Sintesi Tecnica: Co-progettazione Gerarchica di Controllo e Topologia Basata su Modelli e sui Dati per Sistemi Connessi Robusti

1. Definizione del Problema

Il documento affronta la sfida della progettazione di sistemi connessi su larga scala, composti da sottosistemi lineari interconnessi soggetti a disturbi esterni. L'obiettivo centrale è la sintesi congiunta di tre componenti:

1. Controllori Locali: Leggi di feedback per i singoli sottosistemi.
2. Controllori Globali Distribuiti: Meccanismi di coordinamento che utilizzano le informazioni scambiate tra i sottosistemi vicini.
3. Topologia di Interconnessione: La struttura di comunicazione o fisica che lega i sottosistemi.

La progettazione deve garantire la dissipatività globale (una metrica di robustezza che comprende stabilità, guadagno $L_2$ e passività) dai disturbi in ingresso agli output di prestazione, ottimizzando al contempo il costo della topologia di interconnessione (ad esempio, la sparsità della comunicazione).

Un limite significativo nella letteratura esistente è la dipendenza dalla conoscenza precisa della dinamica dei sottosistemi, spesso non disponibile nelle applicazioni reali. Inoltre, molti metodi esistenti trattano la topologia come fissa o richiedono procedure di progettazione centralizzate, non convesse e iterative che mancano di scalabilità. Questo articolo mira a sviluppare un framework unificato che:

• Esegua una co-progettazione gerarchica (controllori locali $\to$ controllori globali + topologia).
• Operi sotto assunzioni basate sul modello (dinamiche note) e basate sui dati (dinamiche ignote, dati di traiettoria noti).
• Mantenga la composizionalità e la decentralizzabilità basandosi sulle Disuguaglianze Matricali Lineari (LMI).

2. Metodologia

L'approccio proposto è strutturato gerarchicamente ed è presentato in due percorsi paralleli: basato sul modello e basato sui dati.

A. Fondamenti Teorici

Il framework si basa sulla teoria della dissipatività, specificamente sulla $X$-dissipatività, che generalizza proprietà come la passività e la stabilità $L_2$ a guadagno finito.

• Livello Locale: Ogni sottosistema è progettato per soddisfare un certificato di dissipatività locale ($X_i$-dissipatività).
• Livello Globale: Questi certificati locali sono propagati al livello di rete per garantire la dissipatività globale ($Y$-dissipatività) tramite la matrice di interconnessione $M$.
• Strumenti: La progettazione utilizza il complemento di Schur, i principi di congruenza e la S-lemma matriciale (per gestire vincoli quadratici in contesti basati sui dati).

B. Progettazione Gerarchica Basata sul Modello

Questo approccio assume la piena conoscenza della dinamica dei sottosistemi ($A_i, B_i, C_i$).

1. Sintesi del Controllore Locale: Un controllore di feedback di stato locale ($K_i$) è progettato per ogni sottosistema per imporre una specifica proprietà di dissipatività locale ($X_i$-dissipatività) con vincoli $X_{i}^{11} > 0$ e $X_{i}^{22} < 0$. Questo è formulato come un problema LMI.
2. Progettazione Locale Raffinata: Per migliorare la fattibilità della fase globale successiva, la progettazione locale è aumentata con condizioni necessarie derivate dall'LMI globale. Ciò comporta un cambiamento di variabili per orientare i certificati di dissipatività locale verso la compatibilità globale.
3. Co-progettazione Globale: Utilizzando i certificati locali fissi, un controllore globale distribuito ($K$) e la topologia di comunicazione vengono co-progettati. Il controllore globale è definito come $\bar{u} = Ky$, dove la sparsità di $K$ (e quindi dei collegamenti di comunicazione) viene ottimizzata. Questa fase risolve un singolo problema LMI per imporre la dissipatività globale minimizzando una funzione obiettivo che promuove la sparsità ($\| \bar{K} \|_1$) e ottimizza i limiti di prestazione.

C. Progettazione Gerarchica Basata sui Dati

Questo approccio assume che la dinamica dei sottosistemi sia ignota, ma siano disponibili ricchi dati di traiettoria input-stato-output.

1. Consistenza dei Dati: L'insieme di tutti i modelli di sistema coerenti con i dati osservati e i disturbi limitati è caratterizzato mediante una Disuguaglianza Matriciale Quadratica (QMI).
2. Modellazione del Disturbo: I disturbi ignoti sono assunti essere limitati da una disuguaglianza matriciale quadratica (rilassando i limiti convenzionali).
3. Sintesi del Controllore Locale: Il controllore locale è sintetizzato direttamente dai dati. La S-lemma matriciale è impiegata per convertire il requisito che il controllore debba funzionare per tutti i modelli coerenti con i dati in un'LMI trattabile. Ciò garantisce la robustezza rispetto alle dinamiche ignote e ai disturbi.
4. Co-progettazione Globale: Similmente al caso basato sul modello, il controllore globale e la topologia sono co-progettati. Le matrici di sistema ignote ($B$) nell'LMI globale sono gestite riformulando il problema utilizzando le QMI di consistenza dei dati e la S-lemma matriciale, risultando in una condizione LMI robusta che non richiede l'identificazione esplicita del sistema.

3. Contributi Principali

L'articolo delinea quattro contributi primari:

1. Formulazione di Co-progettazione Gerarchica: Un nuovo framework per sistemi connessi lineari che sintetizza congiuntamente controllori locali, controllori globali distribuiti e topologie di interconnessione sotto vincoli di dissipatività globale.
2. Framework LMI Basato sul Modello: Un processo di progettazione in due fasi in cui il feedback locale impone la dissipatività del sottosistema, che viene poi sfruttata per co-progettare controllori e topologie distribuite con garanzie a livello di rete.
3. Controparte Diretta Basata sui Dati: Un metodo che deriva condizioni LMI robuste utilizzando solo i dati di traiettoria dei sottosestemi e i limiti quadratici dei disturbi, evitando la necessità di un'identificazione esplicita del sistema.
4. Applicazione di Caso di Studio: Dimostrazione dei metodi proposti su un problema di controllo di una Microrete DC (DCMG), mirante alla regolazione robusta della tensione e alla condivisione della corrente.

4. Risultati e Applicazione

L'articolo valida i metodi proposti utilizzando un caso di studio di una Microrete DC che coinvolge molteplici Generatori Distribuiti (DG) e linee resistive.

• Obiettivo: Raggiungere una regolazione robusta della tensione e una condivisione proporzionale della corrente, progettando al contempo la topologia di comunicazione.
• Confronto: La progettazione gerarchica basata sulla dissipatività proposta è stata confrontata con un controllore globale stabilizzante standard.
• Risultati:
  • Il metodo proposto ha applicato con successo i certificati di dissipatività desiderati (regolazione della tensione e condivisione della corrente).
  • Ottimizzazione della Topologia: A differenza del controllore stabilizzante di riferimento, che richiedeva una topologia di comunicazione completamente connessa, la co-progettazione gerarchica proposta ha prodotto una topologia di comunicazione più sparsa.
  • Prestazioni: Entrambi i controllori hanno raggiunto la desiderata regolazione a regime stazionario, ma il metodo proposto lo ha fatto con meno collegamenti di comunicazione, dimostrando l'efficacia della progettazione congiunta di controllo e topologia.

5. Significato e Rivendicazioni

L'articolo afferma che la sua importanza primaria risiede nel colmare il divario tra progettazione del controllo scalabile e sintesi della topologia per i sistemi connessi.

• Scalabilità e Composizionalità: Utilizzando un approccio gerarchico basato sulla dissipatività, il metodo evita processi di progettazione centralizzati, non convessi e iterativi. Mantiene la composizionalità, permettendo alle garanzie locali di essere sistematicamente propagate a garanzie globali.
• Robustezza all'Incertezza: L'estensione basata sui dati è significativa perché fornisce garanzie teoriche di stabilità e prestazione senza richiedere modelli di sistema precisi, il che è cruciale per sistemi reali complessi dove la modellazione è difficile.
• Framework Unificato: L'articolo fornisce un framework unificato e trattabile (tramite LMI) che gestisce la progettazione congiunta di controllori e topologia sia in contesti basati sul modello che basati sui dati, una combinazione che gli autori notano essere stata ampiamente inesplorata nella letteratura esistente.

Gli autori mantengono un tono modesto, osservando che, mentre la versione preliminare di questo lavoro riguardava l'analisi e la sintesi della topologia, questo articolo estende l'ambito per includere la sintesi dei controllori locali e la gestione delle dinamiche ignote tramite metodi basati sui dati. I risultati sono illustrati su un esempio specifico di microrete DC, con l'implicazione che la metodologia sia applicabile ad altri sistemi connessi come i platoon di veicoli e le catene di approvvigionamento, sebbene risultati specifici per tali domini non siano presentati in questo testo.