Multicontinuum Generalized Multiscale Finite Element Method (MC-GMsFEM). Theory and applications to upscaling of two-phase flow

Resumo Técnico: Método de Elementos Finitos Multiescala Generalizado Multicontínuo (MC-GMsFEM)

Definição do Problema
Problemas multiescala em meios heterogêneos são tipicamente abordados através da construção de modelos de escala grossa que incorporam informações de escala fina via funções de base multiescala. Embora os métodos existentes (como o GMsFEM) aproximem eficientemente soluções de escala fina em grades grossas, eles geralmente carecem de um arcabouço sistemático para derivar equações diferenciais macroscópicas fisicamente consistentes. A representação de escala grossa nesses métodos frequentemente envolve graus de liberdade que carecem de continuidade espacial, obscurecendo a conexão com os modelos de contínuo subjacentes. Além disso, técnicas tradicionais de homogeneização de multicontínuos enfrentam dificuldades em sistemas complexos onde o número de contínuos interagentes varia espacialmente e dinamicamente, exigémendo frequentemente a solução de problemas de célula especiais que são difíceis de implementar.

Este artigo aborda essas limitações desenvolvendo um arcabouço unificado capaz de construir funções de base multiescala conformes e, simultaneamente, permitir a derivação sistemática das equações governantes macroscópicas. Uma aplicação primária considerada é o upscaling de fluxo bifásico imiscível em meios porosos heterogêneos, onde múltiplos contínuos interagentes (incluindo fases móveis e presas) surgem.

Metodologia: Arcabouço MC-GMsFEM
O proposto Método de Elementos Finitos Multiescala Generalizado Multicontínuo (MC-GMsFEM) integra construções de elementos finitos multiescala com representações de multicontínuos. A metodologia central procede da seguinte forma:

1. Identificação de Contínuos: O método assume a identificação de contínuos globalmente (por exemplo, via funções características $\psi_i$). No contexto de fluxo bifásico, esses contínuos correspondem a distintas fases de fluidos ou regiões específicas, como ganglios presos.
2. Construção de Funções Auxiliares:
   • Funções de Contínuo ($N_i$): Funções locais representando o $i$-ésimo contínuo são construídas resolvendo problemas locais com restrições integrais. Especificamente, $N_i$ é definido de modo que possua uma média unitária sobre o contínuo $i$ e médias nulas sobre todos os outros contínuos dentro de um bloco grosso $K$: $\int_K N_i \psi_j = \delta_{ij} \int_K \psi_j$.
   • Funções de Correção de Gradiente ($M_i$): Para contabilizar características de escala fina e gradientes, funções auxiliares $M_i$ (ou seus equivalentes discretos $z_i = M_i \cdot \nabla \phi_0$) são construídas. Estas satisfazem problemas locais com condições de contorno nulas nas fronteiras dos blocos grossos e restrições de ortogonalidade em relação aos contínuos.
3. Representação de Funções de Base: As funções de base multiescala são expressas como:
   $$\phi^j_i = N_i \phi^j_0 + M_i \cdot \nabla \phi^j_0$$
   onde $\phi^j_0$ são funções de partição da unidade padrão. Esta representação separa variáveis de escala grossa e seus gradientes.
4. Derivação de Equações Macroscópicas: A solução de escala grossa é decomposta como $u_H = \sum_i (N_i U_i + M_i \cdot \nabla U_i)$, onde $U_i$ são as variáveis de contínuo. Ao substituir esta decomposição na formulação variacional das equações governantes (por exemplo, equações elípticas ou fluxo de Stokes), os autores derivam as equações macroscópicas. Estas equações incluem naturalmente termos envolvendo os gradientes das variáveis de contínuo (termos do tipo Brinkman), que são cruciais para capturar efeitos em regiões presas.
5. Aplicação ao Fluxo Bifásico: O arcabouço é aplicado a equações acopladas de fluxo de Stokes e transporte. O método trata longas regiões de fluido presas como contínuos distintos. As equações de incompressibilidade e momento são derivadas tanto para formulações de pressão de fase única quanto de multicontínuo, resultando em modelos macroscópicos que contabilizam termos de transferência entre contínuos e restrições de incompressibilidade.

Principais Resultados
O artigo apresenta experimentos numéricos para equações elípticas em domínios heterogêneos e perfurados, bem como simulações de fluxo bifásico em meios perfurados.

• Problemas Elípticos: O MC-GMsFEM foi testado em microestruturas heterogêneas e perfuradas. O método demonstrou alta precisão, com erros relativos para soluções de upscaling e downscaling geralmente permanecendo abaixo de 20% em vários casos de teste (Tabela 1). As visualizações confirmaram que as soluções multiescala de downscaling coincidiram estreitamente com as soluções de referência de grade fina.
• Fluxo Bifásico:
  • Detecção de Ganglios: Um algoritmo de busca em largura (BFS) foi utilizado para identificar regiões de fluido presas (ganglios) e tratá-las como contínuos separados.
  • Precisão: Em testes envolvendo Domínios Alvo 1 e 2 com várias realizações de dedos (Testes A–E), a abordagem MC-GMsFEM (tanto variantes globais quanto locais) produziu soluções de escala grossa com pequenos erros relativos em comparação com as médias de referência de grade fina (Tabelas 2–16).
  • Impacto dos Termos de Gradiente: Um experimento crítico (Teste C) comparou modelos com e sem os termos de gradiente de velocidade ($M_i \cdot \nabla U_i$). Os resultados (Tabela 17) mostraram que omitir estes termos (reduzindo o modelo a um modelo Darcy de multicontínuo padrão) aumentou significativamente os erros, particularmente para as velocidades de ganglios presos (o erro aumentou de ~16% para ~96%). Isto indica que os termos de gradiente são essenciais para modelar com precisão regiões presas.
  • Separação de Contínuos: O estudo mostrou que tratar os ganglios como contínuos distintos melhora a consistência física do modelo, embora o impacto numérico nos erros de concentração tenha sido considerado menor nos casos de teste específicos, enquanto a representação da velocidade foi significativamente refinada.

Significância e Alegações
O artigo alega que o MC-GMsFEM oferece uma abordagem robusta e geral para modelar sistemas multiescala complexos. Sua principal significância reside em:

1. Arcabouço Unificado: Fornece um caminho sistemático para derivar equações governantes macroscópicas diretamente de discretizações multiescala, preenchendo a lacuna entre aproximação numérica e homogeneização de contínuo.
2. Flexibilidade: Ao contrário de abordagens de multicontínuo anteriores, este arcabouço lida com meios heterogêneos onde o número de contínuos interagentes varia espacialmente e dinamicamente sem exigir soluções de problemas de célula especiais para cada configuração.
3. Consistência Física: Ao incorporar naturalmente o método dentro de um ambiente padrão de elementos finitos, permite a derivação de equações macroscópicas que incluem os termos de gradiente necessários, que se mostraram críticos para capturar a dinâmica de fases presas em fluxo bifásico.
4. Eficiência Computacional: O método permite simulações eficientes em grade grossa enquanto preserva a informação de escala fina, ofereando uma alternativa computacionalmente eficiente ao modelagem completa de escala fina.

Os autores observam modestamente que, embora o método ofereça vantagens sobre as técnicas de homogeneização existentes, ele não define explicitamente os coeficientes do termo de gradiente nas equações macroscópicas em uma forma fechada que possa ser facilmente pré-calculada sem resolver problemas locais; no entanto, a adaptabilidade do método a contínuos variáveis e heterogeneidades gerais é destacada como sua principal força.