🔢 mathematics

Lower bounds for the Hausdorff dimension of expressible sets

Dit artikel vestigt positieve ondergrenzen voor de Hausdorff-dimensie van verzamelingen van reële getallen die worden gedefinieerd door specifieke reeksontwikkelingen, een resultaat dat impliceert dat bepaalde irrationale getallen uit Erdős's constructie van 1976 geen Liouville-getallen zijn.

Oorspronkelijke auteurs: Maiken Gravgaard, Simon Kristensen, Jaroslav Hančl

Gepubliceerd 2026-05-27

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Maiken Gravgaard, Simon Kristensen, Jaroslav Hančl

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een zeer vreemd, zeer specifiek getal bouwt. Je doet dit door een oneindige lijst van kleine breuken op te tellen.

De formule ziet er als volgt uit:
$\text{Getal} = \frac{1}{d_1 a_1} + \frac{1}{d_2 a_2} + \frac{1}{d_3 a_3} + \dots$

In dit artikel spelen de auteurs met twee hoofdingrediënten:

De "Basis" ( $a_n$ ): Dit zijn getallen die zeer snel enorm groot worden. Denk aan ze als de noemers van je breuken. Ze groeien zo snel dat de breuken bijna direct microscopisch klein worden.
De "Cijfers" ( $d_n$ ): Dit zijn de getallen die je kiest om de basis mee te vermenigvuldigen. In de eenvoudigste versie kun je elk natuurlijk getal kiezen (1, 2, 3...). Maar in dit artikel beperken de auteurs je. Misschien mag je alleen getallen tussen 1 en 10 kiezen, of misschien alleen even getallen.

De Grote Vraag: Wat voor soort getal krijg je?

Wanneer je deze oneindige breuken optelt, krijg je een reëel getal. De auteurs willen twee dingen weten over de verzameling van alle mogelijke getallen die je met deze regels kunt maken:

Is het "Irrationaal"? (Kan het worden geschreven als een simpele breuk zoals 1/2?)
Is het een "Liouville-getal"? Dit is een speciaal, vreemd type irrationaal getal. Liouville-getallen zijn "te makkelijk" te benaderen met simpele breuken. Ze liggen zo dicht bij rationale getallen dat ze als "transcendent" worden beschouwd (geen wortel van een polynoomvergelijking).

Lange tijd wisten wiskundigen dat als je "Basis"-getallen ( $a_n$ ) snel genoeg groeiden, het resulterende getal irrationaal zou zijn. Maar er was een addertje onder het gras: als ze te snel groeiden, zou het getal een Liouville-getal worden.

De Ontdekking van de Auteurs: De "Kloof"-Strategie

De auteurs wilden een "sweet spot" vinden. Ze wilden bewijzen dat als je je keuzes van "Cijfers" ( $d_n$ ) precies goed beperkt, je een verzameling getallen kunt creëren die:

Irrationaal zijn (geen simpele breuken).
GEEN Liouville-getallen zijn (ze zijn niet "te makkelijk" te benaderen).
Transcendent zijn (wiskundig complex).

Om dit te doen, gebruikten ze een slim visueel trucje met Cantor-sets.

De Analogie: Het Knijpende Schuimrubber
Stel je voor dat je een lange stok hebt (die alle mogelijke getallen vertegenwoordigt).

Niveau 0: Je hebt de hele stok.
Niveau 1: Je snijdt de middelste delen eruit, waardoor alleen een paar kleinere stokjes overblijven.
Niveau 2: Je neemt die kleinere stokjes en snijdt weer meer middelste delen eruit, waardoor nog kleinere stokjes overblijven.
Herhaal dit voor altijd.

De "Uitdrukbare Verzameling" is het stof dat overblijft nadat je dit voor altijd hebt gedaan.

De belangrijkste taak van de auteurs was om te bewijzen dat wanneer ze de middelste delen eruit snijden (de "kloven"), de overgebleven stokjes dik genoeg zijn om een niet-nul "Hausdorff-dimensie" te hebben.

Hausdorff-dimensie is een manier om de "grootte" of "ruwheid" van een vorm te meten. Een lijn heeft dimensie 1. Een punt heeft dimensie 0. Een fractaal (zoals het stof in ons schuimrubber) kan een dimensie van 0,5 hebben.
Als de dimensie groter is dan 0, betekent dit dat de verzameling "groot" is in wiskundige zin.
Als de dimensie 0 is, is de verzameling "klein" (zoals de verzameling van alle Liouville-getallen, die zo klein is dat deze dimensie 0 heeft).

De Drie Hoofdresultaten

Het artikel presenteert drie scenario's op basis van hoe snel de "Basis"-getallen ( $a_n$ ) groeien:

1. De Geometrische Groei (Het "Snel maar Stabiele" Geval)
Als de basisgetallen groeien als machten van een getal (bijvoorbeeld $2^n, 3^n, 4^n$ ), en je beperkt je "cijfers" tot een kleine, vaste verzameling (zoals alleen het kiezen van 1, 2 of 3), bewezen de auteurs dat de resulterende verzameling getallen een positieve dimensie heeft.

Het Addertje: De basis moet snel genoeg groeien in verhouding tot hoeveel cijfers je mag kiezen. Als je te veel cijfers kiest, verdwijnen de "kloven" en wordt de verzameling een massief blok (een interval) in plaats van een fractaal stof.

2. De Dubbel Exponentiële Groei (Het "Explosieve" Geval)
Als de basisgetallen ongelooflijk snel groeien (zoals $2^{2^n}$ ), toonden de auteurs aan dat zelfs met zeer specifieke beperkingen op de cijfers, de resulterende verzameling getallen nog steeds een positieve dimensie heeft.

Waarom dit belangrijk is: Dit bewijst dat je niet nodig hebt dat de getallen oneindig snel groeien om complexe getallen te krijgen. Je kunt een "gematigde" explosieve groei hebben en toch een rijke verzameling getallen krijgen die geen Liouville-getallen zijn.

3. De "Langzamere" Dubbel Exponentiële Groei
Ze keken ook naar een iets langzamere versie van de explosieve groei en vonden vergelijkbare resultaten, waarbij bewezen werd dat de verzameling "goede" getallen nog steeds substantieel is.

De "En dan?" (Zonder Jargon)

Het meest spannende deel van het artikel is Corollarium 5.

Decennia lang wisten wiskundigen dat als je basisgetallen ( $a_n$ ) snel genoeg groeiden, de resulterende getallen irrationaal waren. Maar ze wisten niet of die getallen "te makkelijk" te benaderen waren (Liouville) of "precies goed".

De auteurs bewezen dat Erdős's beroemde regel uit 1976 scherp is.

Als de basisgetallen te snel groeien, krijg je Liouville-getallen (dimensie 0).
Maar als ze slechts een beetje langzamer groeien (specifiek, als de groeisnelheid niet te snel naar oneindig explodeert), krijg je een verzameling getallen die geen Liouville-getallen zijn.

De Conclusie:
De auteurs bouwden een wiskundig "zeef". Door zorgvuldig te kiezen hoe snel de noemers groeien en de keuzes van de tellers te beperken, bewezen ze dat je een "dikke" verzameling getallen kunt creëren die irrationaal en transcendent zijn, maar niet de vreemde, makkelijk te benaderen Liouville-getallen. Ze toonden aan dat de grens tussen "normale" irrationale getallen en "vreemde" Liouville-getallen veel preciezer is dan eerder werd gedacht.

Ze pasten dit niet toe op geneeskunde, techniek of financiën. Ze losten simpelweg een raadsel op over de fundamentele aard van getallen en hoe "groot" de verzameling van deze speciale getallen is.

Technische Samenvatting: Ondergrenzen voor de Hausdorff-dimensie van uitdrukbare verzamelingen

Probleemstelling
Het artikel onderzoekt de Hausdorff-dimensie van "uitdrukbare verzamelingen", gedefinieerd als verzamelingen van reële getallen die worden gevormd door reeksen van de vorm:
$x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{d_n a_n}$
waarbij $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ een rij reële getallen is (de "basis") en $(d_n)_{n=1}^{\infty}$ een rij natuurlijke getallen is (de "cijfers") gekozen uit specifieke verzamelingen $D_n$ .

Het centrale probleem betreft de kloof tussen bestaande resultaten over de irrationaliteit en transcendentie van dergelijke sommen en de metrische eigenschappen van de verzamelingen die ze genereren. Vorig werk van Erdős (1975) en Hančl stelde voorwaarden vast waaronder deze sommen irrationaal of Liouville-getallen zijn. Specifiek, als de rij $a_n$ voldoende snel groeit (bijvoorbeeld $\limsup a_n^{1/2^n} = \infty$ ), zijn de resulterende getallen irrationaal; als de groei nog sneller is, zijn het Liouville-getallen (een verzameling met Hausdorff-dimensie nul). Het was echter onduidelijk wat er gebeurt wanneer de groeivoorwaarden intermediair zijn of wanneer restricties worden opgelegd aan de cijfers $d_n$ . De auteurs beogen positieve ondergrenzen voor de Hausdorff-dimensie van deze verzamelingen vast te stellen, en daarmee te bewijzen dat onder bepaalde groeivoorwaarden de verzamelingen niet-Liouville (en potentieel niet-transcendente) getallen bevatten.

Methodologie
De auteurs hanteren een geometrische constructiebenadering, waarbij ze de uitdrukbare verzamelingen modelleren als gegeneraliseerde Cantor-verzamelingen. De strategie omvat:

Constructie van Cantor-verzamelingen: De reeks wordt beschouwd als een getalsstelsel waarbij $a_n$ fungeert als basis en $d_n$ als cijfers. De verzameling $K(A, (D_n))$ wordt geconstrueerd door intervallen iteratief te splitsen.
Gap-analyse: Om een bekende ondergrensstelling voor de Hausdorff-dimensie van gegeneraliseerde Cantor-verzamelingen toe te passen (Stelling 1, gebaseerd op Falconer), moeten de auteurs ervoor zorgen dat er "gaten" bestaan tussen de deelintraallen op elk niveau $n$ . Dit vereist het bewijzen dat het verschil tussen aangrenzende partiële sommen strikt groter is dan de maximaal mogelijke staartsom van de reeks.
Kwantitatieve schattingen: De auteurs leiden expliciete ondergrenzen af voor de gatengroottes ( $\varepsilon_n$ ) en bovengrenzen voor het aantal deelintraallen ( $m_n$ ) op elk niveau. Ze substitueren deze schattingen in de dimensieformule:
$\dim_H(C) \ge \limsup_{n \to \infty} \frac{\log(m_1 \cdots m_n)}{-\log(m_{n+1} \varepsilon_{n+1})}$
Groeiclassificaties: De analyse is verdeeld in drie gevallen op basis van de groeisnelheid van de rij $a_n$ $a_{n}$ :
- Geometrische groei ( $a_n = b^n$ ).
- Dubbel-exponentiële groei ( $a_n \approx 2^{N^n}$ ).
- Langzamere dubbel-exponentiële groei ( $a_n \approx N^{2^n}$ ).

Belangrijkste bijdragen en resultaten

Stelling 2 (Geometrische groei): Voor rijen waarbij $a_n = b^n$ met $b > 4$ en cijfers beperkt tot een eindige verzameling $D_n = \{1, \dots, K\}$ zodanig dat $K^2 < b$ , bewijzen de auteurs:
$\dim_H(K) \ge \frac{\log(K)}{\log(b)}$
Dit resultaat toont aan dat het beperken van de cijfers de dimensie kan reduceren van volledig (interval) naar een positieve waarde, mits de basis $b$ groot genoeg is ten opzichte van de grootte van de cijferverzameling.
Stelling 3 (Dubbel-exponentiële groei): Voor rijen die groeien als $a_n = 2^{N^n f(n)}$ met specifieke beperkingen aan de cijferverzamelingen $D_n$ , stellen de auteurs een ondergrens vast:
$\dim_H(K) \ge \frac{s}{(N-1)(N-s)}$
waarbij $s$ en $N$ parameters zijn die gerelateerd zijn aan de groeisnelheden van de basis en de cijferverzamelingen.
Stelling 4 (Langzamere dubbel-exponentiële groei): Voor rijen die groeien als $a_n = N^{2^n f(n)}$ wordt een ondergrens afgeleid:
$\dim_H(K) \ge \frac{s}{2-s}$
Opmerkelijk is dat deze grens onafhankelijk is van de basisparameter $N$ , in tegenstelling tot Stelling 3 waarbij de grens afneemt naarmate $N$ toeneemt.
Corollarium 5 (Scherpte van het criterium van Erdős): De auteurs passen hun resultaten toe op geheeltallige rijen. Ze tonen aan dat als $\limsup_{n \to \infty} a_n^{1/t^n} < \infty$ voor zekere $t \in \mathbb{N}$ , de uitdrukbare verzameling $K(A)$ getallen bevat die geen $U^*$ -getallen zijn (een klasse die Liouville-getallen omvat). Aangezien de verzameling van $U^*$ -getallen een Hausdorff-dimensie van nul heeft, impliceert dit dat de verzameling $K(A)$ getallen bevat die geen Liouville-getallen zijn. Dit bevestigt dat de voorwaarde van Erdős voor het genereren van Liouville-getallen scherp is; het versoepelen van de groeivoorwaarde levert verzamelingen op met een positieve dimensie die niet-Liouville getallen bevatten.

Betekenis en claims
Het artikel claimt de eerste positieve ondergrenzen te leveren voor de Hausdorff-dimensie van uitdrukbare verzamelingen met beperkte cijfers. De primaire betekenis ligt in het aantonen dat de "Liouville"-eigenschap niet universeel is voor snel groeiende rijen; in plaats daarvan hangt deze kritiek af van de specifieke groeisnelheid en de grootte van de cijferverzamelingen.

De auteurs stellen expliciet dat hun resultaten aantonen dat de constructie van Erdős uit 1976 niet-Liouville getallen oplevert onder zwakkere groeivoorwaarden dan eerder werd gedacht. Zij merken op dat hoewel hun grenzen positief zijn, ze vermoeden dat deze niet optimaal zijn, aangezien bovengrenzen voor deze specifieke verzamelingen nog niet zijn berekend. Het artikel concludeert met het identificeren van het verwijderen van de restrictie $K^2 < b$ in Stelling 2 en de berekening van bovengrenzen voor deze verzamelingen als open problemen. Het werk stelt geen nieuwe toepassingen voor, maar verfijnt eerder het theoretische begrip van de metrische eigenschappen van getallen die worden gedefinieerd door specifieke reeksontwikkelingen.

De Grote Vraag: Wat voor soort getal krijg je?

De Ontdekking van de Auteurs: De "Kloof"-Strategie

De Drie Hoofdresultaten

De "En dan?" (Zonder Jargon)

Meer zoals dit