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Lower bounds for the Hausdorff dimension of expressible sets

Cet article établit des bornes inférieures positives pour la dimension de Hausdorff d'ensembles de nombres réels définis par des développements en série spécifiques, un résultat qui implique que certains nombres irrationnels issus de la construction d'Erdős de 1976 ne sont pas des nombres de Liouville.

Auteurs originaux : Maiken Gravgaard, Simon Kristensen, Jaroslav Hančl

Publié 2026-05-27

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Maiken Gravgaard, Simon Kristensen, Jaroslav Hančl

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous construisez un nombre très étrange, très spécifique. Vous le faites en additionnant une liste infinie de petites fractions.

La formule ressemble à ceci :
$\text{Nombre} = \frac{1}{d_1 a_1} + \frac{1}{d_2 a_2} + \frac{1}{d_3 a_3} + \dots$

Dans cet article, les auteurs jouent avec deux ingrédients principaux :

La "Base" ( $a_n$ ) : Ce sont des nombres qui deviennent énormes, très rapidement. Imaginez-les comme les dénominateurs de vos fractions. Ils croissent si vite que les fractions deviennent microscopiques presque instantanément.
Les "Chiffres" ( $d_n$ ) : Ce sont les nombres que vous choisissez pour multiplier la base. Dans la version la plus simple, vous pouvez choisir n'importe quel nombre entier naturel (1, 2, 3...). Mais dans cet article, les auteurs vous imposent des restrictions. Peut-être ne pouvez-vous choisir que des nombres entre 1 et 10, ou peut-être seulement des nombres pairs.

La Grande Question : Quel genre de nombre obtenez-vous ?

Lorsque vous additionnez ces fractions infinies, vous obtenez un nombre réel. Les auteurs veulent savoir deux choses sur l'ensemble de tous les nombres possibles que vous pouvez créer avec ces règles :

Est-il "Irrationnel" ? (Peut-il être écrit comme une fraction simple comme 1/2 ?)
Est-ce un "Nombre de Liouville" ? C'est un type spécial et étrange de nombre irrationnel. Les nombres de Liouville sont "trop faciles" à approximer par de simples fractions. Ils sont si proches des nombres rationnels qu'ils sont considérés comme "transcendants" (n'étant la racine d'aucune équation polynomiale).

Pendant longtemps, les mathématiciens savaient que si vos nombres de "Base" ( $a_n$ ) croissaient assez vite, le nombre résultant serait irrationnel. Mais il y avait un piège : s'ils croissaient trop vite, le nombre devenait un nombre de Liouville.

La Découverte des Auteurs : La Stratégie du "Creux"

Les auteurs voulaient trouver un "juste milieu". Ils voulaient prouver que si vous restreignez vos choix de "Chiffres" ( $d_n$ ) de la bonne manière, vous pouvez créer un ensemble de nombres qui sont :

Irrationnels (pas de fractions simples).
NON des nombres de Liouville (ils ne sont pas "trop faciles" à approximer).
Transcendants (mathématiquement complexes).

Pour ce faire, ils ont utilisé un tour de passe-passe visuel ingénieux impliquant les Ensembles de Cantor.

L'Analogie : L'Éponge qui se Comprime
Imaginez que vous avez un long bâton (représentant tous les nombres possibles).

Niveau 0 : Vous avez le bâton entier.
Niveau 1 : Vous retirez les parties du milieu, ne laissant que quelques petits bâtons.
Niveau 2 : Vous prenez ces petits bâtons et vous retirez encore plus de parties du milieu, laissant des bâtons encore plus minuscules.
Répétez pour toujours.

L'Ensemble "Exprimable" est la poussière qui reste après avoir fait cela pour toujours.

Le travail principal des auteurs était de prouver que lorsqu'ils retiraient les parties du milieu (les "creux"), les bâtons restants étaient suffisamment épais pour avoir une "Dimension de Hausdorff" non nulle.

La Dimension de Hausdorff est une façon de mesurer la "taille" ou la "rugosité" d'une forme. Une ligne a une dimension 1. Un point a une dimension 0. Un fractal (comme la poussière dans notre éponge) peut avoir une dimension de 0,5.
Si la dimension est supérieure à 0, cela signifie que l'ensemble est "grand" dans un sens mathématique.
Si la dimension est 0, l'ensemble est "minuscule" (comme l'ensemble de tous les nombres de Liouville, qui est si petit qu'il a une dimension 0).

Les Trois Résultats Principaux

L'article présente trois scénarios basés sur la vitesse de croissance des nombres de "Base" ( $a_n$ ) :

1. La Croissance Géométrique (Le Cas "Rapide mais Stable")
Si les nombres de base croissent comme des puissances d'un nombre (par exemple, $2^n, 3^n, 4^n$ ), et que vous restreignez vos "chiffres" à un petit ensemble fixe (comme choisir uniquement 1, 2 ou 3), les auteurs ont prouvé que l'ensemble résultant de nombres a une dimension positive.

Le Piège : La base doit croître assez vite par rapport au nombre de chiffres que vous êtes autorisé à choisir. Si vous choisissez trop de chiffres, les "creux" disparaissent et l'ensemble devient un bloc solide (un intervalle) plutôt qu'une poussière fractale.

2. La Croissance Double Exponentielle (Le Cas "Explosif")
Si les nombres de base croissent incroyablement vite (comme $2^{2^n}$ ), les auteurs ont montré que même avec des restrictions très spécifiques sur les chiffres, l'ensemble résultant de nombres a toujours une dimension positive.

Pourquoi cela compte : Cela prouve que vous n'avez pas besoin que les nombres croissent à l'infini vite pour obtenir des nombres complexes. Vous pouvez avoir une croissance explosive "modérée" et obtenir quand même un ensemble riche de nombres qui ne sont pas des nombres de Liouville.

3. La Double Exponentielle "Plus Lente"
Ils ont également examiné une version légèrement plus lente de la croissance explosive et ont trouvé des résultats similaires, prouvant que l'ensemble des nombres "bons" est toujours substantiel.

Le "Et Alors ?" (Sans le Jargon)

La partie la plus excitante de l'article est le Corollaire 5.

Pendant des décennies, les mathématiciens savaient que si vos nombres de base ( $a_n$ ) croissaient assez vite, les nombres résultants étaient irrationnels. Mais ils ne savaient pas si ces nombres étaient "trop faciles" à approximer (Liouville) ou "juste ce qu'il faut".

Les auteurs ont prouvé que la règle célèbre d'Erdős de 1976 est précise.

Si les nombres de base croissent trop vite, vous obtenez des nombres de Liouville (dimension 0).
Mais s'ils croissent juste un peu moins vite (spécifiquement, si le taux de croissance n'explose pas vers l'infini trop rapidement), vous obtenez un ensemble de nombres qui ne sont pas des nombres de Liouville.

Le Conclusion :
Les auteurs ont construit un "tamis" mathématique. En choisissant soigneusement la vitesse de croissance des dénominateurs et en limitant les choix des numérateurs, ils ont prouvé que vous pouvez créer une collection "épaisse" de nombres qui sont irrationnels et transcendants, mais pas les nombres de Liouville étranges et facilement approximables. Ils ont montré que la frontière entre les nombres irrationnels "normaux" et les nombres de Liouville "étranges" est beaucoup plus précise qu'on ne le pensait auparavant.

Ils n'ont pas appliqué cela à la médecine, à l'ingénierie ou à la finance. Ils ont simplement résolu une énigme sur la nature fondamentale des nombres et sur la "taille" de l'ensemble de ces nombres spéciaux.

Résumé technique : Bornes inférieures pour la dimension de Hausdorff des ensembles expressibles

Énoncé du problème
L'article examine la dimension de Hausdorff des « ensembles expressibles », définis comme des ensembles de nombres réels formés par des séries de la forme :
$x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{d_n a_n}$
où $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ est une suite de nombres réels (la « base ») et $(d_n)_{n=1}^{\infty}$ est une suite de nombres naturels (les « chiffres ») choisis dans des ensembles spécifiques $D_n$ .

Le problème central traite de l'écart entre les résultats existants sur l'irrationalité et la transcendance de telles sommes et les propriétés métriques des ensembles qu'elles génèrent. Les travaux antérieurs d'Erdős (1975) et de Hančl ont établi des conditions sous lesquelles ces sommes sont irrationnelles ou des nombres de Liouville. Plus précisément, si la suite $a_n$ croît suffisamment vite (par exemple, $\limsup a_n^{1/2^n} = \infty$ ), les nombres résultants sont irrationnels ; si la croissance est encore plus rapide, ce sont des nombres de Liouville (un ensemble de dimension de Hausdorff nulle). Cependant, il était incertain ce qui se produisait lorsque les conditions de croissance étaient intermédiaires ou lorsque des restrictions étaient imposées aux chiffres $d_n$ . Les auteurs visent à établir des bornes inférieures positives pour la dimension de Hausdorff de ces ensembles, prouvant ainsi que, sous certaines conditions de croissance, les ensembles contiennent des nombres non-Liouville (et potentiellement non-transcendants).

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche de construction géométrique, modélisant les ensembles expressibles comme des ensembles de Cantor généralisés. La stratégie implique :

Construction de l'ensemble de Cantor : Considérer la série comme un système de numération où $a_n$ agit comme la base et $d_n$ comme les chiffres. L'ensemble $K(A, (D_n))$ est construit en divisant itérativement des intervalles.
Analyse des lacunes : Pour appliquer un théorème connu de borne inférieure pour la dimension de Hausdorff des ensembles de Cantor généralisés (Théorème 1, basé sur Falconer), les auteurs doivent s'assurer que des « lacunes » existent entre les sous-intervalles à chaque niveau $n$ . Cela nécessite de prouver que la différence entre les sommes partielles adjacentes est strictement supérieure à la somme de queue maximale possible de la série.
Estimations quantitatives : Les auteurs dérivent des bornes inférieures explicites pour les tailles des lacunes ( $\varepsilon_n$ ) et des bornes supérieures pour le nombre de sous-intervalles ( $m_n$ ) à chaque niveau. Ils substituent ces estimations dans la formule de dimension :
$\dim_H(C) \ge \limsup_{n \to \infty} \frac{\log(m_1 \cdots m_n)}{-\log(m_{n+1} \varepsilon_{n+1})}$
Classifications de croissance : L'analyse est divisée en trois cas basés sur le taux de croissance de la suite $a_n$ $a_{n}$ :
- Croissance géométrique ( $a_n = b^n$ ).
- Croissance doublement exponentielle ( $a_n \approx 2^{N^n}$ ).
- Croissance doublement exponentielle plus lente ( $a_n \approx N^{2^n}$ ).

Contributions et résultats clés

Théorème 2 (Croissance géométrique) : Pour les suites où $a_n = b^n$ avec $b > 4$ et des chiffres restreints à un ensemble fini $D_n = \{1, \dots, K\}$ tel que $K^2 < b$ , les auteurs prouvent :
$\dim_H(K) \ge \frac{\log(K)}{\log(b)}$
Ce résultat démontre que la restriction des chiffres peut réduire la dimension d'une valeur pleine (intervalle) à une valeur positive, à condition que la base $b$ soit suffisamment grande par rapport à la taille de l'ensemble des chiffres.
Théorème 3 (Croissance doublement exponentielle) : Pour les suites croissant comme $a_n = 2^{N^n f(n)}$ avec des contraintes spécifiques sur les ensembles de chiffres $D_n$ , les auteurs établissent une borne inférieure :
$\dim_H(K) \ge \frac{s}{(N-1)(N-s)}$
où $s$ et $N$ sont des paramètres liés aux taux de croissance de la base et des ensembles de chiffres.
Théorème 4 (Croissance doublement exponentielle plus lente) : Pour les suites croissant comme $a_n = N^{2^n f(n)}$ , une borne inférieure est dérivée :
$\dim_H(K) \ge \frac{s}{2-s}$
Notamment, cette borne est indépendante du paramètre de base $N$ , contrairement au Théorème 3 où la borne diminue à mesure que $N$ augmente.
Corollaire 5 (Précision du critère d'Erdős) : Les auteurs appliquent leurs résultats aux suites d'entiers. Ils montrent que si $\limsup_{n \to \infty} a_n^{1/t^n} < \infty$ pour un certain $t \in \mathbb{N}$ , l'ensemble expressible $K(A)$ contient des nombres qui ne sont pas des nombres $U^*$ (une classe contenant les nombres de Liouville). Puisque l'ensemble des nombres $U^*$ a une dimension de Hausdorff nulle, cela implique que l'ensemble $K(A)$ contient des nombres qui ne sont pas des nombres de Liouville. Cela confirme que la condition d'Erdős pour générer des nombres de Liouville est précise ; assouplir la condition de croissance produit des ensembles de dimension positive contenant des nombres non-Liouville.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir les premières bornes inférieures positives sur la dimension de Hausdorff des ensembles expressibles avec des chiffres restreints. La signification principale réside dans la démonstration que la propriété « Liouville » n'est pas universelle pour les suites à croissance rapide ; elle dépend plutôt de manière critique du taux de croissance spécifique et de la taille des ensembles de chiffres.

Les auteurs déclarent explicitement que leurs résultats montrent que la construction d'Erdős de 1976 produit des nombres non-Liouville sous des conditions de croissance plus faibles que ce qui était précédemment pensé. Ils notent que, bien que leurs bornes soient positives, ils soupçonnent qu'elles ne sont pas optimales, car les bornes supérieures pour ces ensembles spécifiques n'ont pas encore été calculées. L'article conclut en identifiant le retrait de la restriction $K^2 < b$ dans le Théorème 2 et le calcul des bornes supérieures pour ces ensembles comme des problèmes ouverts. L'ouvrage ne propose pas de nouvelles applications, mais affine plutôt la compréhension théorique des propriétés métriques des nombres définis par des développements en séries spécifiques.

La Grande Question : Quel genre de nombre obtenez-vous ?

La Découverte des Auteurs : La Stratégie du "Creux"

Les Trois Résultats Principaux

Le "Et Alors ?" (Sans le Jargon)

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