Multicontinuum Generalized Multiscale Finite Element Method (MC-GMsFEM). Theory and applications to upscaling of two-phase flow

Technische Samenvatting: Multicontinuum Generalized Multiscale Finite Element Method (MC-GMsFEM)

Probleemstelling
Multiscale-problemen in heterogene media worden doorgaans aangepakt door het construeren van grootschalige modellen die fijnmazige informatie integreren via multiscale basisfuncties. Hoewel bestaande methoden (zoals GMsFEM) fijnmazige oplossingen op grove roosters efficiënt benaderen, missen ze over het algemeen een systematisch kader voor het afleiden van fysisch consistente macroscopische differentiaalvergelijkingen. De grootschalige representatie in deze methoden betreft vaak vrijheidsgraden die geen ruimtelijke continuïteit bezitten, waardoor de verbinding met onderliggende continuümmodellen wordt vertroebeld. Bovendien hebben traditionele multicontinuüm homogenisatietechnieken moeite met complexe systemen waarbij het aantal interagerende continua ruimtelijk en dynamisch varieert, wat vaak het oplossen van speciale celproblemen vereist die moeilijk te implementeren zijn.

Dit artikel pakt deze beperkingen aan door een verenigd kader te ontwikkelen dat in staat is om conforme multiscale basisfuncties te construeren en tegelijkertijd de systematische afleiding van macroscopische sturende vergelijkingen mogelijk te maken. Een primaire toepassing die wordt overwogen, is de upscaling van twee-fasen onmengbare stroming in heterogene poreuze media, waarbij meerdere interagerende continua (inclusief mobiele en gevangen fasen) ontstaan.

Methodologie: MC-GMsFEM Kader
De voorgestelde Multicontinuum Generalized Multiscale Finite Element Method (MC-GMsFEM) integreert multiscale eindelementconstructies met multicontinuümrepresentaties. De kernmethodologie verloopt als volgt:

1. Identificatie van Continua: De methode gaat uit van de identificatie van continua globaal (bijv. via karakteristieke functies $\psi_i$). In de context van twee-fasenstroming komen deze continua overeen met verschillende fluïdfasen of specifieke regio's zoals gevangen ganglia.
2. Constructie van Hulppuncties:
   • Continuümfuncties ($N_i$): Lokale functies die het $i$-de continuüm vertegenwoordigen, worden geconstrueerd door lokale problemen met integrale restricties op te lossen. Specifiek is $N_i$ gedefinieerd zodanig dat deze een eenheidsgemiddelde heeft over continuüm $i$ en nulgemiddelden over alle andere continua binnen een grof blok $K$: $\int_K N_i \psi_j = \delta_{ij} \int_K \psi_j$.
   • Gradiëntcorrectiefuncties ($M_i$): Om rekening te houden met fijnmazige kenmerken en gradiënten, worden hulppuncties $M_i$ (of hun discrete tegenhangers $z_i = M_i \cdot \nabla \phi_0$) geconstrueerd. Deze voldoen aan lokale problemen met nulrandvoorwaarden op de grenzen van het grove blok en orthogonaliteitsrestricties ten opzichte van de continua.
3. Basisfunctie Representatie: De multiscale basisfuncties worden uitgedrukt als:
   $$\phi^j_i = N_i \phi^j_0 + M_i \cdot \nabla \phi^j_0$$
   waarbij $\phi^j_0$ standaard partition of unity-functies zijn. Deze representatie scheidt grove variabelen en hun gradiënten.
4. Afleiding van Macroscopische Vergelijkingen: De grootschalige oplossing wordt ontleed als $u_H = \sum_i (N_i U_i + M_i \cdot \nabla U_i)$, waarbij $U_i$ de continuümvariabelen zijn. Door deze ontleding te substitueren in de variationele formulering van de sturende vergelijkingen (bijv. elliptische vergelijkingen of Stokes-stroming), leiden de auteurs macroscopische vergelijkingen af. Deze vergelijkingen bevatten van nature termen die betrokken zijn bij de gradiënten van de continuümvariabelen (Brinkman-achtige termen), die cruciaal zijn voor het vastleggen van effecten in gevangen regio's.
5. Toepassing op Twee-Fasenstroming: Het kader wordt toegepast op gekoppelde Stokes-stroming en transportvergelijkingen. De methode behandelt langdurige gevangen fluïdumregio's als afzonderlijke continua. De onsamendrukbaarheid en momentumvergelijkingen worden afgeleid voor zowel single-pressure als multicontinuüm drukformuleringen, wat resulteert in macroscopische modellen die rekening houden met transfertermen tussen continua en onsamendrukbaarheidsrestricties.

Belangrijkste Resultaten
Het artikel presenteert numerieke experimenten voor elliptische vergelijkingen in heterogene en geperforeerde domeinen, evenals twee-fasenstromingssimulaties in geperforeerde media.

• Elliptische Problemen: De MC-GMsFEM werd getest op heterogene en geperforeerde microstructuren. De methode toonde een hoge nauwkeurigheid, waarbij relatieve fouten voor geupscalde en gedownscaleerde oplossingen over diverse testgevallen algemeen onder de 20% bleven (Tabel 1). De visualisaties bevestigden dat de gedownscaleerde multiscale oplossingen nauw aansloten bij de referentie fijnmazige oplossingen.
• Twee-Fasenstroming:
  • Ganglia Detectie: Een breadth-first search (BFS) algoritme werd gebruikt om gevangen fluïdumregio's (ganglia) te identificeren en deze als aparte continua te behandelen.
  • Nauwkeurigheid: In tests met Target domeinen 1 en 2 met diverse vinger-realisaties (Tests A–E), produceerden de MC-GMsFEM-benaderingen (zowel globale als lokale varianten) grootschalige oplossingen met kleine relatieve fouten vergeleken met referentie fijnmazige gemiddelden (Tabellen 2–16).
  • Impact van Gradiënttermen: Een kritiek experiment (Test C) vergeleken modellen met en zonder de snelheidgradiënttermen ($M_i \cdot \nabla U_i$). De resultaten (Tabel 17) toonden aan dat het weglaten van deze termen (waardoor het model reduceert tot een standaard multicontinuüm Darcy-model) de fouten aanzienlijk vergrootte, met name voor de snelheden van de gevangen ganglia (de fout steeg van ~16% naar ~96%). Dit geeft aan dat gradiënttermen essentieel zijn voor het nauwkeurig modelleren van gevangen regio's.
  • Continuüm Scheiding: De studie toonde aan dat het behandelen van ganglia als afzonderlijke continua de fysische consistentie van het model verbetert, hoewel de numerieke impact op concentratiefouten in de specifieke testgevallen beperkt bleek, terwijl de representatie van de snelheid aanzienlijk werd verfijnd.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat MC-GMsFEM een robuust en algemeen aanpak biedt voor het modelleren van complexe multiscale systemen. De primaire betekenis ligt in:

1. Verenigd Kader: Het biedt een systematisch pad om macroscopische sturende vergelijkingen direct af te leiden uit multiscale discretisaties, waardoor de kloof tussen numerieke benadering en continuümhomogenisatie wordt overbrugd.
2. Flexibiliteit: In tegenstelling tot eerdere multicontinuüm benaderingen, kan dit kader omgaan met heterogene media waarbij het aantal interagerende continua ruimtelijk en dynamisch varieert zonder dat er speciale celprobleemoplossingen voor elke configuratie nodig zijn.
3. Fysische Consistentie: Door de methode natuurlijk in te bedden in een standaard eindelementensetting, maakt het de afleiding van macroscopische vergelijkingen mogelijk die noodzakelijke gradiënttermen bevatten, welke essentieel zijn gebleken voor het vastleggen van de dynamica van gevangen fasen in twee-fasenstroming.
4. Computationele Efficiëntie: De methode maakt efficiënte grootschalige simulaties mogelijk terwijl fijnmazige informatie behouden blijft, wat een computationeel efficiënt alternatief biedt voor volledige fijnmazige modellering.

De auteurs merken bescheiden op dat hoewel de methode voordelen biedt ten opzichte van bestaande homogenisatietechnieken, het de gradiënttermcoëfficiënten in de macroscopische vergelijkingen niet expliciet in een gesloten vorm definieert die gemakkelijk vooraf berekend kan worden zonder lokale problemen op te lossen; de aanpasbaarheid van de methode aan variërende continua en algemene heterogeniteiten wordt echter benadrukt als de belangrijkste kracht.