Multicontinuum Generalized Multiscale Finite Element Method (MC-GMsFEM). Theory and applications to upscaling of two-phase flow

Resumen Técnico: Método de Elementos Finitos de Multiescala Generalizado de Multicontinuo (MC-GMsFEM)

Planteamiento del Problema
Los problemas multiescala en medios heterogéneos se abordan típicamente mediante la construcción de modelos a escala gruesa que incorporan información de escala fina a través de funciones de base multiescala. Si bien los métodos existentes (como el GMsFEM) aproximan eficientemente las soluciones de escala fina en mallas gruesas, generalmente carecen de un marco sistemático para derivar ecuaciones diferenciales macroscópicas físicamente consistentes. La representación a escala gruesa en estos métodos suele involucrar grados de libertad que carecen de continuidad espacial, lo que oscurece la conexión con los modelos de continuo subyacentes. Además, las técnicas de homogeneización de multicontinuo tradicionales tienen dificultades con sistemas complejos donde el número de continuos que interactúan varía espacial y dinámicamente, requiriendo a menudo la resolución de problemas de celda especiales que son difíciles de implementar.

Este artículo aborda estas limitaciones mediante el desarrollo de un marco unificado capaz de construir funciones de base multiescala conformes y, simultáneamente, permitir la derivación sistemática de las ecuaciones gobernantes macroscópicas. Una aplicación principal considerada es el escalamiento hacia arriba (upscaling) del flujo bifásico inmiscible en medios porosos heterogéneos, donde surgen múltiples continuos interactuantes (incluyendo fases móviles y atrapadas).

Metodología: Marco MC-GMsFEM
El propuesto Método de Elementos Finitos de Multiescala Generalizado de Multicontinuo (MC-GMsFEM) integra construcciones de elementos finitos multiescala con representaciones de multicontinuo. La metodología central procede de la siguiente manera:

1. Identificación de Continua: El método asume la identificación de los continuos de forma global (por ejemplo, mediante funciones características $\psi_i$). En el contexto del flujo bifásico, estos continuos corresponden a distintas fases de fluido o regiones específicas como ganglios atrapados.
2. Construcción de Funciones Auxiliares:
   • Funciones de Continuo ($N_i$): Se construyen funciones locales que representan el $i$-ésimo continuo resolviendo problemas locales con restricciones integrales. Específicamente, $N_i$ se define de tal manera que tiene un promedio unitario sobre el continuo $i$ y promedios nulos sobre todos los demás continuos dentro de un bloque grueso $K$: $\int_K N_i \psi_j = \delta_{ij} \int_K \psi_j$.
   • Funciones de Corrección de Gradiente ($M_i$): Para dar cuenta de las características de escala fina y los gradientes, se construyen funciones auxiliares $M_i$ (o sus contrapartes discretas $z_i = M_i \cdot \nabla \phi_0$). Estas satisfacen problemas locales con condiciones de contorno nulas en los límites de los bloques gruesos y restricciones de ortogonalidad con respecto a los continuos.
3. Representación de la Función de Base: Las funciones de base multiescala se expresan como:
   $$\phi^j_i = N_i \phi^j_0 + M_i \cdot \nabla \phi^j_0$$
   donde $\phi^j_0$ son funciones de partición de la unidad estándar. Esta representación separa las variables gruesas y sus gradientes.
4. Derivación de las Ecuaciones Macroscópicas: La solución a escala gruesa se descompone como $u_H = \sum_i (N_i U_i + M_i \cdot \nabla U_i)$, donde $U_i$ son las variables del continuo. Al sustituir esta descomposición en la formulación variacional de las ecuaciones gobernantes (por ejemplo, ecuaciones elípticas o flujo de Stokes), los autores derivan las ecuaciones macroscópicas. Estas ecuaciones incluyen naturalmente términos que involucran los gradientes de las variables del continuo (términos de tipo Brinkman), los cuales son cruciales para capturar efectos en regiones atrapadas.
5. Aplicación al Flujo Bifásico: El marco se aplica a ecuaciones acopladas de flujo de Stokes y transporte. El método trata las regiones largas de fluido atrapado como continuos distintos. Las ecuaciones de incompresibilidad y de momento se derivan tanto para formulaciones de presión de un solo continuo como de multicontinuo, resultando en modelos macroscópicos que dan cuenta de los términos de transferencia entre continuos y las restricciones de incompresibilidad.

Resultados Clave
El artículo presenta experimentos numéricos para ecuaciones elípticas en dominios heterogéneos y perforados, así como simulaciones de flujo bifásico en medios perforados.

• Problemas Elípticos: El MC-GMsFEM fue probado en microestructuras heterogéneas y perforadas. El método demostró una alta precisión, con errores relativos para las soluciones escaladas hacia arriba (upscaled) y hacia abajo (downscaled) que generalmente se mantuvieron por debajo del 20% en varios casos de prueba (Tabla 1). Las visualizaciones confirmaron que las soluciones multiescala de escala inferior se ajustaban estrechamente a las soluciones de referencia de la malla fina.
• Flujo Bifásico:
  • Detección de Ganglios: Se utilizó un algoritmo de búsqueda en anchura (BFS) para identificar las regiones de fluido atrapado (ganglios) y tratarlas como continuos separados.
  • Precisión: En pruebas que involucraron Dominios Objetivo 1 y 2 con diversas realizaciones de dedos (Pruebas A–E), el enfoque MC-GMsFEM (tanto en variantes globales como locales) produjo soluciones a escala gruesa con pequeños errores relativos en comparación con los promedios de la malla fina de referencia (Tablas 2–16).
  • Impacto de los Términos de Gradiente: Un experimento crítico (Prueba C) comparó modelos con y sin los términos de gradiente de velocidad ($M_i \cdot \nabla U_i$). Los resultados (Tabla 17) mostraron que omitir estos términos (reduciendo el modelo a un modelo estándar de Darcy de multicontinuo) aumentó significativamente los errores, particularmente para las velocidades de los ganglios atrapados (el error aumentó de ~16% a ~96%). Esto indica que los términos de gradiente son esenciales para modelar con precisión las regiones atrapadas.
  • Separación de Continua: El estudio mostró que tratar los ganglios como continuos distintos mejora la consistencia física del modelo, aunque se encontró que el impacto numérico en los errores de concentración fue menor en los casos de prueba específicos, mientras que la representación de la velocidad se refinó significativamente.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el MC-GMsFEM ofrece un enfoque robusto y general para modelar sistemas multiescala complejos. Su principal significancia radica en:

1. Marco Unificado: Proporciona una vía sistemática para derivar las ecuaciones gobernantes macroscópicas directamente de las discretizaciones multiescala, cerrando la brecha entre la aproximación numérica y la homogeneización de continuo.
2. Flexibilidad: A diferencia de los enfoques de multicontinuo anteriores, este marco maneja medios heterogéneos donde el número de continuos interactuantes varía espacial y dinámicamente sin requerir la solución de problemas de celda especiales para cada configuración.
3. Consistencia Física: Al integrar naturalmente el método dentro de un entorno estándar de elementos finitos, permite la derivación de ecuaciones macroscópicas que incluyen los términos de gradiente necesarios, los cuales se ha demostrado que son críticos para capturar la dinámica de las fases atrapadas en el flujo bifásico.
4. Eficiencia Computacional: El método permite simulaciones eficientes en mallas gruesas preservando la información de escala fina, ofreciendo una alternativa computacionalmente eficiente al modelado completo de escala fina.

Los autores señalan modestamente que, si bien el método ofrece ventajas sobre las técnicas de homogeneización existentes, no define explícitamente los coeficientes del término de gradiente en las ecuaciones macroscópicas en una forma cerrada que pueda precalcularse fácilmente sin resolver problemas locales; sin embargo, se destaca la adaptabilidad del método a la variedad de continuos y heterogeneidades generales como su principal fortaleza.