Résumé technique : Co-conception hiérarchique de la commande et de la topologie basée sur les modèles et sur les données pour les systèmes de réseaux robustes

1. Énoncé du problème

Le document traite du défi de la conception de systèmes en réseau à grande échelle composés de sous-systèmes linéaires interconnectés soumis à des perturbations externes. L'objectif central est de synthétiser conjointement trois composantes :

1. Contrôleurs locaux : Lois de rétroaction pour les sous-systèmes individuels.
2. Contrôleurs globaux distribués : Mécanismes de coordination utilisant les informations échangées entre les sous-systèmes voisins.
3. Topologie d'interconnexion : La structure de communication ou physique reliant les sous-systèmes.

La conception doit garantir la dissipativité globale (une métrique de robustesse englobant la stabilité, le gain $L_2$ et la passivité) des entrées de perturbation vers les sorties de performance, tout en optimisant le coût de la topologie d'interconnexion (par exemple, la parcimonie de la communication).

Une limitation significative de la littérature existante est la dépendance à une connaissance précise de la dynamique des sous-systèmes, qui est souvent indisponible dans les applications réelles. De plus, de nombreuses méthodes existantes traitent la topologie comme fixe ou nécessitent des procédures de conception centralisées, non convexes et itératives qui manquent de scalabilité. Ce document cherche à développer un cadre unifié qui :

• Effectue une co-conception hiérarchique (contrôleurs locaux $\to$ contrôleurs globaux + topologie).
• Opère sous des hypothèses basées sur les modèles (dynamiques connues) et basées sur les données (dynamiques inconnues, données de trajectoire connues).
• Maintient la compositionnalité et la décentralisabilité en s'appuyant sur les Inégalités Matricielles Linéaires (LMI).

2. Méthodologie

L'approche proposée est structurée hiérarchiquement et est présentée en deux pistes parallèles : basée sur les modèles et basée sur les données.

A. Fondements théoriques

Le cadre repose sur la théorie de la dissipativité, spécifiquement la $X$-dissipativité, qui généralise des propriétés telles que la passivité et la stabilité $L_2$ à gain fini.

• Niveau local : Chaque sous-système est conçu pour satisfaire un certificat de dissipativité locale ($X_i$-dissipativité).
• Niveau global : Ces certificats locaux sont propagés au niveau du réseau pour garantir la dissipativité globale ($Y$-dissipativité) via la matrice d'interconnexion $M$.
• Outils : La conception utilise le complément de Schur, les principes de congruence et le lemme de S matriciel (pour gérer les contraintes quadratiques dans les contextes basés sur les données).

B. Conception hiérarchique basée sur les modèles

Cette approche suppose une connaissance complète de la dynamique des sous-systèmes ($A_i, B_i, C_i$).

1. Synthèse du contrôleur local : Un contrôleur de retour d'état local ($K_i$) est conçu pour chaque sous-système afin d'imposer une propriété de dissipativité locale spécifique ($X_i$-dissipativité) avec les contraintes $X_{i}^{11} > 0$ et $X_{i}^{22} < 0$. Cela est formulé comme un problème de LMI.
2. Conception locale raffinée : Pour améliorer la faisabilité de l'étape globale suivante, la conception locale est augmentée de conditions nécessaires dérivées de la LMI globale. Cela implique un changement de variables pour orienter les certificats de dissipativité locale vers une compatibilité globale.
3. Co-conception globale : En utilisant les certificats locaux fixes, un contrôleur global distribué ($K$) et la topologie de communication sont co-conçus. Le contrôleur global est défini par $\bar{u} = Ky$, où la parcimonie de $K$ (et donc des liens de communication) est optimisée. Cette étape résout un problème LMI unique pour imposer la dissipativité globale tout en minimisant une fonction objectif qui favorise la parcimonie ($\| \bar{K} \|_1$) et optimise les bornes de performance.

C. Conception hiérarchique basée sur les données

Cette approche suppose que la dynamique des sous-systèmes est inconnue, mais que des données de trajectoire entrée-état-sortie riches sont disponibles.

1. Cohérence des données : L'ensemble de tous les modèles de systèmes cohérents avec les données observées et les perturbations bornées est caractérisé par une Inégalité Matricielle Quadratique (QMI).
2. Modélisation des perturbations : Les perturbations inconnues sont supposées être bornées par une inégalité matricielle quadratique (relaxant les bornes conventionnelles).
3. Synthèse du contrôleur local : Le contrôleur local est synthétisé directement à partir des données. Le lemme de S matriciel est employé pour convertir l'exigence selon laquelle le contrôleur doit fonctionner pour tous les modèles cohérents avec les données en une LMI traitable. Cela garantit la robustesse contre les dynamiques inconnues et les perturbations.
4. Co-conception globale : Similairement au cas basé sur les modèles, le contrôleur global et la topologie sont co-conçus. Les matrices de système inconnues ($B$) dans la LMI globale sont gérées par une reformulation du problème utilisant les QMI de cohérence des données et le lemme de S matriciel, ce qui aboutit à une condition LMI robuste ne nécessitant pas d'identification explicite du système.

3. Contributions clés

Le document présente quatre contributions principales :

1. Formulation de co-conception hiérarchique : Un nouveau cadre pour les systèmes en réseau qui synthétise conjointement les contrôleurs locaux, les contrôleurs globaux distribués et les topologies d'interconnexion sous des contraintes de dissipativité globale.
2. Cadre LMI basé sur les modèles : Un processus de conception en deux étapes où le retour local impose la dissipativité du sous-système, laquelle est ensuite exploitée pour co-concevoir les contrôleurs distribués et les topologies avec des garanties au niveau du réseau.
3. Contrepartie directe basée sur les données : Une méthode qui dérive des conditions LMI robustes en utilisant uniquement les données de trajectoire des sous-systèmes et les bornes de perturbation quadratiques, évitant ainsi l'identification explicite du système.
4. Application d'étude de cas : Démonstration des méthodes proposées sur un problème de commande de micro-réseau continu (DC Microgrid - DCMG), visant une régulation de tension robuste et un partage de courant.

4. Résultats et application

Le document valide les méthodes proposées à l'aide d'une étude de cas de micro-réseau continu impliquant plusieurs générateurs distribués (DG) et des lignes résistives.

• Objectif : Atteindre une régulation de tension robuste et un partage de courant proportionnel tout en concevant la topologie de communication.
• Comparaison : La conception hiérarchique basée sur la dissipativité proposée a été comparée à un contrôleur global de stabilisation standard.
• Constatations :
  • La méthode proposée a réussi à imposer les certificats de dissipativité souhaités (régulation de tension et partage de courant).
  • Optimisation de la topologie : Contrairement au contrôleur de stabilisation de référence, qui nécessitait une topologie de communication entièrement connectée, la conception hiérarchique proposée a produit une topologie de communication plus parcimonieuse.
  • Performance : Les deux contrôleurs ont atteint la régulation de régime permanent souhaitée, mais la méthode proposée l'a fait avec moins de liens de communication, démontant l'efficacité de l'optimisation conjointe de la topologie et de la commande.

5. Signification et affirmations

Le document affirme que sa principale importance réside dans le comblement du fossé entre la conception de commande scalable et la synthèse de topologie pour les systèmes en réseau.

• Scalabilité et compositionnalité : En utilisant une approche hiérarchique basée sur la dissipativité, la méthode évite les processus de conception centralisés, non convexes et itératifs. Elle conserve la compositionnalité, permettant aux garanties locales d'être systématiquement propagées vers des garanties globales.
• Robustesse à l'incertitude : L'extension basée sur les données est significative car elle fournit des garanties théoriques de stabilité et de performance sans nécessiter de modèles de systèmes précis, ce qui est crucial pour les systèmes complexes du monde réel où la modélisation est difficile.
• Cadre unifié : Le document fournit un cadre unifié et traitable (via des LMI) qui gère la conception conjointe des contrôleurs et de la topologie tant dans les contextes basés sur les modèles que sur les données, une combinaison que les auteurs notent comme ayant été largement inexplorée dans la littérature existante.

Les auteurs maintiennent un ton modeste, notant que si la version préliminaire de ce travail traitait de l'analyse et de la synthèse de topologie, cet article étend la portée pour inclure la synthèse des contrôleurs locaux et la gestion des dynamiques inconnues via les méthodes basées sur les données. Les résultats sont illustrés par un exemple spécifique de micro-réseau continu, avec l'implication que la méthodologie est applicable à d'autres systèmes en réseau comme les pelotons de véhicules et les chaînes d'approvisionnement, bien que des résultats spécifiques pour ces domaines ne soient pas présentés dans ce texte.