

El artículo presenta tres escenarios basados en la velocidad con la que crecen los números de "Base" ( $a_n$ ):

1. El Crecimiento Geométrico (El caso "Rápido pero Constante")
Si los números base crecen como potencias de un número (por ejemplo, $2^n, 3^n, 4^n$ ), y restringes tus "dígitos" a un conjunto pequeño y fijo (como solo elegir 1, 2 o 3), los autores demostraron que el conjunto resultante de números tiene una dimensión positiva.

La Trampa: La base debe crecer lo suficientemente rápido en comparación con cuántos dígitos se te permite elegir. Si eliges demasiados dígitos, los "espacios" desaparecen y el conjunto se convierte en un bloque sólido (un intervalo) en lugar de un polvo fractal.

2. El Crecimiento Doble Exponencial (El caso "Explosivo")
Si los números base crecen increíblemente rápido (como $2^{2^n}$ ), los autores mostraron que incluso con restricciones muy específicas sobre los dígitos, el conjunto resultante de números aún tiene una dimensión positiva.

Por qué importa esto: Esto demuestra que no necesitas que los números crezcan infinitamente rápido para obtener números complejos. Puedes tener un crecimiento "moderadamente" explosivo y aún así obtener un conjunto rico de números que no son números de Liouville.

3. El Crecimiento Doble Exponencial "Más Lento"
También examinaron una versión ligeramente más lenta del crecimiento explosivo y encontraron resultados similares, demostrando que el conjunto de números "buenos" sigue siendo sustancial.

El "¿Y qué?" (Sin la Jerga)

La parte más emocionante del artículo es el Corolario 5.

Durante décadas, los matemáticos sabían que si tus números base ( $a_n$ ) crecían lo suficientemente rápido, los números resultantes eran irracionales. Pero no sabían si esos números eran "demasiado fáciles" de aproximar (Liouville) o "justo lo necesario".

Los autores demostraron que la famosa regla de Erdős de 1976 es precisa.

Si los números base crecen demasiado rápido, obtienes números de Liouville (dimensión 0).
Pero si crecen un poco más lento (específicamente, si la tasa de crecimiento no explota hacia el infinito demasiado rápido), obtienes un conjunto de números que no son números de Liouville.

La Conclusión:
Los autores construyeron un "tamiz" matemático. Al elegir cuidadosamente la velocidad a la que crecen los denominadores y limitando las opciones de los numeradores, demostraron que puedes crear una colección "gruesa" de números que son irracionales y transcendentales, pero no los números de Liouville extraños y fácilmente aproximables. Mostraron que la frontera entre los números irracionales "normales" y los números de Liouville "extraños" es mucho más precisa de lo que se pensaba anteriormente.

No aplicaron esto a la medicina, la ingeniería o las finanzas. Simplemente resolvieron un rompecabezas sobre la naturaleza fundamental de los números y lo "grande" que es el conjunto de estos números especiales.

Resumen Técnico: Límites Inferiores para la Dimensión de Hausdorff de Conjuntos Expresables

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la dimensión de Hausdorff de los "conjuntos expresables", definidos como conjuntos de números reales formados por series de la forma:
$x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{d_n a_n}$
donde $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ es una sucesión de números reales (la "base") y $(d_n)_{n=1}^{\infty}$ es una sucesión de números naturales (las "cifras") elegidas de conjuntos específicos $D_n$ .

El problema central aborda la brecha entre los resultados existentes sobre la irracionalidad y la trascendencia de tales sumas y las propiedades métricas de los conjuntos que generan. Trabajos anteriores de Erdős (1975) y Hančl establecieron condiciones bajo las cuales estas sumas son irracionales o números de Liouville. Específicamente, si la sucesión $a_n$ crece suficientemente rápido (por ejemplo, $\limsup a_n^{1/2^n} = \infty$ ), los números resultantes son irracionales; si el crecimiento es aún más rápido, son números de Liouville (un conjunto de dimensión de Hausdorff cero). Sin embargo, no estaba claro qué sucede cuando las condiciones de crecimiento son intermedias o cuando se imponen restricciones sobre las cifras $d_n$ . Los autores buscan establecer límites inferiores positivos para la dimensión de Hausdorff de estos conjuntos, demostrando así que, bajo ciertas condiciones de crecimiento, los conjuntos contienen números no de Liouville (y potencialmente no trascendentes).

Metodología
Los autores emplean un enfoque de construcción geométrica, modelando los conjuntos expresables como conjuntos de Cantor generalizados. La estrategia implica:

Construcción del Conjunto de Cantor: Considerar la serie como un sistema de numeración donde $a_n$ actúa como la base y $d_n$ como las cifras. El conjunto $K(A, (D_n))$ se construye dividiendo intervalos iterativamente.
Análisis de Brechas: Para aplicar un teorema conocido de límite inferior para la dimensión de Hausdorff de conjuntos de Cantor generalizados (Teorema 1, basado en Falconer), los autores deben asegurar que existan "brechas" entre los subintervalos en cada nivel $n$ . Esto requiere demostrar que la diferencia entre sumas parciales adyacentes es estrictamente mayor que la suma de cola máxima posible de la serie.
Estimaciones Cuantitativas: Los autores derivan límites inferiores explícitos para los tamaños de las brechas ( $\varepsilon_n$ ) y límites superiores para el número de subintervalos ( $m_n$ ) en cada nivel. Sustituyen estas estimaciones en la fórmula de la dimensión:
$\dim_H(C) \ge \limsup_{n \to \infty} \frac{\log(m_1 \cdots m_n)}{-\log(m_{n+1} \varepsilon_{n+1})}$
Clasificaciones de Crecimiento: El análisis se divide en tres casos basados en la tasa de crecimiento de la sucesión $a_n$ $a_{n}$ :
- Crecimiento geométrico ( $a_n = b^n$ ).
- Crecimiento doblemente exponencial ( $a_n \approx 2^{N^n}$ ).
- Crecimiento doblemente exponencial más lento ( $a_n \approx N^{2^n}$ ).

Contribuciones y Resultados Clave

Teorema 2 (Crecimiento Geométrico): Para sucesiones donde $a_n = b^n$ con $b > 4$ y cifras restringidas a un conjunto finito $D_n = \{1, \dots, K\}$ tal que $K^2 < b$ , los autores demuestran:
$\dim_H(K) \ge \frac{\log(K)}{\log(b)}$
Este resultado demuestra que restringir las cifras puede reducir la dimensión de llena (intervalo) a un valor positivo, siempre que la base $b$ sea lo suficientemente grande en relación con el tamaño del conjunto de cifras.
Teorema 3 (Crecimiento Doblemente Exponencial): Para sucesiones que crecen como $a_n = 2^{N^n f(n)}$ con restricciones específicas sobre los conjuntos de cifras $D_n$ , los autores establecen un límite inferior:
$\dim_H(K) \ge \frac{s}{(N-1)(N-s)}$
donde $s$ y $N$ son parámetros relacionados con las tasas de crecimiento de la base y los conjuntos de cifras.
Teorema 4 (Crecimiento Doblemente Exponencial Más Lento): Para sucesiones que crecen como $a_n = N^{2^n f(n)}$ , se deriva un límite inferior:
$\dim_H(K) \ge \frac{s}{2-s}$
Cabe destacar que este límite es independiente del parámetro de base $N$ , en contraste con el Teorema 3, donde el límite disminuye a medida que $N$ aumenta.
Corolario 5 (Nitidez del Criterio de Erdős): Los autores aplican sus resultados a sucesiones de enteros. Demuestran que si $\limsup_{n \to \infty} a_n^{1/t^n} < \infty$ para algún $t \in \mathbb{N}$ , el conjunto expresable $K(A)$ contiene números que no son números $U^*$ (una clase que incluye a los números de Liouville). Dado que el conjunto de números $U^*$ tiene dimensión de Hausdorff cero, esto implica que el conjunto $K(A)$ contiene números que no son números de Liouville. Esto confirma que la condición de Erdős para generar números de Liouville es nítida; relajar la condición de crecimiento produce conjuntos con dimensión positiva que contienen números no de Liouville.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma proporcionar los primeros límites inferiores positivos sobre la dimensión de Hausdorff de conjuntos expresables con cifras restringidas. El significado principal radica en demostrar que la propiedad "de Liouville" no es universal para sucesiones de crecimiento rápido; más bien, depende críticamente de la tasa de crecimiento específica y del tamaño de los conjuntos de cifras.

Los autores declaran explícitamente que sus resultados muestran que la construcción de Erdős de 1976 produce números no de Liouville bajo condiciones de crecimiento más débiles de lo que se pensaba anteriormente. Señalan que, aunque sus límites son positivos, sospechan que no son óptimos, ya que los límites superiores para estos conjuntos específicos aún no han sido calculados. El artículo concluye identificando la eliminación de la restricción $K^2 < b$ en el Teorema 2 y el cálculo de límites superiores para estos conjuntos como problemas abiertos. El trabajo no propone nuevas aplicaciones, sino que refina la comprensión teórica de las propiedades métricas de los números definidos por expansiones de series específicas.

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