A lattice-theoretic framework for hesitant fuzzy convexity beyond scalar observables

Resumen Técnico: Un Marco de Teoría de Retículos para la Convexidad Difusa Vacilante más allá de los Observables Escalares

Planteamiento del Problema
En la teoría de conjuntos difusos, el concepto de convexidad se ha formulado tradicionalmente mediante reducciones escalares, utilizando funciones de puntuación y operadores de agregación para mapear grados de membresía complejos (como intervalos o elementos difusos vacilantes) al intervalo unidad $[0, 1]$. Aunque son útiles, los autores argumentan que tales reducciones oscurecen la información de orden inherente al codominio, particularmente en entornos de valores de conjunto (como los Conjuntos Difusos de Valores de Intervalo - IVFSs y los Conjuntos Difusos Vacilantes - HFSs). Las propuestas existentes a menudo carecen de una perspectiva estructural unificada que dé cuenta de las características específicas del modelo difuso, lo que plantea la cuestión de si las nociones de convexidad basadas en escalares son igualmente apropiadas para todos los modelos de conjuntos difusos. El problema central abordado es la potencial pérdida de fidelidad estructural al reemplazar las operaciones de retículo intrínsecas por resúmenes escalares.

Metodología
El artículo desarrolla un marco de teoría de retículos para la convexidad en mapeos $A: X \to L$, donde $X$ es un espacio de convexidad abstracta generado por segmentos de punto-convexidad y $L$ es un retículo. Este enfoque separa deliberadamente la estructura geométrica del dominio de la estructura de orden del codominio.

La metodología distingue entre dos perspectivas primarias:

1. Perspectiva Operacional: Define la convexidad mediante un operador binario $\otimes: L \times L \to L$. El artículo se centra en la convexidad intrínseca, donde $\otimes$ es el ínfimo del retículo ($\wedge$). Un mapeo es intrínsecamente convexo si $A(y) \geq A(x) \wedge A(z)$ para todo $y$ en el segmento $[x, z]_\Gamma$. Se demuestra que esto es equivalente a la convexidad de todos los cortes principales $[A]_a = \{x \in X : a \leq A(x)\}$.
2. Perspectiva Relacional: Define la convexidad mediante una preorden $\preceq$ en $L$. Un mapeo es $\preceq$-convexo si la imagen inversa de cada conjunto ascendente es convexa. Esta categoría incluye la convexidad observable, donde la preorden es inducida por un mapa escalar (observable) $\phi: L \to [0, 1]$.

El marco analiza las condiciones bajo las cuales los observables escalares preservan o reconstruyen la convexidad intrínseca. Además, investiga los operadores puntuales $T: L^m \to L$ y caracteriza aquellos cuyas extensiones inducidas preservan la convexidad intrínseca. Finalmente, el marco se especializa en Conjuntos Difusos Vacilantes (HFSs) dotados del retículo simétrico $(P^*([0, 1]), \leq_0, \wedge_0, \vee_0)$, una estructura introducida por Jara et al. [2023] que unifica los conjuntos difusos estándar, los conjuntos de valores de intervalo y los conjuntos difusos vacilantes.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Marco Unificado: El artículo establece un entorno formal común que recupera la convexidad difusa clásica basada en el mínimo, la convexidad basada en el ínfimo de valores de retículo y las convexidades basadas en el orden como instancias específicas. Generaliza estos conceptos a dominios con orden no lineal (por ejemplo, geodésicas de grafos) mediante espacios de convexidad abstracta.

2. Condiciones para la Preservación y Reconstrucción Escalar:

   • Preservación: Un observable $\phi$ preserva la convexidad intrínseca (es decir, todo conjunto intrínsecamente convexo es $\phi$-convexo) si y solo si $\phi$ preserva los ínfimos finitos como mínimos: $\phi(a \wedge b) = \min\{\phi(a), \phi(b)\}$.
   • Reconstrucción: Un único observable reconstruye la convexidad intrínseca (es decir, $A$ es intrínsecamente convexo si y solo si es $\phi$-convexo) si y solo si $\phi$ preserva los ínfimos como mínimos y refleja el orden (es decir, $\phi(a) \leq \phi(b) \implies a \leq b$). Esto implica que la reconstrucción escalar es imposible para retículos que no son cadenas.
   • Familias de Observables: Una familia de observables reconstruye la convexidad intrínseca si y solo si la familia separa el orden del codominio y cada miembro preserva los ínfimos como mínimos.

3. Operadores Puntuales: El artículo caracteriza los operadores $T: L^m \to L$ que preservan la convexidad intrínseca bajo extensión puntual. Tales operadores deben satisfacer una condición de compatibilidad con el ínfimo: $T(a_1 \wedge b_1, \dots, a_m \wedge b_m) = T(a_1, \dots, a_m) \wedge T(b_1, \dots, b_m)$. Los autores señalan que la monotonicidad por sí sola es insuficiente; por ejemplo, la media aritmética falla en preservar la convexidad basada en el mínimo.

4. Convexidad Simétrica y No Representabilidad:

   • Al especializarse a HFSs con el retículo simétrico, el marco recupera la convexidad difusa clásica para perfiles de valor único y la convexidad de valores de intervalo para perfiles de valores de intervalo. Ambas capas inferiores admiten reconstrucción escalar finita (mediante el mapa identidad para valores únicos y mapas de extremos para intervalos).
   • Resultado Estructural Principal: El artículo demuestra que el orden simétrico en elementos difusos vacilantes no puede ser representado globalmente por ninguna familia finita de observables escalares. Esto se demuestra mostrando que el retículo simétrico contiene subposetos finitos de dimensión de orden arbitrariamente grande (específicamente dentro de la clase de los THFEs de dos puntos).
   • Consecuencia: La convexidad vacilante simétrica no puede, en general, ser reconstruida por ninguna familia finita de observables escalares. Además, para cualquier familia finita de observables escalares monótonos, existe un perfil vacilante de tres puntos que parece convexo bajo todas las descripciones escalares seleccionadas pero que falla en ser simétricamente convexo.

Significancia y Pretensiones
El artículo pretende proporcionar una clarificación estructural de la convexidad difusa, distinguiendo entre las propiedades intrínsecas del retículo y sus aproximaciones escalares. Su significancia principal radica en demostrar que los resúmenes escalares no son sustitutos globalmente fieles de la estructura de orden subyacente en los entornos difusos vacilantes.

Los autores afirman que la obstrucción a la representación escalar finita no es un artefacto de cardinalidades infinitas o perfiles complejos, sino que aparece incluso en elementos difusos vacilantes simples de dos puntos. En consecuencia, el artículo argumenta que las descripciones escalares finitas en la teoría de HFS deben entenderse como resúmenes parciales en lugar de reemplazos completos de la estructura intrínseca vacilante. Esto desafía la dependencia de las funciones de puntuación y los operadores de agregación como los únicos medios para definir la convexidad en entornos difusos vacilantes, sugiriendo que la investigación futura debe tener en cuenta las limitaciones de la scalarización para preservar la plenitud de la información de orden de los conjuntos difusos vacilantes.