Resumen Técnico: Co-diseño Jerárquico de Control y Topología Basado en Modelos y en Datos para Sistemas de Red Robustos

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el desafío de diseñar sistemas de red a gran escala compuestos por subsistemas lineales interconectados sujetos a perturbaciones externas. El objetivo central es sintetizar conjuntamente tres componentes:

1. Controladores Locales: Leyes de retroalimentación para subsistemas individuales.
2. Controladores Globales Distribuidos: Mecanismos de coordinación que utilizan la información intercambiada entre subsistemas vecinos.
3. Topología de Interconexión: La estructura de comunicación o física que vincula a los subsistemas.

El diseño debe asegurar la disipatividad global (una métrica de robustez que abarca estabilidad, ganancia $L_2$ y pasividad) desde las entradas de perturbación hacia las salidas de desempeño, mientras se optimiza el costo de la topología de interconexión (por ejemplo, la dispersión de la comunicación).

Una limitación significativa en la literatura existente es la dependencia del conocimiento preciso de la dinámica de los subsistemas, la cual suele no estar disponible en aplicaciones del mundo real. Además, muchos métodos existentes tratan la topología como fija o requieren procedimientos de diseño centralizados, no convexos e iterativos que carecen de escalabilidad. Este artículo busca desarrollar un marco unificado que:

• Realice un co-diseño jerárquico (controladores locales $\to$ controladores globales + topología).
• Opere bajo supuestos basados en modelos (dinámica conocida) y basados en datos (dinámica desconocida, datos de trayectoria conocidos).
• Mantenga la componibilidad y la descentralizabilidad mediante el uso de Desigualdades Matriciales Lineales (LMI).

2. Metodología

El enfoque propuesto se estructura jerárquicamente y se presenta en dos vías paralelas: basada en modelos y basada en datos.

A. Fundamentos Teóricos

El marco se basa en la teoría de la disipatividad, específicamente en la $X$-disipatividad, que generaliza propiedades como la pasividad y la estabilidad $L_2$ de ganancia finita.

• Nivel Local: Cada subsistema se diseña para satisfacer un certificado de disipatividad local ($X_i$-disipatividad).
• Nivel Global: Estos certificados locales se propagan al nivel de red para garantizar la disipatividad global ($Y$-disipatividad) mediante la matriz de interconexión $M$.
• Herramientas: El diseño utiliza el complemento de Schur, los principios de congruencia y el Lema de S de Matriz (para manejar restricciones cuadráticas en entornos basados en datos).

B. Co-diseño Jerárquico Basado en Modelos

Este enfoque asume el conocimiento completo de la dinámica del subsistema ($A_i, B_i, C_i$).

1. Síntesis del Controlador Local: Se diseña un controlador de retroalimentación de estado local ($K_i$) para cada subsistema con el fin de imponer una propiedad de disipatividad local específica ($X_i$-disipatividad) con restricciones $X_{i}^{11} > 0$ y $X_{i}^{22} < 0$. Esto se formula como un problema de LMI.
2. Diseño Local Refinado: Para mejorar la viabilidad de la etapa global posterior, el diseño local se aumenta con condiciones necesarias derivadas de la LMI global. Esto implica un cambio de variables para sesgar los certificados de disipatividad local hacia la compatibilidad global.
3. Co-diseño Global: Utilizando los certificados locales fijos, se co-diseñan un controlador global distribuido ($K$) y la topología de comunicación. El controlador global se define como $\bar{u} = Ky$, donde la dispersión de $K$ (y, por tanto, de los enlaces de comunicación) se optimiza. Esta etapa resuelve un único problema de LMI para imponer la disipatividad global mientras se minimiza una función objetivo que promueve la dispersión ($\| \bar{K} \|_1$) y optimiza los límites de desempeño.

C. Diseño Jerárquico Basado en Datos

Este enfoque asume que la dinámica del subsistema es desconocida, pero se dispone de datos de trayectoria de entrada-estado-salida ricos.

1. Consistencia de Datos: El conjunto de todos los modelos de sistema consistentes con los datos observados y las perturbaciones acotadas se caracteriza mediante una Desigualdad de Matriz Cuadrática (QMI).
2. Modelado de Perturbaciones: Se asume que las perturbaciones desconocidas están acotadas por una desigualdad de matriz cuadrática (relajando los límites convencionales).
3. Síntesis del Controlador Local: El controlador local se sintetiza directamente a partir de los datos. Se emplea el Lema de S de Matriz para convertir el requisito de que el controlador debe funcionar para todos los modelos consistentes con los datos en una LMI tratable. Esto asegura la robustez contra dinámicas y perturbaciones desconocidas.
4. Co-diseño Global: De manera similar al caso basado en modelos, el controlador global y la topología se co-diseñan. Las matrices del sistema desconocidas ($B$) en la LMI global se manejan reformulando el problema utilizando las QMI de consistencia de datos y el Lema de S de Matriz, lo que resulta en una condición LMI robusta que no requiere la identificación explícita del sistema.

3. Principales Contribuciones

El artículo describe cuatro contribuciones primarias:

1. Formulación de Co-diseño Jerárquico: Un nuevo marco para sistemas de red lineales que sintetiza conjuntamente controladores locales, controladores globales distribuidos y topologías de interconexión bajo restricciones de disipatividad global.
2. Marco LMI Basado en Modelos: Un proceso de diseño de dos etapas donde la retroalimentación local impone la disipatividad del subsistema, la cual se aprovecha para co-diseñar controladores y topologías distribuidas con garantías a nivel de red.
3. Contraparte Directa Basada en Datos: Un método que deriva condiciones LMI robustas utilizando únicamente datos de trayectoria de los subsistemas y límites de perturbación cuadráticos, evitando la necesidad de identificación explícita del sistema.
4. Aplicación de Caso de Estudio: Demostración de los métodos propuestos en un problema de control de una Microred de Corriente Continua (DCMG), con el objetivo de lograr una regulación de voltaje robusta y un reparto de corriente.

4. Resultados y Aplicación

El artículo valida los métodos propuestos utilizando un caso de estudio de una Microred de Corriente Continua que involucra múltiples Generadores Distribuidos (DG) y líneas resistivas.

• Objetivo: Lograr una regulación de voltaje robusta y un reparto proporcional de corriente mientras se diseña la topología de comunicación.
• Comparación: El diseño basado en disipatividad jerárquica propuesto se comparó con un controlador global estabilizador estándar.
• Hallazgos:
  • El método propuesto logró imponer con éxito los certificados de disipatividad deseados (regulación de voltaje y reparto de corriente).
  • Optimización de la Topología: A diferencia del controlador estabilizador de referencia, que requería una topología de comunicación totalmente conectada, el diseño jerárquico propuesto produjo una topología de comunicación más dispersa.
  • Desempeño: Ambos controladores lograron la regulación de estado estacionario deseada, pero el método propuesto lo hizo con menos enlaces de comunicación, demostando la eficacia de la optimación conjunta de control y topología.

5. Significación y Reivindicaciones

El artículo sostiene que su principal significación radica en abordar la brecha entre el diseño de control escalable y la síntesis de topología para sistemas de red.

• Escalabilidad y Componibilidad: Al utilizar un enfoque jerárquico basado en la disipatividad, el método evita procesos de diseño centralizados, no convexos e iterativos. Mantiene la componibilidad, permitiendo que las garantías locales se propaguen sistemáticamente a las garantías globales.
• Robustez ante la Incertidumbre: La extensión basada en datos es significativa porque proporciona garantías teóricas de estabilidad y desempeño sin requerir modelos de sistema precisos, lo cual es crucial para sistemas complejos del mundo real donde el modelado es difícil.
• Marco Unificado: El artículo proporciona un marco tratable y unificado (vía LMI) que maneja el co-diseño conjunto de controladores y topología tanto en entornos basados en modelos como basados en datos, una combinación que los autores señalan que ha sido ampliamente inexplorada en la literatura existente.

Los autores mantienen un tono modesto, señalando que, si bien la versión preliminar de este trabajo abordaba el análisis y la síntesis de topología, este artículo extiende el alcance para incluir la síntesis de controladores locales y el manejo de dinámicas desconocidas mediante métodos basados en datos. Los resultados se ilustran en un ejemplo específico de microred de corriente continua, con la implicación de que la metodología es aplicable a otros sistemas de red como pelotones vehiculares y cadenas de suministro, aunque no se presentan resultados específicos para esos dominios en este texto.